280
ỨNG DỤNG CẤP SỐ NHÂN TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ
Huỳnh Ngọc Diễm 1
1. Khoa Sư phạm, Trường Đại học Thủ Dầu Một
TÓM TẮT
Chuyên đề cấp số nhân là một trong những chuyên đề có nhiều ứng dụng trong các bài toán
thực tế thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau, học sinh có thể vận dụng kiến thức liên quan cấp số nhân để
giải quyết các vấn đề rất gần gũi trong cuộc sống hàng ngày, chẳng hạn: chọn kỳ hạn gửi tiết kiệm,
các bài toán về tăng trưởng dân số, dự trù kinh phí cho một công việc, … Bài viết trình bày ứng dụng
cấp số nhân trong các bài toán thực tế nhằm giới thiệu ứng dụng của chuyên đề này.
Từ khóa: cấp số nhân, dãy số, dãy số thực, ứng dụng của cấp số nhân.
1. GIỚI THIỆU
Trong Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo (Bộ
giáo dục và Đào tạo, 2018) đã nêu rõ đặc điểm của môn học như sau: Toán học ngày càng có nhiều
ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kỹ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết
các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát
triển. Nội dung môn Toán thường mang tính logic, trừu tượng, khái quát. Do đó, để hiểu và học được
Toán, chương trình Toán ở trường phổ thông cần bảo đảm sự cân đối giữa "học" kiến thức và "vận
dụng" kiến thức vào giải quyết vấn đề cụ thể. Bên cạnh đó, việc tăng cường mối liên hệ giữa toán học
và thực tế được xem là một trong những định hướng xuyên suốt trong quá trình dạy học môn Toán ở
cấp trung học phổ thông, nó giúp cho học sinh có những hiểu biết tương đối về các ngành nghề gắn
với môn Toán và giúp học sinh có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề liên quan đến
toán học trong suốt cuộc đời. Vì vậy, việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán
học vào thực tiễn là điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của giáo
dục Toán học.
Trong chương trình Toán lớp 11, chuyên đề cấp số nhân là một trong những chuyên đề có nhiều
ứng dụng trong các bài toán thực tế thuộc lĩnh vực Giáo dục dân số, lĩnh vực tài chính, … Sau khi
học chuyên đề này, học sinh có thể vận dụng kiến thức liên quan cấp số nhân để giải quyết các vấn
đề rất gần gũi trong cuộc sống hàng ngày, chẳng hạn: giúp gia đình lựa chọn kỳ hạn gửi tiết kiệm sao
cho thu về tiền lãi cao nhất sau một khoảng thời gian theo dự định, hoặc vận dụng cấp số nhân để giải
quyết các bài toán về tăng trưởng dân số, hoặc vận dụng cấp số nhân để dự trù kinh phí cho một công
việc mà gia đình/cá nhân dự định làm, … Nội dung bài viết là trình bày ứng dụng cấp số nhân trong
các bài toán thực tế nhằm giới thiệu ứng dụng của chuyên đề này.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý thuyết
2.1.1. Định nghĩa cấp số nhân (Trần Nam Dũng và nnk., 2023)
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số
hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số q không đổi, tức là:
1. , *.
nn
u u q n
+=
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
281
2.1.2. Một số công thức (Trần Nam Dũng và nnk., 2023)
* Số hạng tổng quát của cấp số nhân:
Giả sử một cấp số nhân
( )
n
u
có số hạng đầu
1
u
và công bội q thì số hạng tổng quát
n
u
của nó
được xác định bởi công thức:
1
1. , 2.
n
n
u u q n
−
=
* Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:
Giả sử
( )
n
u
là một cấp số nhân có công bội
1q
. Đặt
12
...
nn
S u u u= + + +
, khi đó:
( )
1.1
.
1
n
n
uq
Sq
−
=−
2.2. Ứng dụng cấp số nhân để giải một số bài toán có yếu tố thực tế
2.2.1. Bài toán 1
Dân số Việt Nam năm 2020 là khoảng 97,6 triệu người (theo Niên giám thống kê năm 2020) và
tốc độ gia tăng dân số trung bình mỗi năm là 1,14%.
a) Dân số Việt Nam đến năm 2040 là khoảng bao nhiêu người (làm tròn kết quả đến hàng trăm
nghìn)?
b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì ước tính vào năm nào dân số của
Việt Nam sẽ tăng gấp đôi so với năm 2020?
Giải.
Giả sử dân số của Việt Nam sau mỗi năm là số hạng của dãy số
( )
n
u
với
.
Ta có:
( )
( )
( )
( )
1
2 1 1 1
3 2 2 2
4 3 3 3
1 1 1
97, 6;
1,14% 1 1,14% ;
1,14% 1 1,14% ;
1,14% 1 1,14% ;
...
1,14% 1 1,14% .
n n n n
u
u u u u
u u u u
u u u u
u u u u
− − −
=
= + = +
= + = +
= + = +
= + = +
Ta thấy cứ sau mỗi năm dân số của Việt Nam sẽ được nhân thêm một bội số của
, do
đó dân số của Việt Nam sau mỗi năm tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu
và công
bội
1 1,14%q=+
.
a) Dân số của Việt Nam đến năm 2040 là số hạng thứ 21 của cấp số nhân trên, ta có:
( ) ( )
20 20
21 1
1 1,14% . 1 1,14% .97,6 122,4.uu= + = +
Vậy dân số của Việt Nam đến năm 2040 khoảng 122,4 triệu người.
b) Giả sử sau
t
năm
( )
*t
thì dân số của Việt Nam gấp đôi so với dân số năm 2020 với tốc
độ gia tăng dân số là 1,14%/năm.
Theo giả thiết, ta có:
( )
11
2 1 1,14% .97,6 2.97,6
t
t
uu
+= + =
( )
1 1,14% 2
t
+ =
61,1.t
282
Vì
*t
nên
62t=
.
Vậy với tốc độ gia tăng dân số là 1,14%/năm, ước tính đến năm 2082 dân số của Việt Nam sẽ
tăng gấp đôi so với năm 2020.
2.2.2. Bài toán 2
Gia đình ông Bình cần khoan một cái giếng nước, biết rằng giá tiền của mét khoan đầu tiên là
100000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá tiền của mỗi mét sau tăng thêm 6% so với giá tiền của
mét khoan ngay trước nó. Hỏi nếu gia đình ông Bình muốn khoan một cái giếng sâu 45m thì tốn chi
phí là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng nghìn)?
Giải.
Giả sử giá tiền của mỗi mét khoan là số hạng của dãy số
( )
n
u
với
1100000u=
.
Ta có:
1
2 1 1 1
3 2 2 2
4 3 3 3
1 1 1
100000;
6% 1,06 ;
6% 1, 06 ;
6% 1,06 ;
...
6% 1,06 .
n n n n
u
u u u u
u u u u
u u u u
u u u u
− − −
=
= + =
= + =
= + =
= + =
Ta thấy cứ xuống mỗi mét khoan, giá tiền sẽ được nhân thêm một bội số của
1, 06
, do đó giá
tiền mỗi mét khoan tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu
1100000u=
và công bội
1, 06q=
.
Chi phí mà gia đình ông Bình cần chi trả cho giếng khoan sâu 45m là tổng 45 số hạng đầu tiên
của cấp số nhân trên, ta có:
45 45
45 1
1 1 1, 06
. 100000. 21274000.
1 1 1, 06
q
Su q
−−
= =
−−
Vậy chi phí khoan giếng nhà ông Bình là 21274000 đồng.
2.2.3. Bài toán 3: Tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ (Lê Đình Thúy, 2010)
Giả sử một người có một khoản tiền A thì sau một kỳ hạn, với lãi suất r/kỳ hạn, người đó sẽ có
một khoản tiền cả vốn lẫn lãi là:
( )
11.B A rA r A= + = +
Như vậy, nếu tính gộp tiền lãi vào tiền gốc thì cứ sau mỗi kỳ hạn, số tiền của người đó sẽ được
nhân thêm bội số
1qr=+
. Gọi B là số tiền người đó sẽ nhận được sau t kỳ hạn, ta có một cấp số
nhân với công bội
1qr=+
. Khi đó:
Giá trị tương lai của khoản tiền A sau t kỳ hạn được tính theo công thức:
( )
1.
t
B A r=+
Ngược lại, giá trị hiện tại của một khoản tiền B mà người đó sẽ nhận sau t kỳ hạn là:
( ) ( )
1.
1
t
t
B
A B r
r
−
= + = +
Ví dụ 1. Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào ngân hàng Sacombank với lãi suất 4,8%/năm.
Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào vốn ban
đầu (người ta gọi là lãi kép). Giả sử trong khoảng thời gian gửi người gửi không rút tiền ra và lãi suất
283
không thay đổi, hỏi sau 5 năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được là bao nhiêu?
(kết quả làm tròn đến hàng nghìn).
Giải.
Số tiền người đó nhận được sau 5 năm là:
( )
5
1 4,8% .100 126, 417+
(triệu đồng).
Vậy số tiền người đó nhận được sau 5 năm với lãi suất 4,8%/năm là 126,417 triệu đồng.
Ví dụ 2. Một dự án đòi hỏi vốn đầu tư ban đầu là 60 triệu đồng và sẽ đem lại 90 triệu đồng sau
5 năm. Trong điều kiện lãi suất tiền gửi ngân hàng BIDV là 5,3%/năm có nên đầu tư vào dự án này
không? Vì sao?
Giải.
Nếu gửi 60 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 5,3%/năm thì sau 5 năm số tiền nhận được là:
( )
5
1 5,3% .60 77,7+
(triệu đồng).
Ta thấy 77,7 < 90, do đó nên đầu tư vào dự án thay vì gửi ngân hàng.
Ví dụ 3. Mẹ bạn An muốn gửi số tiền 300 triệu đồng vào ngân hàng BIDV trong 2 năm. Khi
đến ngân hàng, mẹ bạn An được nhân viên cho xem bảng lãi suất tháng 12/2023 của ngân hàng như
sau: kỳ hạn 1 tháng, lãi suất 3%/năm; kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 3,3%/năm; kỳ hạn 6 tháng, lãi suất
4,3%/năm; kỳ hạn 12 tháng, lãi suất 5,3%/năm. Mẹ bạn An phân vân không biết chọn kỳ hạn nào để
gửi cho số tiền của mình sao cho sau 2 năm được tiền lãi nhiều nhất. Hãy giúp mẹ bạn An tìm kỳ hạn
phù hợp với yêu cầu, biết rằng mẹ bạn An lựa chọn phương thức lãi nhập vốn và giả sử lãi suất không
thay đổi.
Giải.
Ta có: 2 năm = 24 tháng.
Nếu chọn kỳ hạn 1 tháng thì số tiền cả lãi và vốn sau 2 năm mẹ bạn An nhận được là:
24
0,03
300. 1 318,53
12

+


(triệu đồng).
Nếu chọn kỳ hạn 3 tháng thì số tiền cả lãi và vốn sau 2 năm mẹ bạn An nhận được là:
8
0,033
300. 1 .3 320,38
12

+


(triệu đồng).
Nếu chọn kỳ hạn 6 tháng thì số tiền cả lãi và vốn sau 2 năm mẹ bạn An nhận được là:
4
0,043
300. 1 .6 326,64
12

+


(triệu đồng).
Nếu chọn kỳ hạn 12 tháng thì số tiền cả lãi và vốn sau 2 năm mẹ bạn An nhận được là:
( )
2
300. 1 0,053 332,64+
(triệu đồng).
So sánh các giá trị trên, mẹ bạn An nên chọn kỳ hạn 12 tháng để thu được tiền lãi nhiều nhất
sau 2 năm, số tiền cả lãi và vốn mẹ bạn An nhận được khoảng 332,64 triệu đồng.
Ví dụ 4. Một dự án đòi hỏi chi phí ban đầu 40 triệu đồng và sẽ đem lại thêm 10 triệu đồng sau
1 năm, 20 triệu đồng sau 2 năm và 30 triệu đồng sau 3 năm. Dự án đó có lợi về mặt kinh tế hay không
nếu lãi suất hiện hành là 4,8%/năm (Bảng lãi suất của ngân hàng Sacombank tháng 12/2023)?
Phương pháp giải. (Lê Đình Thúy, 2010)
284
Một phương pháp khác để đánh giá dự án đầu tư là tính giá trị hiện tại ròng. Giá trị hiện tại ròng
của một dự án đầu tư là hiệu số của giá trị hiện tại của khoản tiền sẽ thu về trong tương lai và chi phí
triển khai dự án. Gọi C là khoản chi phí hiện tại, B là khoản do dự án đem lại sau t kỳ hạn, r là lãi
suất theo kỳ hạn và NPV (Net Present Value) là giá trị hiện tại ròng của dự án, ta có công thức: NPV
= B(1+r)-t - C.
Một tiêu chuẩn cơ bản để một dự án đầu tư được chấp nhận là NPV > 0.
Giải.
Ta tính NPV của các dự án và so sánh:
Dự án 1:
( )
1
50 1 4,8% 40 7,7NPV −
= + −
(triệu đồng).
Dự án 2:
( )
2
60 1 4,8% 40 14,6NPV −
= + −
(triệu đồng).
Dự án 3:
( )
3
70 1 4,8% 40 20,8NPV −
= + −
(triệu đồng).
Ta thấy dự án 3 có NPV lớn nhất, do đó chúng ta sẽ chọn dự án 3 để có lợi về mặt kinh tế nhất.
2.2.4. Bài toán 4: Kỳ khoản và giá trị của các luồng vốn (Lê Đình Thúy, 2010)
Kỳ khoản là các khoản tiền tích góp đều đặn theo định kỳ (hàng tháng, hàng quý, hàng năm,…).
Kỳ khoản định kỳ hàng năm được gọi là niên khoản. Chẳng hạn: Các khoản tiền thanh toán cho một
hàng hóa mà bạn mua theo phương thức trả góp.
Sử dụng phương pháp tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai đã nêu ở trên và công thức tính
tổng các số hạng của một cấp số nhân ta có thể tính được giá trị hiện tại và giá trị tương lai của một
luồng kỳ khoản.
Ví dụ 1. Một dự án đầu tư sau một năm sẽ đem lại cho bạn đều đặn 20 triệu đồng mỗi năm, liên
tiếp trong 10 năm sau đó. Hỏi rằng với lượng vốn phải đầu tư ban đầu là bao nhiêu thì bạn có thể
chấp nhận dự án đó trong điều kiện lãi suất 4,8%/năm (Bảng lãi suất của ngân hàng Sacombank tháng
12/2023)?
Giải.
Để đánh giá dự án, ta tính giá trị hiện tại của luồng thu nhập như sau:
( ) ( ) ( )
2 3 10
2 3 10
10
20 20 20 20
...
1 0,048 1 0,048 1 0,048 1 0,048
1 1 1 1
20. ...
1,048 1,048 1, 048 1,048
11
1
1,048 1,048
20. 155,95.
1
11,048
PV = + + + +
++ + +

= + + + +



−


=
−
Vậy dự án chỉ có thể được chấp nhận nếu số vốn phải đầu tư ban đầu ít hơn 155,95 triệu đồng.
Ví dụ 2. Giả sử chị bạn Bình định mua một chiếc xe máy theo phương thức trả góp. Theo
phương thức này, sau một tháng kể từ khi nhận hàng chị bạn Bình phải trả đều đặn mỗi tháng một số
tiền nhất định cho cửa hàng, liên tiếp trong 18 tháng. Giả sử giá xe máy vào thời điểm chị bạn Bình
mua là 50 triệu đồng (giá trả ngay) và giả sử lãi suất ngân hàng là 1%/tháng. Với mức phải trả hàng
tháng là bao nhiêu thì việc mua trả góp là chấp nhận được?
Giải.
Gọi a (đồng), a > 0 là khoản tiền chị bạn Bình phải trả hàng tháng.
Giá trị hiện tại của toàn bộ luồng tiền trả góp tại thời điểm nhận hàng là: