Tổng hợp công thức và lý thuyết – Toán 12 Trang 1
TỔNG HỢP CÔNG THỨC VÀ LÝ THUYẾT – TOÁN 12
Chương 1 – Hàm số
PHẦN 1 – ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ
1. Tính đơn điệu của hàm số
Cho
,K⊂
trong đó
K
là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.
Định lí
Cho hàm số 𝑦𝑦=𝑓𝑓(𝑥𝑥) có đạo hàm trên tập 𝐾𝐾. Nếu 𝑓𝑓′(𝑥𝑥)≥0 (hoặc 𝑓𝑓′(𝑥𝑥)≤0) với mọi 𝑥𝑥
thuộc 𝐾𝐾 và 𝑓𝑓′(𝑥𝑥)= 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của 𝐾𝐾 thì hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) đồng biến (hoặc
nghịch biến) trên 𝐾𝐾.
2. Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số
Định nghĩa
Cho hàm số 𝑦𝑦=𝑓𝑓(𝑥𝑥) xác định và liên tục trên khoảng (𝑎𝑎;𝑏𝑏) (𝑎𝑎 có thể là −∞,𝑏𝑏 có thể là +∞)
và điểm 𝑥𝑥0∈(𝑎𝑎;𝑏𝑏).
• Nếu tồn tại số ℎ> 0 sao cho 𝑓𝑓(𝑥𝑥)<𝑓𝑓(𝑥𝑥0) với mọi 𝑥𝑥 ∈ (𝑥𝑥0−ℎ;𝑥𝑥0+ℎ)⊂(𝑎𝑎;𝑏𝑏) và 𝑥𝑥 ≠
𝑥𝑥0 thì ta nói hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) đạt cực đại tại 𝑥𝑥0.
• Nếu tồn tại số ℎ> 0 sao cho 𝑓𝑓(𝑥𝑥)>𝑓𝑓(𝑥𝑥0) với mọi 𝑥𝑥 ∈ (𝑥𝑥0−ℎ;𝑥𝑥0+ℎ)⊂(𝑎𝑎;𝑏𝑏) và 𝑥𝑥 ≠
𝑥𝑥0 thì ta nói hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) đạt cực tiểu tại 𝑥𝑥0.
Chú ý
Nếu 𝑥𝑥0 là một điểm cực trị của hàm số 𝑦𝑦=𝑓𝑓(𝑥𝑥) thì điểm 𝑀𝑀(𝑥𝑥0;𝑓𝑓(𝑥𝑥0)) được gọi là điểm cực trị
của đồ thị hàm số 𝑦𝑦=𝑓𝑓(𝑥𝑥).
Định lý
Giả sử hàm số 𝑦𝑦=𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục trên khoảng (𝑎𝑎;𝑏𝑏) chứa điểm 𝑥𝑥0 và có đạo hàm trên các khoảng
(𝑎𝑎;𝑥𝑥0) và (𝑥𝑥0;𝑏𝑏). Khi đó
• Nếu 𝑓𝑓′(𝑥𝑥)< 0 với mọi 𝑥𝑥 ∈ (𝑎𝑎;𝑥𝑥0) và 𝑓𝑓′(𝑥𝑥)> 0 với mọi 𝑥𝑥 ∈ (𝑥𝑥0;𝑏𝑏) thì 𝑥𝑥0 là một điểm
cực tiểu của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥).
Trang 2 ► Đỗ Văn Đức | Luyện thi Toán 10, 11, 12 | thayduc. vn
• Nếu 𝑓𝑓′(𝑥𝑥)> 0 với mọi 𝑥𝑥 ∈ (𝑎𝑎;𝑥𝑥0) và 𝑓𝑓′(𝑥𝑥)< 0 với mọi 𝑥𝑥 ∈ (𝑥𝑥0;𝑏𝑏) thì 𝑥𝑥0 là một điểm
cực đại của hàm số 𝑦𝑦=𝑓𝑓(𝑥𝑥).
𝑥𝑥
−∞
𝑥𝑥0
𝑓𝑓′(𝑥𝑥)
−
+
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑓𝑓(𝑥𝑥0)
𝑥𝑥
𝑥𝑥0
+∞
𝑓𝑓′(𝑥𝑥)
+
−
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑓𝑓(𝑥𝑥
0
)
PHẦN 2 – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
1. Khái niệm
Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) xác định trên 𝐷𝐷.
Số 𝑀𝑀 được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số 𝑦𝑦=𝑓𝑓(𝑥𝑥) trên 𝐷𝐷, kí hiệu 𝑀𝑀=
max
D
𝑓𝑓(𝑥𝑥) nếu
( )
( )
00
|
fx M x D
x Df x M
≤ ∀∈
∃∈ =
Số 𝑚𝑚 được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦𝑦=𝑓𝑓(𝑥𝑥) trên 𝐷𝐷, kí hiệu 𝑚𝑚=
min
D
𝑓𝑓(𝑥𝑥) nếu
( )
( )
00
|
fx mx D
x Df x m
≥ ∀∈
∃∈ =
2. Lưu ý
a) Lưu ý về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=asin 𝑥𝑥+𝑏𝑏cos 𝑥𝑥.
Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑎𝑎sin 𝑥𝑥+𝑏𝑏cos 𝑥𝑥 (𝑎𝑎2+𝑏𝑏2> 0). Khi đó:
max 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=�𝑎𝑎2+𝑏𝑏2; min 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=−�𝑎𝑎2+𝑏𝑏2
Hệ quả: max(𝑎𝑎sin 𝑥𝑥)=|𝑎𝑎|;min(𝑎𝑎sin 𝑥𝑥)=−|𝑎𝑎|.
b) Lưu ý về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 𝑓𝑓�𝑢𝑢(𝑥𝑥)� trên 𝐷𝐷.
Đặt 𝑡𝑡=𝑢𝑢(𝑥𝑥), với 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷, giả sử ta tìm được tập giá trị của 𝑢𝑢(𝑥𝑥) trên 𝐷𝐷 là 𝐾𝐾. Khi đó:
( )
( )
( )
max max
xD tK
fux f t
∈∈
=
c) Bất đẳng thức Cauchy (BĐT AM-GM) cho 2 số và cho 3 số
Cho 𝑎𝑎,𝑏𝑏 là các số thực không âm, khi đó
𝑎𝑎+𝑏𝑏
2≥√𝑎𝑎𝑏𝑏.
Cho 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 là các số thực không âm, khi đó:
𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐
3≥√𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐
3.
Tổng hợp công thức và lý thuyết – Toán 12 Trang 3
Hệ quả
𝑎𝑎𝑏𝑏 ≤�𝑎𝑎+𝑏𝑏
2�2,𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐 ≤�𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐
3�3 với 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 ≥ 0.
d. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Với hai bộ số thực và , ta luôn có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai bộ số và là hai bộ số tỉ lệ
e. Bất đẳng thức tam giác
Với 3 điểm 𝐴𝐴,𝐵𝐵,𝐶𝐶 bất kì, ta có: 𝐴𝐴𝐵𝐵+𝐴𝐴𝐶𝐶 ≥𝐵𝐵𝐶𝐶. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 𝐴𝐴 nằm giữa
𝐵𝐵 và 𝐶𝐶.
Với 3 điểm 𝐴𝐴,𝐵𝐵,𝐶𝐶 bất kì, ta có: |𝐴𝐴𝐵𝐵 −𝐴𝐴𝐶𝐶|≤𝐵𝐵𝐶𝐶. Dấu bằng xảy ra khi 𝐴𝐴 nằm trên đường
thẳng 𝐵𝐵𝐶𝐶 và nằm ngoài đoạn 𝐵𝐵𝐶𝐶 (có thể trùng với các đầu mút).
Tổng quát: Trong tất cả các đường gấp khúc nối hai điểm 𝐴𝐴 và 𝐵𝐵 cho trước thì đoạn thẳng
𝐴𝐴𝐵𝐵 có độ dài nhỏ nhất.
PHẦN 3 – TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Đường tiệm cận ngang
Đường thẳng 𝑦𝑦=𝑦𝑦0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 𝑦𝑦=𝑓𝑓(𝑥𝑥) nếu:
( )
0
lim
x
fx y
→+∞
=
hoặc
( )
0
lim .
xfx y
→−∞ =
( )
0
lim
xfx y
→+∞ =
( )
0
lim
x
fx y
→−∞
=
2. Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng 𝑥𝑥=𝑥𝑥
0
được gọi là đường tiệm cận
đứng của đồ thị hàm số 𝑦𝑦=𝑓𝑓(𝑥𝑥) nếu ít nhất một
trong các điều kiện sau được thoả mãn:
( ) ( )
( ) ( )
00
00
lim ; lim ;
lim ; lim .
xx xx
xx xx
fx fx
fx fx
−−
++
→→
→→
= +∞ = −∞
= +∞ = −∞
( )
0
lim
xx
fx
+
→
= +∞
( )
12
, , ..., n
aa a
( )
12
, , ..., n
bb b
( )( )
( )
2
22 222 2
1 2 1 2 11 2 2
... ... ...
n n nn
a a a b b b ab a b a b+ ++ + ++ ≥ + ++
( )
12
, , ..., n
aa a
( )
12
, , ..., n
bb b
Trang 4 ► Đỗ Văn Đức | Luyện thi Toán 10, 11, 12 | thayduc. vn
3. Đường tiệm cận xiên
Đường thẳng 𝑦𝑦=𝑎𝑎𝑥𝑥+𝑏𝑏 (𝑎𝑎 ≠ 0) được gọi là
đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 𝑦𝑦=𝑓𝑓(𝑥𝑥)
nếu:
( ) ( )
lim 0
x
f x ax b
→+∞
−+=


hoặc
( ) ( )
lim 0
x
f x ax b
→−∞
−+=


Để xác định hệ số 𝑎𝑎,𝑏𝑏 của đường tiệm cận xiên 𝑦𝑦=𝑎𝑎𝑥𝑥+𝑏𝑏 của đồ thị hàm số 𝑦𝑦=𝑓𝑓(𝑥𝑥), ta
có thể áp dụng công thức sau:
( )
lim
x
fx
ax
→+∞
=
và
( )
lim
x
b f x ax
→+∞
= −


hoặc
( )
lim
x
fx
ax
→−∞
=
và
( )
lim .
x
b f x ax
→−∞
= −


PHẦN 4 – ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA
1. Kiến thức cần nhớ
Cho hàm số
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑎𝑎𝑥𝑥
3
+𝑏𝑏𝑥𝑥
2
+𝑐𝑐𝑥𝑥+𝑑𝑑(𝑎𝑎 ≠ 0),𝑓𝑓
′
(𝑥𝑥)= 3𝑎𝑎𝑥𝑥
2
+ 2𝑏𝑏𝑥𝑥+𝑐𝑐;Δ
′
=𝑏𝑏
2
−3𝑎𝑎𝑐𝑐
0
′
∆<
0
′
∆=
0
′
∆>
0a>
0a<
Điểm uốn của đồ thị hàm số bậc ba là tâm đối xứng của đồ thị.
Xét 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥)= 6𝑎𝑎𝑥𝑥+ 2𝑏𝑏; 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥)= 0 ⇔ 𝑥𝑥 =
.
3
b
a
−
Điểm
;
33
bb
Uf
aa


−−




là điểm uốn của đồ thị
Đồ thị hàm số bậc ba có thể không có cực trị, hoặc có thể có đúng 2 điểm cực trị.
Tổng hợp công thức và lý thuyết – Toán 12 Trang 5
2. Phương trình trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba
Bài toán: Biết đồ thị hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑎𝑎𝑥𝑥3+𝑏𝑏𝑥𝑥2+𝑐𝑐𝑥𝑥+𝑑𝑑 có 2 điểm cực trị là 𝐴𝐴 và 𝐵𝐵. Viết
phương trình đường thẳng 𝐴𝐴𝐵𝐵.
Chú ý rằng hoành độ của các điểm 𝐴𝐴,𝐵𝐵 là nghiệm của phương trình 𝑓𝑓′(𝑥𝑥)= 0, với
𝑓𝑓′(𝑥𝑥)= 3𝑎𝑎𝑥𝑥2+ 2𝑏𝑏𝑥𝑥 +𝑐𝑐. Giả sử
( )
11
,Ax y
và
( )
22
,Bx y
thì
( ) ( )
( )
( )
12
11
22
0fx fx
y fx
y fx
′′
= =
=
=
.
𝑓𝑓(𝑥𝑥) là hàm đa thức bậc ba và 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) là hàm đa thức bậc hai, ta thực hiện phép chia đa thức
hàm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cho đa thức hàm 𝑓𝑓′(𝑥𝑥), giả sử thương là 𝑡𝑡(𝑥𝑥) và số dư là 𝑟𝑟(𝑥𝑥).
Khi đó 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑓𝑓′(𝑥𝑥).𝑡𝑡(𝑥𝑥)+𝑟𝑟(𝑥𝑥).
Với 𝑟𝑟(𝑥𝑥) là hàm đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 1, nên phương trình 𝑦𝑦=𝑟𝑟(𝑥𝑥) là phương
trình của 1 đường thẳng
( )
i
.
Ta có: 𝑦𝑦1=𝑓𝑓(𝑥𝑥1)=𝑓𝑓′(𝑥𝑥1).𝑡𝑡(𝑥𝑥1)+𝑟𝑟(𝑥𝑥1)=𝑟𝑟(𝑥𝑥1); 𝑦𝑦2=𝑓𝑓(𝑥𝑥2)=𝑓𝑓′(𝑥𝑥2).𝑡𝑡(𝑥𝑥2)+
𝑟𝑟(𝑥𝑥2)=𝑟𝑟(𝑥𝑥2).
Do đó 𝐴𝐴,𝐵𝐵 là 2 điểm thuộc đồ thị hàm số 𝑦𝑦=𝑟𝑟(𝑥𝑥)
( )
ii
.
Từ
( )
i
và
( )
ii
suy ra phương trình đường thẳng 𝐴𝐴𝐵𝐵 là 𝑦𝑦=𝑟𝑟(𝑥𝑥).
Như vậy, việc viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị hàm số bậc ba, ta có
thể thực hiện phép chia đa thức hàm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cho đa thức hàm 𝑓𝑓′(𝑥𝑥), nếu số dư là 𝑟𝑟(𝑥𝑥) thì
đường thẳng 𝑦𝑦=𝑟𝑟(𝑥𝑥) là phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
Trường hợp tổng quát, phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị hàm bậc ba 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=
𝑎𝑎𝑥𝑥3+𝑏𝑏𝑥𝑥2+𝑐𝑐𝑥𝑥+𝑑𝑑 là
2..
99
bc
y xd
aa
′
=− ∆ +−
, trong đó ∆′=𝑏𝑏2−3𝑎𝑎𝑐𝑐 > 0.
Ji9 mnjkiu89>>PHẦN 5 – ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT
Xét hàm số
( ) ( )
0.
ax b
fx c
cx d
+
= ≠
+
0ad bc−<
0ad bc−>
Nhận xét: