VJE
Tp chí Giáo dc (2024), 24(7), 1-5
ISSN: 2354-0753
1
VẬN DỤNG QUY TRÌNH MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC
NỘI DUNG “HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC” (TOÁN 10)
Bùi Anh Kit
1,+
,
Trn Văn Quân
2
1
Trưng Đi hc Cn Thơ;
2
Trưng Trung hc ph thông Phan Ngc Hin,
huyn Năm Căn, tnh Cà Mau
+ Tác gi liên h ● Email: bakiet@ctu.edu.vn
Article history
Received: 25/12/2023
Accepted: 31/01/2024
Published: 05/4/2024
Keywords
Competencies, mathematical
modeling procedure,
quantitative systems, math 10
ABSTRACT
According to the 2018 Mathematics General Education Curriculum, in
teaching Mathematics, one of the basic competencies that need to be
formed for students is the math modeling competence. Through modeling
activities, students can establish a mathematical model to describe the
situation, thereby providing solutions to mathematical problems posed in
the established model. The research study develops a mathematical
modeling procedure in teaching Mathematics and applies this procedure
in teaching the topic “Quantitative relations in triangles” (Math 10). With
the steps of the proposed mathematical modeling procedure, students can
naturally review and consolidate their knowledge of quantitative relations
in triangles, especially the Sine theorem. Teachers’ effective use of the
modeling procedure to solve practical situations in teaching Mathematics
will help students develop the mathematical modeling competency.
1. M đầu
Để thực hiện Nghị quyết số 29-NQ/TW của Ban Chấp hành Trung ương (2013), ngành Giáo dục đã đang
đang triển khai đổi mớin bản, toàn diện GD-ĐT, đáp ứng yêu cầu CNH, HĐH trong điều kiện kinh tế thị trường
định hướng hội chủ nghĩa hội nhập quốc tế; tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng
hiện đại, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học, tạo cơ sở để người
học tự cập nhật đổi mới tri thức, năng, phát triển ng lực. Theo Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán
2018, môn Toán ở THPT góp phần giúp HS thiết lập được mô hình toán học để mô tả tình huống, từ đó đưa ra cách
giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập; thực hiện, trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề
và đánh giá được giải pháp (Bộ GD-ĐT, 2018). Do vậy, thông qua hoạt động mô hình hóa trong dạy học môn Toán
không những giúp HS lĩnh hội được kiến thức, thấy được mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn mà còn hình thành
và phát triển năng lực mô hình hóa toán học (MHHTH) - một trong những năng lực cốt lõi của năng lực toán học.
“H thc ng trong tam giác” trong chương trình Toán 10 mt ni dung cơ bn, có nhiu ni dung có mi
liên h cht ch vi các tình hung thc tin và trong các lĩnh vc khoa hc khác. Trong đó, ngưi hc có th s
dng đnh lí Cosin đnh lí Sin đ tính khong cách gia hai đim trên thc tế (mà không cn đo trc tiếp) thông
qua mô hình toán hc. Trong bài báo này, chúng tôi trình bày mt s vn đ lí lun, xây dng quy trình MHHTH
trong dy hc môn Toán THPT và minh ha quy trình này trong dy hc ni dung trên nhm giúp HS thiết lp mô
hình toán hc đ gii quyết tình hung thc tin, t đó nh thành phát trin năng lc, đc bit là năng lc MHHTH.
2. Kết qu nghiên cu
2.1. Mt s vn đ lí lun
2.1.1. Mô hình hóa toán hc
Theo Nguyen (2016), hình hóa đưc biết đến như mt phương pháp dy hc, cung cp cho HS hiu khái
nim ca vn đ, giúp các em đc hiu, thiết lp và gii quyết vn đ c th da trên tình hung thc tin. Theo
Edwards và Hamson (2001), MHHTH là quá trình chuyn đi mt vn đ thc tin sang mt vn đ tn hc thông
qua vic thiết lp và gii quyết các mô hình toán hc, th hin và đánh giá li gii trong ng cnh thc tin, ci tiến
mô hình nếu cách gii quyết không th chp nhn. Greefrath và cng s (2023) cho rng, MHHTH s giúp HS ph
thông trang b các kiến thc và kĩ năng cn thiết đ gii quyết các bài toán phc tp đòi hi năng lc MHHTH. Theo
Niss và Blum (2020), MHHTH là s gii thích ngôn ng toán hc cho mt h thng ngoài toán hc, vi các câu hi
xác đnh mà ngưi ta đt ra trên h thng này; là quá trình xây dng mt mô hình toán hc cho vn đ ngoài toán
hc, gii quyết vn đ bng ngôn ng toán hc, ri kim tra và đánh giá kết qu trong ng cnh thc tin, ci tiến mô
VJE
Tp chí Giáo dc (2024), 24(7), 1-5
ISSN: 2354-0753
2
hình nếu cách gii quyết không th chp nhn. Theo Nguyn Danh Nam (2020), khi s dng toán hc đ gii quyết
vn đ, tình hung thc tin thì mô hình toán hc và quá trình MHHTH là nhng công c cn thiết.
T các quan đim trên, theo chúng tôi, “MHHTH” phương pháp giúp HSm hiu, khám phá các tình hung
thc tin bng các công c ngôn ng toán hc, t đó vn dng kiến thc, kĩ năng toán hc vào gii quyết bài toán
đt ra.
2.1.2. Mt s quy trình mô hình hóa toán hc đin hình trong dy hc môn Toán
Quy trình MHHTH quy trình thiết lp mt mônh toán hc cho vn đ ngoài toán hc, gii quyết vn đ
trong mô hình đó, ri th hin và đánh giá li gii trong ng cnh thc tế, ci tiến mô hình nếu cách gii quyết không
th chp nhn (Lê Th Hoài Châu, 2014). Đ thc hin nhim v mô hình hóa, chúng ta cn thông qua quy trình
MHHTH.
Niss và Blum (2020) đã đưa ra quy trình MHHTH gm 7 bưc: - c 1: Hiu tình hung thc tin đã cho, xây
dng mt mô hình cho tình hung, khám phá và thiết lp mc tiêu gii quyết cho tình hung; - c 2: Đơn gin
hóa tình hung và đưa các biến phù hp đ đưc mô hình thc ca tình hung, la chn các biến quan trng đ
t tình hung; - c 3: Chuyn t mô hình thc sang mô hình toán hc, thiết lp mô hình toán hc bng công c
ngôn ng tn hc, mô t mi quan h gia các biến s; - c 4:m vic trong môi trưng toán hc, phân tích
các mi quan h gia các biến đ rút ra kết lun; - c 5: Th hin kết qu trong ng cnh thc tin; - c 6: Xem
xét tính phù hp ca kết qu; - c 7: Trình bày cách gii quyết vn đ.
Stillman và cng s (2008) đã đưa ra quy trình MHHTH gm 6 bưc: - c 1: Hiu tình hung đã cho, đưa ra
các điu kin và gi thiết phù hp đ to ra mt mô hình thc tế ca tình hung; - c 2:y dng mô hình toán
biu din cho mô hình thc tế; - c 3:m vic trong môi trưng toán hc đ thu đưc kết qu toán hc; - c
4: Th hin kết qu trong ng cnh thc tế; - c 5: Xem xét tính hp lí, tha đáng ca kết qu thc tế hay quyết
đnh thc hin li quá trình ln 2; - c 6: Trình bày cách gii quyết vn đ.
Nguyn Danh Nam (2015) đã đ xut các bưc MHHTH gm: - c 1:m hiu, xây dng cu trúc, làm sáng
t, phân tích, đơn gin hóa vn đ, xác đnh gi thuyết, tham s, biến s trong phm vi ca vn đ thc tế; - c 2:
Thiết lp mi liên h gia các gi thuyết khác nhau đã đưa ra; - c 3: Xây dng bài tn bng cách la chn và
s dng ngôn ng toán hc mô t tình hung thc tế; - c 4: S dng các công c toán hc thích hp đ gii bài
toán; - c 5: Hiu đưc li gii ca bài toán, ý nghĩa ca mô hình toán hc trong bi cnh thc tế; - c 6: Kim
nghim nh (ưu đim và hn chế), kim tra tính hp lí và ti ưu ca mô hình đã xây dng; - c 7: Thông báo,
gii thích, d đoán, ci tiến mô hình hoc xây dng mô hình có đ phc tp cao hơn sao cho phù hp vi thc tế.
Lê Th Hoài Châu (2014) đã đưa ra quy trình MHHTH gm 4 c: - c 1: Xây dng mô hình phng thc
tin ca vn đ, tc là xác đnh các yếu t ý nghĩa quan trng nht và xác lp các quy lut; - c 2: Xây dng
mô hình toán hc cho vn đ đang xét, tc là din t li i dng ngôn ng toán hc cho mô hình phng thc tin;
- c 3: S dng các công c toán hc đ kho sát và gii bài toán hình thành c hai; - c 4: Phân tích và
kim đnh li các kết qu thu đưc c ba. c này, cn xác đnh mc đ phù hp ca mô hình kết qu
tính toán vi vn đ thc tế. Nếu kết qu không th chp nhn đưc thì phi lp li quá trình đ tìm câu tr li phù
hp cho bài toán ban đu.
Quy trình MHHTH không đưc quy đnh ng minh trong chương trình, nhưng nếu HS luyn tp theo quy
trình, các em s phát trin đưc các năng lc toán hc, đc bit là năng lc MHHTH.
2.2. Quy trình mô hình hóa toán hc trong dy hc môn Toán trưng trung hc ph thôn
g
T các quy trình MMHTH ca Lê Th Hoài Châu (2014), Nguyn Danh Nam (2015), Stillman và cng s (2008),
Niss và Blum (2020), cùng vi mc tiêu ca Chương trình giáo dc ph thông môn Toán đi vi tng cp hc, chúng
tôi đ xut quy trình MHHTH trong dy hc môn Toán THPT gm 4 bưc như sau:
- c 1. Quan sát và thu thp các s liu, d kin ca tình hung thc tin: c này giúp HS khái quát tình
hung đang t, xác đnh đưc các yếu t có liên quan và đưa ra yêu cu ca tình hung, t đó kết ni gia toán hc
và thc tin.
- c 2. Xây dng mô hình toán hc: GV hưng dn cho HS phân tích đưc tình hung, làm rõ nhng mi liên
h gia yếu t đã biết, chưa biết và yếu t cn tìm, t đó din t lii dng ngôn ng tn hc cho mô hình phng
thc tin và tìm hưng gii quyết vn đ toán hc.
- c 3. Gii bài toán thiết lp c 2: HS s vn dng nhng kiến thc đã hc vào gii quyết vn đ, qua đó
c em rèn luyn đưc các kĩ năng gii toán và tìm đưc li ca bài toán đưc thiết lp c 2.
VJE
Tp chí Giáo dc (2024), 24(7), 1-5
ISSN: 2354-0753
3
- c 4. Đối chiếu kết qu vi thc tin: c này, GV cn cho HS xác đnh mc đ phù hp kết qu thu
đưc vi vn đ thc tin đ đưa ra kết lun cho tình hung thc tin, giúp HS kim chng li kiến thc đã vn dng
đ chnh sa nếu cn cho phù hp vinh hung thc tin.
2.3. Minh ha vic vn dng quy trình mô hình hóa toán hc trong dy hc ni dung “H thc lưng trong tam
giác” (Toán 10)
i đây, chúng tôi s minh ha vic vn dng quy trình MHHTH trong dy hc ni dung “H thc lưng giác
trong tam giác” (Toán 10) thông qua gii quyết 02 tình hung thc tin sau:
Tình hung 1
:
T i bin Hng Vàn - Cô Tô, mt ngưi quan sát thy mt hòn đo nh. Ch vi nhng dng
c đơn gin, d chun b, ta cũng có th xác đnh đưc khong cách t v trí ca ngưi quan sát đến đo. Em hãy đ
xut mt cách xác đnh khong cách t v trí ngưi quan sát đến đo? (xem hình 1).
Hình 1 (ngun: Internet, https://phuotvivu.com/blog/hong-van-co-to-bai-bien-dep-khong-goc-chet/)
Tiến trình hot đng: GV chia lp thành 10 nhóm (mi nhóm có 4 HS), hưng dn và t chc cho nhóm thc
hin gii quyết tình hung thc tin theo quy trình MHHTH đã đ xut:
- c 1. Quan sát và thu thp s liu ca tình hung thc tin. GV ng dn HS tìm hiu đ bài, xác đnh các
thông tin quan trng, cn thiết cho quá trình xây dng mô hình tn hc. T nh hung và hình nh minh ha, GV
ng dn HS phác ha li bng hình v (xem hình 2).
Hình 2
T hình 2, HS rút ra các thông tin quan trng, cn thiết đó là: để đo đưc khong cách t v trí
A
ca ngưi quan
sát đang đng trên b bin đến v trí
C
ca hòn đo, ta làm như sau: Trên b bin, đt mt cc tiêu 1 ti v trí
A
, và
mt cc tiêu 2 ti v trí
B
nào đó có th đo đưc trc tiếp khong cách
AB
.
Đng v trí
A
B
ngm v trí
C
ca hòn đo ln lưt thu đưc các góc đo là
. Khi đó, yêu cu bài toán cn gii quyết tr thành:
Tính khong cách ca mt ngưi quan sát v trí A đến đim C, hay chính là tính đ dài đon AC.
- c 2. Xây dng mô hình toán hc. Da vào nhng thông tin ca tình hung đã cho, GV gi ý cho HS phát
hin ra mi liên h gia các d liu và đưa ra bài toán hình hc như sau:
Bài toán: Cho tam giác
ABC
()AB c m=
,
,BAC ABC
αβ
= =
. Tính
?AC =
GV hưng dn HS v hình và phân tích bài toán đ tìm li gii phù hp. Phn hình v giúp HS nhn ra mi liên
h gia yếu t đã biết và yếu t chưa biết. C th, trong tam giác
ABC
, yếu t đã biết là
()AB c m=
,
,BAC ABC
αβ
= =
và yếu t chưa biết là cnh AC.
- c 3. Gii bài toán thiết lp c 2. GV ng dn các nhóm tho lun, trình bày bài làm ca nhóm và
báo cáo kết qu. Sau đó, GV chnh sa, hoàn thin và đưa ra cách gii hoàn chnh (xem hình 3):
VJE
Tp chí Giáo dc (2024), 24(7), 1-5
ISSN: 2354-0753
4
Hình 3
Trong tam giác
ABC
, ta có:
0
180ABC++=
( )
( )
00
180 180C AB
αβ
⇒= + = +
. Áp dng đnh lí Sin
vào tam giác
ABC
, ta có:
sin sin
AC AB
BC
=
,
suy ra
( ) ( )
0
.sin .sin .sin
sin sin
sin 180
AB B c c
AC C
ββ
αβ
αβ
= = = +

−+

.
Vy, khong cách gia hai đo là
( )
.sin
sin
c
AC
β
αβ
=+
.
- c 4. Đối chiếu kết qu vi thc tin. Trong thc tin: Khi đoc giá tr
,,c
αβ
chính xác thì kết qu tính
toán ca giá tr
AC
thu đưc s càng gn vi s đo đưc trên thc tế. Vì vy, bài toán đưa ra là phù hp vi tình
hung 1 và kết qu tìm đưc c 3 là chp nhn đưc.
Tình hung 2
: T bãi bin trên Cù Lao Chàm (Hi An), ta có th ngm đưc mt hòn đo nh trong các đo
xung quanh Cù Lao Chàm (xem hình 4). Em hãy đ xut mt cách c đnh b rng ca hòn đo (theo chiu ta ngm
đưc).
Hình 4 (ngun: https://www.klook.com/vi/blog/cu-lao-cham/)
Tiến trình hot đng: GV chia lp thành các nhóm (mi nhóm khong 4-5 HS), hưng dn và t chc cho các
nhóm hot đng gii quyết tình hung thông qua quy trình MHHTH.
- c 1. Quan sát và thu thp s liu ca tình hung thc tin. GV ng dn HS tìm hiu đ bài, xác đnh các
thông tin quan trng, cn thiết cho quá trình xây dng mô hình tn hc. GV hưng dn HS phác ha li tình hung
(xem hình 5).
Hình 5
T hình 5, HS rút ra các thông tin quan trng, cn thiết đó là: Gi s t mt đim A trên bãi bin Cù Lao Chàm
ta nhìn thy hòn đo vi đnh bên trái là
B
, đnh bên phi là
C
. Ngm và đo góc
BAC
α
=
. Bng cách đo như tình
hung 1 ta tính đưc khong cách
(), ()AB c m AC b m= =
. Yêu cu ca tình hung thc tin tr thành: Tính chiu
dài cnh
BC
.
VJE
Tp chí Giáo dc (2024), 24(7), 1-5
ISSN: 2354-0753
5
- c 2. Xây dng mô hình toán hc. Da vào nhng thông tin ca bài toán đã cho, GV gi ý cho HS pt hin
ra các d liu và mi liên h gia chúng thông qua mô hình toán hc. T tình hung trên, ta có th đưa v bài tn
hình hc như sau:
Bài toán: Cho tam giác
ABC
có:
(), ()AB c m AC b m= =
,
A
α
=
. Tính chiu dài cnh
BC
.
GV hưng dn HS v hình và phân tích bài toán, tìm mi liên h gia yếu t đã biết và yếu t chưa biết. C th:
các yếu t đã biết là
(), ()AB c m AC b m= =
,
A
α
=
,
yếu t chưa biết là cnh
BC
(xem hình 6).
Hình 6
- c 3. Gii bài toán thiết lp c 2. GV ng dn các nhóm tho lun, trình bày bài làm ca nhóm và
báo cáo kết qu. Áp dng đnh lí Cosin vào tam giác
ABC
, ta có:
. .cos
2 22
BC AC AB 2AC AB A=+−
, hay
. . .cos . . .cos
2 22 22
a b c 2bc a b c 2bc
αα
=+− = +−
Vy, b rng ca hòn đo là:
. . .cos .
22
a b c 2bc
α
= +−
- c 4. Đi chiếu kết qu ca li gii vi thc tin. Trong thc tin, khi đo các giá tr
,,bc
α
chính xác thì kết
qu tính toán ca giá tr
a
thu đưc s càng gn vi kết qu đo đưc trên thc tế. Do vy, bài toán đưa ra là phù hp
vi tình hung 2 và kết qu m đưc c 3 là chp nhn đưc.
3. Kết lun
Kết qu nghiên cu ca bài báo đã h thng hóa cơ s lí lun và thc tin đ y dng quy trình MHHTH trong
dy hc môn Toán THPT và minh ha quy trình này trong dy hc ni dung “H thc lưng trong tam giác” (Toán
10) thông qua hai tình hung thc tin. Thông qua các c ca quy trình MHHTH nhm phát trin cho HS kh
năng tìm tòi, khám phá kiến thc, hiu đưc ý nghĩa ca các tri thc toán hc trong thc tin. Đ vn dng quy trình
MHHTH trong dy hc môn Toán hiu qu, GV cn vn dng linh hot các c ca quy trình, chn lc nhng ni
dung phù hp nhm giúp HS hiu rõ mi liên h gia toán hc vi thc tin, t đó các em s hng thú, say mê hc
môn Toán hơn và hc tp đt kết qu cao.
Tài liu tham kho
Ban Chp hành Trung ương (2013). Ngh quyết s 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 v đi mi căn bn, toàn din
giáo dc và đào to, đáp ng yêu cu công nghip hóa, hin đi hóa trong điu kin kinh tế th trưng đnh
ng xã hi ch nghĩa và hi nhp quc tế.
B GD-ĐT (2018). Chương trình giáo dc ph thông môn Toán (ban nh theo Thông s 32/2018/TT-BGDĐT
ngày 26/12/2018 ca B trưng B GD-ĐT).
Edwards, D., & Hamson, M. (2001). Guide to mathematical modelling. Basingstoke: Palgrave.
Greefrath, G., Carreira, S., & Stillman, G. A. (Eds.) (2023). Advancing and Consolidating Mathematical Modelling,
Research from ICME-14. Springer, Boston, MA.
Lê Th Hoài Châu (2014). Mô hình hóa trong dy hc khái nim đo hàm. Tp chí Khoa hc, Trưng Đi hc Sư
phm TP. H Chí Minh, 65, 5-14.
Niss, M., & Blum, W. (2020). The Learning and Teaching of Mathematical Modelling. Routledge Publisher. London.
Nguyen, D. N. (2016). Modelling in Vietnamese School Mathematics. International Journal of Learning and
Educational Research, 15(6), 114-126.
Nguyn Danh Nam (2015). Nghiên cu quy trình mô hình hóa trong dy hc Tn trưng ph thông. Tp chí Khoa
hc, Đi hc Quc gia Hà Ni, 31(3), 1-10.
Nguyn Danh Nam (2020). Mt s vn đ v giáo dc toán hc gn vi thc tin. Tp chí Giáo dc, 487, 15-21.
Stillman, G., Brown, J., & Galbraith, P. (2008). Research into the teaching and learning of applications and modelling
in Australia. In book: Research in Mathematics Education in Australasia 2004-2007 (pp.141-164). Brill.