intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tuyển tập các bất đẳng thức - Trần Sĩ Tùng

Chia sẻ: Tạ Duy Phương | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:43

Thêm vào BST
Báo xấu
167
lượt xem 33
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Tuyển tập các bất đẳng thức" dưới đây cung cấp cho các bạn các bài tập bất đẳng thức thường hay ra trong các đề thi đại học cao đẳng, mời các bạn cùng tham khảo để có thêm tài liệu học tập và ôn thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập các bất đẳng thức - Trần Sĩ Tùng

  1. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 3 a3 + b3 a+b 1. Cho a, b > 0 chứng minh: 2 2 a2 + b2 2. Chứng minh: a + b 2 2 a + b 3 a3 + b3 3. Cho a + b 0 chứng minh: 2 2 a b 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: + a+ b b a 1 1 2 5. Chứng minh: Với a b 1: + 1+ a 2 1+ b2 1+ ab 6. Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 3 2( a + b + c ) ; a , b , c R 7. 2 2 2 Chứng minh: a + b + c + d + e 2 2 a ( b + c + d + e) 2 2 2 8. Chứng minh: x + y + z xy + yz + zx a + b+ c ab + bc + ca 9. a. Chứng minh: ; a,b,c 0 3 3 2 a2 + b2 + c2 �a + b + c � b. Chứng minh: � 3 � 3 � � a2 10. Chứng minh: + b2 + c2 ab − ac + 2bc 4 11. Chứng minh: a2 + b2 + 1 ab + a + b 12. Chứng minh: x2 + y2 + z2 2xy − 2xz + 2yz 13. Chứng minh: x + y + z + 1 2xy(xy2 − x + z + 1) 4 4 2 3 3 1 14. Chứng minh: Nếu a + b 1 thì: a + b 4 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). b. abc (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0 1
  2. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) 8abc ; a,b,c 0 2. Chứng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) 9abc ; a,b,c 0 3. Chứng minh: ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c ) ( 1+ 3 abc ) 3 với a , b , c 0 m m a� � b� 4. Cho a, b > 0. Chứng minh: � 1+ � + � � 1+ � 2m + 1 , với m Z+ � b� � a � bc ca ab 5. Chứng minh: + + a + b + c ; a,b,c 0 a b c x6 + y9 6. Chứng minh: 3x2y3 − 16 ; x,y 0 4 4 1 7. Chứng minh: 2a + 3a2 − 1. 1+ a2 8. Chứng minh: a1995 > 1995( a − 1) ,a>0 9. Chứng minh: a2 ( 1+ b2 ) + b2 ( 1+ c2 ) + c2 ( 1+ a2 ) 6abc . a b c 1 �1 1 1 � 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: 2 2 + 2 2 + 2 2 � + + � a +b b +c a +c 2 �a b c � 11. Cho a , b 1 , chứng minh: ab a b − 1 + b a − 1. 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 13. Cho a > b > c, Chứng minh: a 33 ( a − b) ( b − c ) c . 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c 16abc. b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) 8abc 1 1 1 c) 1+ 1+ 1+ 64 a b c 1 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: x+ 3 ( x − y) y 16. Chứng minh: x2 + 2 x+ 8 a2 + 5 a) 2, x R b) 6 , x>1 c) 4 x2 + 1 x−1 a2 + 1 ab bc ca a + b+ c 17. Chứng minh: + + ; a, b, c > 0 a + b b+ c c + a 2 x2 y2 1 18. Chứng minh: 4 + 4 , x,y R 1+ 16x 1+ 16y 4 a b c 3 19. Chứng minh: + + ;a,b,c>0 b+ c a + c a + b 2 2
  3. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 20. Cho a , b , c > 0. C/m: 1 1 1 1 3 3 + 3 3 + 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a. a + b + c + d 44 abcd với a , b , c , d 0 (Côsi 4 số) b.a + b + c 33 abc với a , b , c 0 , (Côsi 3 số ) 3 22. Chứng minh: a + b + c 3 3 2 2 2 a bc + b ac + c ab ; a , b , c > 0 23. Chứng minh: 2 a + 3 b + 4 c 99 abc 3 4 x 18 24. Cho y = + , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 2 x x 2 25. Cho y = + ,x > 1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x−1 3x 1 26. Cho y = + , x > −1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x+1 x 5 1 27. Cho y = + ,x > . Định x để y đạt GTNN. 3 2x − 1 2 x 5 28. Cho y = + , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. 1− x x x3 + 1 29. Cho y = , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. x2 x2 + 4x + 4 30. Tìm GTNN của f(x) = , x > 0. x 2 2 31. Tìm GTNN của f(x) = x + 3 , x > 0. x 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 33. Cho y = x(6 – x) , 0 x 6 . Định x để y đạt GTLN. 5 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 x . Định x để y đạt GTLN 2 5 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , − x 5 . Định x để y đạt GTLN 2 1 5 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , − x . Định x để y đạt GTLN 2 2 x 37. Cho y = 2 . Định x để y đạt GTLN x +2 x2 38. Cho y = . Định x để y đạt GTLN ( x2 + 2) 3 3
  4. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd)2 (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki 2. Chứng minh: sinx + cos x 2 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a2 + 4b2 7. 725 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a2 + 5b2 . 47 2464 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a2 + 11b2 . 137 6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b4 2. 2 2 1 7. Cho a + b 1 Chứng minh: a + b 2 Lời giải: I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 3 a3 + b3 a+b 1. Cho a, b > 0 chứng minh: (*) 2 2 3 a3 + b3 a+b 3 ( a + b) ( a − b) 2 (*) − 0 0 . ĐPCM. 2 2 8 a2 + b2 () 2. Chứng minh: a + b 2 2  a + b 0 , () luôn đúng. a2 + b2 + 2ab a2 + b2 ( a − b) 2  a + b > 0 , () − 0 0 , đúng. 4 2 4 a2 + b2 . Vậy: a + b 2 2 a+b a3 + b3 ( a + b) 3 a3 + b3 3. Cho a + b 0 chứng minh: 3 2 2 8 2 3( b − a) ( a2 − b2 ) 2 −3( b − a) ( a + b) 0 , ĐPCM. 0 a b 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: + a + b () b a () a a+b b a b+b a ( a − b) a − ( a − b) b 0 ( a − b) ( a − b ) 0 ( a − b ) ( a + b ) 0 , ĐPCM. 2 1 1 2 5. Chứng minh: Với a b 1: + () 1+ a2 1+ b2 1+ ab 4
  5. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 2 1 1 1 1 ab − a ab − b2 + − − 0 + 0 1+ a2 1+ b2 1+ ab 1+ ab ( 1+ a2 ) ( 1+ ab) ( 1+ b2 ) ( 1+ ab) a ( b − a) b( a − b) b− a a b + 0 − 0 ( 1+ a2 ) ( 1+ ab) ( 1+ b2 ) ( 1+ ab) 1+ ab 1+ a2 1+ b2 b − a a + ab2 − b − ba2 ( b − a) 2 ( ab − 1) 0 0 , ĐPCM. 1+ ab ( 1+ a2 ) ( 1+ b2 ) ( 1+ ab) ( 1+ a2 ) ( 1+ b2 )  Vì : a b 1 ab 1 ab – 1 0. 6. Chứng minh: a + b + c + 3 2( a + b + c ) ; a , b , c R 2 2 2 ( a − 1) 2 + ( b − 1) 2 + ( c − 1) 2 0 . ĐPCM. 7. Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a ( b + c + d + e) 2 2 2 a a a a2 − ab + b2 + − ac + c2 + − ad + d2 + − ae + e2 0 4 4 4 4 2 2 2 2 a a a a −b + −c + −d + −e 0 . ĐPCM 2 2 2 2 8. Chứng minh: x2 + y2 + z2 xy + yz + zx 2x2 + 2y2 + 2z2 − 2xy − 2yz − 2zx 0 2 2 2 ( x − y) + ( x − z) + ( y − z) 0 a + b+ c ab + bc + ca 9. a. Chứng minh: ; a,b,c 0 3 3  a2 + b2 + c2 ab + bc + ca 2 a + b+ c a + b + c2 + 2ab + 2bc + 2ca 2 2 ab + bc + ca  = 3 9 3 a + b+ c ab + bc + ca 3 3 2 a2 + b2 + c2 a + b+ c b. Chứng minh: 3 3  3( a2 + b2 + c2 ) = a2 + b2 + c2 + 2( a2 + b2 + c2 ) 2 a2 + b2 + c2 + 2( ab + bc + ca) = ( a + b + c ) 2 a2 + b2 + c2 a + b+ c 3 3 a2 10. Chứng minh: + b2 + c2 ab − ac + 2bc 4 5
  6. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 2 2 a a − a ( b − c ) + b2 + c2 − 2bc 0 − ( b − c) 0. 4 2 11. Chứng minh: a2 + b2 + 1 ab + a + b 2a2 + 2b2 + 2 − 2ab − 2a − 2b 0 a2 − 2ab + b2 + a2 + 2a + 1+ b2 + 2b + 1 0 ( a − b) 2 + ( a − 1) 2 + ( b − 1) 2 0. 2 2 2 12. Chứng minh: x + y + z 2xy − 2xz + 2yz x2 + y2 + z2 − 2xy + 2xz − 2yz 0 (x – y + z)2 0. 4 4 2 2 13. Chứng minh: x + y + z + 1 2x(xy − x + z + 1) x4 + y4 + z2 + 1− 2x2y2 + 2x2 − 2xz − 2x 0 ( x2 − y ) 2 2 2 + ( x − z ) + ( x − 1) 2 0. 3 3 1 14. Chứng minh: Nếu a + b 1 thì: a + b 4 a+b 1 b 1–a b3 = (1 – a)3 = 1 – a + a2 – a3 2 1 1 1 a3 + b3 = 3 a − + . 2 4 4 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).  ab + bc + ca a2 + b2 + c2 (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2  a > b− c , b > a − c , c > a − b a2 > b2 − 2bc + c2 , b2 > a2 − 2ac + c2 , c2 > a2 − 2ab + b2 a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). b. abc (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) 2  a2 > a2 − ( b − c ) a2 > ( a + c − b) ( a + b − c ) 2  b2 > b2 − ( a − c ) b2 > ( b + c − a) ( a + b − c ) 2  c2 > c2 − ( a − b) c2 > ( b + c − a) ( a + c − b) 2 2 2 a2b2c2 > ( a + b − c ) ( a + c − b) ( b + c − a) abc > ( a + b − c ) ( a + c − b) ( b + c − a ) c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0 4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – a4 – b4 – 2a2b2 – c4 > 0 4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – (a2 + b2)2 – c4 > 0 (2ab)2 – [(a2 + b2) – c2]2 > 0 [c2 – (a – b)2][(a + b)2 – c2] > 0 (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0. 6
  7. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) 8abc ; a, b, c 0  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm: a + b 2 ab , b + c 2 bc , a + c 2 ac ( a + b) ( b + c ) ( a + c ) 8 a2b2c2 = 8abc . 2. Chứng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) 9abc ; a,b,c 0  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: a + b+ c 33 abc , a2 + b2 + c2 3 3 a2b2c2 ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 ) 3 9 a3b3c3 = 9abc . Chứng minh: ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c ) ( 1+ 3 abc ) , với a , b , c 3 3. 0.  ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c ) = 1+ a + b + c + ab + ac + bc + abc.  a + b+ c 33 abc , ab + ac + bc 3 3 a2b2c2 1+ 33 abc + 3 a2b2c2 + abc = ( 1+ 3 abc ) 3 3  ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c ) m m a b 4. Cho a, b > 0. Chứng minh: 1+ + 1+ 2m + 1 , với m Z+ b a m m m m m a b a b b a 1+ + 1+ 2 1+ . 1+ =2 2+ +  b a b a a b 2 4m = 2m + 1 bc ca ab 5. Chứng minh: + + a + b + c ; a, b, c > 0 a b c  Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: bc ca abc2 bc ba b2ac + 2 = 2c , + 2 = 2b , a b ab a c ac ca ab a2bc + 2 = 2a b c bc bc ca ab + + a + b+ c . a b c x6 + y9 6. Chứng minh: 3x2y3 − 16 ; x,y 0 () 4 () x6 + y9 + 64 12x2y3 ( x2 ) 3 + ( y3 ) 3 + 43 12x2y3 Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm: ( x2 ) 3 + ( y3 ) 3 + 43 3x2y3 4 = 12x2y3 . 7
  8. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 4 1 7. Chứng minh: 2a + 3a2 − 1 () 1+ a2 1 () a4 + a4 + a2 + 1+ 2 4a2 . 1+ a 4 4 2 1 Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm: a , a , a + 1, 1+ a2 1 1 a4 + a4 + a2 + 1+ 2 44 a4a4 ( a2 + 1) 2 = 4a2 1+ a 1+ a 8. Chứng minh: a 1995 > 1995( a − 1) () ,a>0 1995 1995 () a > 1995a − 1995 � a + 1995 > 1995a 1995 1995 a1995 + 1995 > a1995 + 1994 = a1995 + 1 1+412 + ... 4+ 31 1995 a = 1995a 1994 so￡ 9. Chứng minh: a2 ( 1+ b2 ) + b2 ( 1+ c2 ) + c2 ( 1+ a2 ) 6abc . a2 ( 1+ b2 ) + b2 ( 1+ c2 ) + c2 ( 1+ a2 ) = a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + c2a2  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm: 6 a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + c2a2 6 a6b6c6 = 6abc a b c 1 1 1 1 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: 2 2 + 2 2 + 2 2 + + a +b b +c a +c 2 a b c a a 1 b b 1 c c 1 2 2 = , 2 2 = , 2 2 = a +b 2ab 2b b +c 2bc 2c a + c 2ac 2a a b c 1 1 1 1 Vậy: 2 + + + + a + b2 b2 + c2 a2 + c2 2 a b c 11. Cho a , b 1 , chứng minh: ab a b − 1 + b a − 1. a = a − 1) + 1 2 a − 1, b = ( b − 1) + 1 2 b − 1 ( ab 2b a − 1, ab 2a b − 1 ab a b − 1 + b a − 1 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) x = ( x − 1) + 1= ( x − 1) + x + y + z − 3 2 = ( x − 1) + ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) 44 ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) 2 2 Tương tự: y 44 ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) ; z 44 ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1). 13. Cho a > b > c, Chứng minh: a 33 ( a − b) ( b − c ) c . 8
  9. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức a = ( a − b) + ( b − c ) + c 3 a − b) ( b − c ) c 3( 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c 16abc. 2 2 2 b+ c b+ c 1− a 2 bc 16abc 16a = 4a ( 1− a) = 16a 2 2 2 4a ( 1− a) = ( 1− a) ( 4a − 4a2 ) 2 2 = ( 1− a) � 1− ( 1− 2a) � � � 1− a = b + c b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) 8abc (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) 2 bc.2 ac.2 ab = 8abc 1 1 1 c) 1+ 1+ 1+ 64 a b c 4 1 a + a + b+ c 4 a2bc 1+ = a a a 4 4 1 4 ab2c 1 4 abc2 1+ 1+ b b c c 1 1 1  1+ 1+ 1+ 64 a b c 1 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: x+ 3 ( x − y) y 1 ( x − y) y  VT = ( x − y) + y + 33 =3 ( x − y) y ( x − y) y 16. Chứng minh: x2 + 2 a) 2 x2 + 2 2 x2 + 1 x2 + 1+ 1 2 x2 + 1 x2 + 1 x+ 8 x − 1+ 9 9 9 b) = = x − 1+ 2 x−1 =6 x−1 x−1 x−1 x−1 a2 + 5 c. ( a2 + 1) + 4 2 4( a2 + 1) = 4 a +1 2 4 a2 + 1 ab bc ca a + b+ c 17. Chứng minh: + + ; a, b, c > 0 a + b b+ c c + a 2 Vì : a + b 2 ab ab ab ab bc bc bc ac ac ac = , = , = a+b 2 ab 2 b+ c 2 bc 2 a+ c 2 ac 2 2 2 2 a + b+ c ab + bc + ca , dựa vào: a + b + c ab + bc + ca . 9
  10. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng ab bc ca ab + bc + ac a + b+ c + + a + b b+ c c + a 2 2 x2 y2 1 18. Chứng minh: + , x,y R 1+ 16x4 1+ 16y4 4 x2 x2 x2 1 4 = 2 2 = 1+ 16x 1+ ( 4x) 2.4x 8 2 2 y y y2 1 4 = 2 2 = 1+ 16y 1+ ( 4y) 2.4y 8 x2 y2 1  4 + 4 1+ 16x 1+ 16y 4 a b c 3 19. Chứng minh: + + ;a,b,c>0 b+ c a + c a + b 2 Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b. 1 a + b + c = (X + Y + Z) 2 Y + Z− X Z+ X − Y X+Y −Z a= ,b= ,c = 2 2 2 a b c 1 Y X Z X Z Y + + = + + + + + −3 b+ c a + c a + b 2 X Y X Z Y Z 1 [ 2 + 2 + 2 − 3] = 3 . 2 2 Cách khác: a b c a b c + + = +1 + +1 + +1 − 3 b+ c a + c a + b b+ c a+c a+b 1 1 1 1 = [ ( a + b) + ( b + c ) + ( c + a) ] + + −3 2 b+ c a + c a + b  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 1 [ ( a + b) + ( b + c) + ( c + a) ] 1 + 1 + 1 9 −3= 3 2 b+ c a + c a + b 2 2 20. Cho a , b , c > 0. C/m: 1 1 1 1 3 3 + 3 3 + 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc a3 + b3 = ( a + b) ( a2 − ab + a2 ) ( a + b) ab 3 3 a + b + abc ( a + b) ab + abc = ab( a + b + c ) , tương tự 3 3 b + c + abc ( b + c ) bc + abc = bc ( a + b + c ) c3 + a3 + abc ( c + a) ca + abc = ca ( a + b + c ) 10
  11. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 1 1 1 1 �a + b + c �  VT + + = � � ab( a + b + c ) bc ( a + b + c ) ca ( a + b + c ) a + b + c � abc � 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a. a + b + c + d 44 abcd với a , b , c , d 0 (Côsi 4 số)  a+b 2 ab , c + d 2 cd  a + b + cd 2( ab + cd ) 2 2( ab. cd ) 44 abcd b. a + b+ c 33 abc với a , b , c 0, (Côsi 3 số ) a + b+ c a + b+ c  a + b+ c + 4.4 abc 3 3 4 a + b+ c 4 abc a + b+ c a + b+ c a + b+ c abc 3 3 3 3 3 a + b+ c abc a + b + c 33 abc . 3 22. Chứng minh: a3 + b3 + c3 a2 bc + b2 ac + c2 ab ; a , b , c > 0 a3 + abc 2a2 bc , b3 + abc 2b2 ac , c3 + abc 2c2 ab a3 + b3 + c3 + 3abc 2( a2 bc + b2 ac + c2 ab ) 2( a3 + b3 + c3 ) 2( a2 bc + b2 ac + c2 ab ) , vì : a3 + b3 + c3 3abc Vậy: 3 3 3 2 2 2 a +b +c a bc + b ac + c ab 23. Chứng minh: 2 a + 3 b + 44 c 99 abc 3  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số không âm: VT = a + a + 3 b + 3 b + 3 b + 4 c + 4 c + 4 c + 4 c 99 abc x 18 24. Cho y = + , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 2 x x 18 x 18  Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: y= + 2 . =6 2 x 2 x x 18 Dấu “ = ” xảy ra = x2 = 36 x = 6 , chọn x = 6. 2 x Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6 x 2 25. Cho y = + ,x > 1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x−1 x−1 2 1  y= + + 2 x−1 2 x−1 2  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm , : 2 x−1 11
  12. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng x−1 2 1 x−1 2 1 5 y= + + 2 . + = 2 x−1 2 2 x−1 2 2 x−1 2 x=3 Dấu “ = ” xảy ra = ( x − 1) 2 = 4 2 x−1 x = −1(loa� i) 5 Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng 2 3x 1 26. Cho y = + , x > −1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x+1 3(x + 1) 1 3  y= + − 2 x+1 2 3( x + 1) 1  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm , : 2 x+1 3( x + 1) 1 3 3( x + 1) 1 3 3 y= + − 2 . − = 6− 2 x+1 2 2 x+1 2 2 Dấu “ = ” xảy ra 6 x= −1 3( x + 1) 1 2 2 3 = � ( x + 1) = � 2 x+1 3 6 x= − − 1(loa� i) 3 6 3 Vậy: Khi x = − 1 thì y đạt GTNN bằng 6 − 3 2 x 5 1 27. Cho y = + ,x > . Định x để y đạt GTNN. 3 2x − 1 2 2x − 1 5 1  y= + + 6 2x − 1 3 2x − 1 5  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm , : 6 2x − 1 2x − 1 5 1 2x − 1 5 1 30 + 1 y= + + 2 . + = 6 2x − 1 3 6 2x − 1 3 3 Dấu “ = ” xảy ra 30 + 1 x= 2x − 1 5 2 2 = � ( 2x − 1) = 30 � 6 2x − 1 − 30 + 1 x= (loa� i) 2 30 + 1 30 + 1 Vậy: Khi x = thì y đạt GTNN bằng 2 3 12
  13. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức x 5 28. Cho y = + , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. 1− x x x 5( 1− x) + 5x x x−1 x 1− x f(x) = + = +5 +5 2 5 +5= 2 5+5 1− x x 1− x x 1− x x 2 x 1− x x 5− 5 Dấu “ = ‘ xảy ra =5 =5 x= (0 < x < 1) 1− x x 1− x 4 5− 5 Vậy: GTNN của y là 2 5 + 5 khi x = 4 x3 + 1 29. Cho y = , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. x2 x3 + 1 1 x x 1 xx 1 3 2 = x+ 2 = + + 2 33 2 =3 x x 2 2 x 22x 4 x x 1 Dấu “ = ‘ xảy ra = = x = 32. 2 2 x2 3 Vậy: GTNN của y là 3 khi x = 3 2 4 x2 + 4x + 4 30. Tìm GTNN của f(x) = , x > 0. x x2 + 4x + 4 4 4 = x+ + 4 2 x. +4= 8 x x x 4 Dấu “ = ‘ xảy ra x= x = 2 (x > 0). x Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2. 2 2 31. Tìm GTNN của f(x) = x + 3 , x > 0. x 3 2 2 x2 x2 x2 1 1 x2 1 5 x2 + 3 = + + + + 55 = x 3 3 3 x3 x3 3 x3 5 27 2 x 1 Dấu “ = ‘ xảy ra = 3 x= 53 x = 2 (x > 0). 3 x 5 Vậy: GTNN của y là 5 khi x = 5 3 . 27 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 2 11x 11 1 1 f(x) = –10x2 + 11x – 3 = −10 x2 − − 3 = −10 x − + 10 20 40 40 13
  14. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 11 Dấu “ = “ xảy ra x= 20 11 1 Vậy: Khi x = thì y đạt GTLN bằng . 20 40 33. Cho y = x(6 – x) , 0 x 6 . Định x để y đạt GTLN.  Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 x 6): 6 = x + ( 6 − x) 2 x ( 6 − x) x(6 – x) 9 Dấu “ = “ xảy ra x = 6 – x x = 3 Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9. 5 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 x . Định x để y đạt GTLN. 2 1  y = (x + 3)(5 – 2x) = (2x + 6)(5 – 2x) 2 5  Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x , −3 x : 2 1 121 11 = ( 2x + 6) + ( 5 − 2x) 2 ( 2x + 6) ( 5 − 2x) (2x + 6)(5 – 2x) 2 8 1 Dấu “ = “ xảy ra 2x + 6 = 5 – 2x x= − 4 1 121 Vậy: Khi x = − thì y đạt GTLN bằng . 4 8 5 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , − x 5 . Định x để y đạt GTLN. 2 1  y = (2x + 5)(5 – x) = (2x + 5)(10 – 2x) 2 5  Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x , − x 5 : 2 1 625 ( 2x + 5) + ( 10 − 2x) 2 ( 2x + 5) ( 10 − 2x) (2x + 5)(10 – 2x) 2 8 5 Dấu “ = “ xảy ra 2x + 5 = 10 – 2x x= 4 5 625 Vậy: Khi x = thì y đạt GTLN bằng 4 8 1 5 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , − x . Định x để y đạt GTLN 2 2  y = 3(2x + 1)(5 – 2x) 1 5  Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x , − x : 2 2 14
  15. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức ( 2x + 1) + ( 5 − 2x) 2 ( 2x + 1) ( 5 − 2x) (2x + 1)(5 – 2x) 9 Dấu “ = “ xảy ra 2x + 1 = 5 – 2x x = 1 Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9. x 37. Cho y = 2 . Định x để y đạt GTLN x +2 1 x 1 2 + x2 2 2x2 = 2x 2 2 y 2 2 2+ x 2 2 Dấu “ = “ xảy ra x2 = 2 v� x >0 x= 2 1 Vậy: Khi x = 2 thì y đạt GTLN bằng . 2 2 x2 38. Cho y = . Định x để y đạt GTLN ( x2 + 2) 3 ( x2 x2 1 2) + 3 2 2 x + 2 = x + 1+ 1 3 x .1.1 3 2 � 27x2 ( x2 + 2) 3 27 Dấu “ = “ xảy ra x2 = 1� x = �1 1 Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng . 27 III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd)2 (a2 + c2)(b2 + d2) () BĐT Bunhiacopxki () a2b2 + 2abcd + c2d2 a2b2 + a2d2 + c2b2 + c2d2 a2d2 + c2b2 − 2abcd 0 ( ad − cb) 2 0. 2. Chứng minh: sinx + cos x 2  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx : sinx + cos x = 1. sinx + 1. cos x ( 12 + 12 ) ( sin2 x + cos2 x) = 2 2 2 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a + 4b 7.  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 , 3 a , 4 , 4b : 3a + 4b = 3. 3a + 4. 4b ( 3 + 4) ( 3a2 + 4b2 ) 3a2 + 4b2 7. 725 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a2 + 5b2 . 47 2 3  2a − 3b = 3a − 5b 3 5 2 3  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số , 3a , − , 5b: 3 5 15
  16. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 2 3 4 9 ( 2 735 3a − 5b + 3a + 5b2 ) 3a2 + 5b2 . 3 5 3 5 47 2464 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a2 + 11b2 . 137 3 5  3a − 5b = 7a − 11b 7 11 3 5  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số , 7a , − , 11b : 7 11 3 5 �9 25 � 2464 7a− 11b � + ( 7a2 + 11b2 ) � 7a2 + 11b2 . 7 11 �7 11 � 137 6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b4 2.  Áp dụng BĐT Bunhiacopski: 2= a+b ( 1+ 1) ( a2 + b2 ) a2 + b2 2 2 ( a2 + b2 ) ( 1+ 1) ( a4 + b4 ) a4 + b4 2 2 2 1 7. Cho a + b 1 Chứng minh: a + b 2 ( 12 + 12 ) ( a2 + b2 ) 1 1 a+b a2 + b2 2 16
  17. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC 1. (CĐGT II 2003 dự bị) Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: x2 + xy + y2 + x2 + xz+z2 y2 + yz+z2 2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 x + y + z. 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 1 1 thức: A=x+y+z+ + + x y z 4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) 5 Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 4 1 biểu thức: A = + . x 4y 5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức: a b c d + + + 0 thì (x + 1)2 x 16. 7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) a + b+ c a + b+ c a + b+ c Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng: + + 9 a b c 8. (CĐKTYTế1 2006) Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y 0; x2 + x = y + 12. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz. 10. (Học viện BCVT 2001) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1 1 1 1 a b c thì: a + b+ c 3 a+ b+ c 3 3 3 3 3 3 11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh: a b c 3 3 2 2 + 2 2 + 2 2 b +c c +a a +b 2 17
  18. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 12. (ĐH Kiến trúc HN 2001) a2 + b2 + c2 = 2 Cho các số a, b, c thoả: ab + bc + ca = 1 4 4 4 4 4 4 Chứng minh: − a ;− b ;− c 3 3 3 3 3 3 13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Cho ABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 + + 2 + + p− a p− b p− c a b c 14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng: 2 x 2 y 2 z 1 1 1 3 2 + 3 2 + 3 2 2 + 2+ 2 x +y y +z z +x x y z 15. (ĐH PCCC khối A 2001) Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb+ c a + logc+ a b + loga+b c > 1 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi > 1 ta luôn có: x + – 1 ≥ x. Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì: a3 b3 c3 a b c 3 + 3 + 3 + + b c a b c a 17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: a b − 1 + b a − 1 ab (*) 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì: 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) 2 2 2 Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng: > a 3 +b3 c 3 20. (ĐHQG HN khối A 2000) Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng: 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c 21. (ĐHQG HN khối D 2000) Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng b2 + 2a2 c2 + 2b2 a2 + 2c2 minh rằng: + + 3 ab bc ca 22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) 3 a3 + b3 a+b Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng: 2 2 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) 18
  19. Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT: a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của bc ca ab biểu thức: P = 2 + 2 + 2 a b + a c b c + b a c a + c2b 2 2 25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có: ( ) 3 (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 1+ 3 abc 26. (ĐH Y HN 2000) 2 3 Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện + = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất x y của tổng x + y. 27. (ĐH An Giang khối D 2000) Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1) 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) 18xyz CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx > 2 + xyz 29. (ĐH An Ninh khối A 2000) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: nn + 1 > (n + 1)n 30. (CĐSP Nha Trang 2000) Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = a + 1+ b + 1 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì 1 1 1 9 khác không: 2 + 2 + 2 x y z x + y2 + z2 2 BĐT cuối cùng luôn đúng BĐT cần chứng minh đúng. 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) a2 b2 c2 a b c Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh: + + + + b2 c2 a2 b c a 33. (ĐH Hàng hải 1999) Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng: x y z 3 1 1 1 + + + + 1+ x2 1+ y2 1+ z 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng: 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (*) 35. (Đại học 2002 dự bị 1) 19
  20. Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ABC có 3 góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 (a, b, c là các cạnh của x+ y+ z ABC, R là 2R bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào? 36. (Đại học 2002 dự bị 3) 5 Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = . Tìm 4 4 1 giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S= + x 4y 37. (Đại học 2002 dự bị 5) Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50. a c b2 + b + 50 Chứng minh bất đẳng thức: + và tìm giá trị nhỏ nhất b d 50b a c của biểu thức: S = + . b d 38. (Đại học 2002 dự bị 6) 3 Cho tam giác ABC có diện tích bằng . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các 2 cạnh BC, CA, AB và h a, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 + + + + 3 a b c ha hb hc 39. (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 x2 + 2 + y2 + 2 + z2 + 2 82 x y z 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin5x + 3 cosx 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng: 4p(p − a) bc (1) A B C 2 3−3 sin sin sin = (2) 2 2 2 8 a + b+ c trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p = . 2 42. (Đại học khối A 2005) 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2