Kỷ yếu Hội thảo “Sinh viên Trường Đại học An Giang với hoạt động nghiên cứu khoa học”
TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG, THÁNG 6 NĂM 2022 169
THE APPLICATION OF MAPLE SOFTWARE
TO SOLVE SOME GEOMETRIC EXTREME PROBLEMS
Abstract: The application of supporting software in the teaching process is no longer
a strange thing today. This is a tool to help learners approach the problem in many
different directions. Specifically, for Maple software, it will help students to check the
results of geometric extreme problems more quickly and accurately. Therefore, in the
following article, we present about the application of Maple software to solve some
geometric extreme problems.
Keywords: Maple, distance, volume, geometric extreme.
ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC
Nguyễn Thị Mơ1
Tóm tắt: Việc ứng dụng các phần mềm hỗ trợ vào quá trình dạy học không còn là xa lạ
trong ngày nay. Đây là công cụ giúp người học tiếp cận với vấn đề theo nhiều hướng
khác nhau. Cụ thể, đối với phần mềm Mape, nó sẽ giúp học sinh có thể kiểm tra lại kết
quả của các bài toán cực trị hình học một cách nhanh chóng hơn, chính xác hơn. Vì thế,
trong bài viết dưới đây, chúng tôi trình bày về việc ứng dụng phần mềm Maple để giải
một số bài toán cực trị hình học.
Từ khóa: Maple, khoảng cách, thể tích, cực trị hình học.
1. Mở đầu
Maple là một phần mềm tính toán mạnh mẽ của công ty Waterloo Maple Inc, ra
đời năm 1991 với nhiều tính năng hữu ích cho việc tính toán. Đây là một phần mềm
cung cấp nhiều lệnh tính toán trực quan, hiện nay có rất nhiều trường Đại học trên thế
giới sử dụng Maple để giảng dạy cũng như thực hiện các tính toán khoa học. Maple có
các tính năng cơ bản sau: tính toán các biểu thức đại số; thực hiện được hầu hết các phép
toán của Toán phổ thông và Toán đại học; minh học tốt các hình hình học với đồ thị tĩnh
và động của các đường, mặt trong các hệ trục tọa độ khác nhau; là ngôn ngữ lập trình
đơn giản mà mạnh mẽ; có thể xuất các nội dung thành các ngôn ngữ khác để chia sẻ [1].
Đối với các bài toán cực trị hình học, việc giải chúng thực chất là đi tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của các đối tượng hình học như: khoảng cách, thể tích, diện
1 Sinh viên ngành Sư phạm Toán (lớp DH19TO), Khoa Sư phạm, Trường Đại học An Giang, ĐHQG-HCM; Email:
ntmo_19to@student.agu.edu.vn.
Kỷ yếu Hội thảo “Sinh viên Trường Đại học An Giang với hoạt động nghiên cứu khoa học”
TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG, THÁNG 6 NĂM 2022 170
tích,…Do đó, với một vài bài toán, ta sẽ lập hàm số cho đại lượng cần tìm cực trị, sau
đó sẽ vận dụng phương pháp đại số để cho ra kết quả. Ở bước tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm số có thể sẽ gây ra khó khăn và dễ dẫn đến kết quả sai lầm cho học
sinh. Vì thế, việc sử dụng phần mềm hỗ trợ tính toán là Maple sẽ giúp học sinh tự kiểm
tra lại kết quả, rèn luyện cho các em tính tự học nhiều hơn.
2. Sử dụng phần mềm Maple để giải bài toán cực trị hình học
Dựa trên các tính năng tính toán của phần mềm Maple, quá trình giải bài toán cực
trị hình học được thực hiện như sau:
Bước 1: Số hóa bài toán (nhập dữ liệu).
Bước 2: Tính toán các giá trị cần thiết để suy ra hàm cần tìm cực trị.
Bước 3: Dùng phần mềm đề tìm cực trị.
Bước 4: Giải thích ý nghĩa hình học của kết quả.
Bài toán 1: Cho
1; 6 , 3; 4 .EF
Tìm điểm
M
trên đường thẳng
:2 1 0dxy 
sao cho:
a)
 
ME MF
nhỏ nhất.
b)
ME MF
lớn nhất.
Lời giải
Hình 1. Hình minh họa bài toán 1.
a) Ta có
;M xy
thuộc
d
thì
2 1 0 2 1.xy y x 
Suy ra
Nên
22
22 44ME MF x x 
 
Kỷ yếu Hội thảo “Sinh viên Trường Đại học An Giang với hoạt động nghiên cứu khoa học”
TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG, THÁNG 6 NĂM 2022 171
2
2
25 6 5
3 16 8
25 .
5 55
xx
x




Dấu “=” xảy ra khi
3
5
x
nên
31
;.
55
M

b) Đặt
;2 1f xy x y 
thì
1; 6 2 6 1 0;
3; 4 6 4 1 0.
f
f


Do đó
E
và
F
cùng phía đối với
.d
Ta có
16 100 116 2 29.ME MF EF 
Dấu “=” xảy ra khi
M
là giao điểm của đường thẳng
EF
với đường thẳng
.d
EF
có VTCP
4;10FE

nên VTPT của
EF
là
5; 2 .n
:5 1 2 6 0EF x y
hay
5 2 7 0.xy 
Tọa độ
;M xy
thỏa hệ
2 10 9
.
5 2 7 0 19
xy x
xy y









Vậy
9; 19M
[2].
Lời giải với sự hỗ trợ của phần mềm Maple
Vì bài toán thuộc dạng tọa độ trong mặt phẳng nên ta mở gói lệnh with (geometry):
(Lưu ý: dấu “;” sau mỗi lệnh mang ý nghĩa Maple sẽ hiển thị kết quả ngay, còn
dấu “:” sau mỗi lệnh mang ý nghĩa Maple vẫn tính toán bình thường nhưng không hiển
thị kêt quả ngay.)
Ta khai báo tọa độ các điểm
,, :EFM
point
,1, 6 :E
point
, 3; 4 :F
point
, ,2 1 :Mx x
Trích hoành độ (HorizontalCoord) và tung độ (VerticalCoord) của các điểm:
xE
:
HorizontalCoord(E): yE
:
VerticalCoord(E):
xF
:
HorizontalCoord(F): yF
:
VerticalCoord(F):
xM
:
HorizontalCoord(M): yM
:
VerticalCoord(M): [3]
Tính toán tọa độ của các vectơ
ME

và
.MF

Kỷ yếu Hội thảo “Sinh viên Trường Đại học An Giang với hoạt động nghiên cứu khoa học”
TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG, THÁNG 6 NĂM 2022 172
xME
:
xE – xM : yME
:
yE – yM :
xMF
:
xF – xM : yMF
:
yF – yM :
a)
ME MF
 
được tính theo công thức:
22
;xME xMF yME yMF 
Đặt con trỏ sau dấu “;”, nhấn phím Enter ta nhận được kết quả của
ME MF
 
là:
2
25 6 5xx
Tới đây ta đặt
2
: 2 5 6 5:f xx 
Theo đề bài, ta sẽ đi tìm giá trị nhỏ nhất của
f
bằng cách nhập máy:
minimize
,;fx
Ta được kết quả là
85.
5
Giải phương trình để tìm
x
khi hàm đạt giá trị nhỏ nhất.
solve
85, ;
5
fx


Kết quả là
3
5
Do đó giá trị nhỏ nhất của
f
là
85
5
khi
3.
5
x
Cuối cùng, ta tìm tung độ yM :
subs
3,;
5
x yM


Nhận được kết quả
1
5
Vậy giá trị nhỏ nhất của
ME MF
 
là
85
5
tại điểm
31
;.
55
M

Kỷ yếu Hội thảo “Sinh viên Trường Đại học An Giang với hoạt động nghiên cứu khoa học”
TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG, THÁNG 6 NĂM 2022 173
Sau khi đặt
2
: 2 5 6 5,f xx 
ta có thể trực tiếp đi tìm cực trị của
f
bằng cách
nhập máy:
min(solve(diff(f,x) = 0)), simplify(eval(f,x = min(solve(diff(f,x) = 0))));
Tới đây ta giải tiếp như trên.
b) Tính độ dài
ME MF
|distance(M, E) - distance(M, F)|;
Gán
a
cho biểu thức vừa tìm được.
Tương tự ta tìm cực trị cho hàm
.a
max(solve(diff(a,x) = 0)), simplify(eval(a,x = max(solve(diff(a,x) = 0))));
Ta nhận được kết quả là:
9,2 29
Do đó giá trị lớn nhất của
a
là
2 29
tại
9.x
Cuối cùng ta tìm tung độ yM :
subs
9, ;x yM
Kết quả là
19.
Vậy giá trị lớn nhất của
ME MF
là
2 29
tại điểm
9; 19 .M
Bài toán 2: (ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM – ĐỢT 1 1998) Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
,a
cạnh bên
SA h
và
.SA ABCD
M
là điểm thay đổi trên cạnh
.CD
Đặt
.CM x
a) Hạ
.SH BM
Tính
SH
theo
,ah
và
.x
b) Xác định vị trí của
M
để thể tích tứ diện
.S ABH
đạt giá trị lớn nhất và tính giá
trị lớn nhất đó.
Lời giải