THEO CH
NG TRINH M I)
ƯƠ
Ơ
̀ ̀ ́ ̣ ̣ ̣
100 BAI TOAN ÔN LUYÊN ĐAI HOC ( CHU ĐÊ HINH HOC KHÔNG GIAN
̉ ̀ ̀ ̣
Biên soan : ̣ Tr n Hoàng Thao
ầ ****************
̣ ư ́ ́ ̀ ̣ ́ ̣
.Đ ng cheo BC’ cua măt bên BB’C’C tao v i mp(AA’C’C) môt goc ơ ươ ́ ̉ ̣ ̣ ̣ ́ : Cho lăng tru đ ng ABC.A’B’C’ co đay ABC la môt tam giac vuông tai A, AC C 60= 0
́ ̣ ̀ ̣
́ ́ ̣
̀ : Cho lăng tru tam giac ABC.A’B’C’ co đay ABC la môt tam giac đêu canh a va ̣ ́ ́ ́ ̀ ̣ ́ ̀ ̣
060 .
ơ ̉ ́ ̀ ́ ̉ ̣ ̣ ́ ̣ ́
́ ́ ̣
ư ̣ ̀ ̣ ̀ ̣
xqS hinh lăng tru.
́ ̀ ̣
diên đêu canh a. ́ ̣ ̀ ̣
: Tinh V khôi t ́ ư : Cho hinh chop t giac đêu S.ABCD. ́ ư ̀ ́ ̀ a ,tinh V khôi chop. ư ́ ̀ ́ ̣ ̀ ́ ̀ ́ ́ ́ j . ư ́ ̣ ̀ ̀ ́ ̣ ̀ ́ ̀
́ ́ ́
̀ ́ ́ ̀
́ ̀ ́ ́ ́ a ,tinh V khôi chop. ư ́ ̀ ́ ̣ ̀ ́ ̀ ́ ́ ́
: Hinh chop cut tam giac đêu co canh đay l n 2a, đay nho la a, goc gi a đ ́ ơ ư ươ ng ̀ ́ ̣ ́ ̀ ́ ̣ ́ ̉ ̀ ́
030 .Tinh V khôi chop cut .
̣ ̀ ́ ́ ́ ̣
: Môt hinh tru co ban kinh đay R va co thiêt diên qua truc la môt hinh vuông. ̣ ̀ ̣ ́ ́ ́ ́ ̀ ́ ́ ̣ ̣ ̀ ̣ ̀
S
xq
́ ̉ ̀ ̣
́ ́
giac đêu nôi tiêp trong khôi tru đa cho . ́ ́ ́ ̀ ̣ ́ ́ ̣ ̃
ng cao ̣ ̀ ̣ ́ ́ ́ ́ ̀ ̀ ̉
R 3.A va B la 2 điêm trên 2
030 .
Bai 1̀ = b , µ 030 . 1/Tinh đô dai đoan AC’ 2/Tinh V khôi lăng tru. Bai 2̀ điêm A’ cach đêu cac điêm A,B,C.Canh bên AA’ tao v i mp đay môt goc 1/Tinh V khôi lăng tru. 2/C/m măt bên BCC’B’ la môt hinh ch nhât. 3/Tinh Bai 3̀ Bai 4̀ 1/Biêt AB =a va goc gi a măt bên va đay băng 2/Biêt trung đoan băng d va goc gi a canh bên va đay băng Tinh V khôi chop. Bai 5̀ :Cho hinh chop tam giac đêu S.ABC. 1/Biêt AB=a va SA=l ,tinh V khôi chop. 2/Biêt SA=l va goc gi a măt bên va đay băng Bai 6̀ cao v i măt bên la ơ Bai 7̀ va S cua hinh tru . 1/Tinh tp ng ng. 2/Tinh V khôi tru t ̣ ươ ư 3/Tinh V khôi lăng tru t ̣ ư Bai 8̀ đ : Môt hinh tru co ban kinh đay R va đ ̀ ươ ng tron đay sao cho goc h p b i AB va truc cua hinh tru la ơ ́ ơ ươ ̀ ́ ̀ ̣ ̉ ̀ ̣ ̀
S
xq
́ ̉ ̀ ̣
ng ng. ́ ́
: Thiêt diên qua truc cua môt hinh non la môt tam giac vuông cân co canh goc ́ ̣ ̣ ̉ ̣ ̀ ́ ̀ ̣ ́ ́ ̣ ́
̀
S
xq
́ ̉ ̀ ́
ng ng. ́ ́
diên đêu co canh la a . ̣ ư ̀ ̣ ̀ ́ ̣ ̀
diên. ́ ư ́ ̣ ̀ ́ ́ ̣ ̀ ̣ ̣
va S cua hinh tru . 1/Tinh tp 2/Tinh V khôi tru t ̣ ươ ư Bai 9̀ vuông băng a . va S cua hinh non. 1/Tinh tp 2/Tinh V khôi non t ́ ươ ư Bai 10 : Cho môt t 1/Xac đinh tâm va ban kinh măt câu ngoai tiêp t 2/Tinh S măt câu.
́ ̣ ̀
1
́ ́
ng ng. giac đêu co canh đay la a ,canh bên h p v i măt đay : Cho môt hinh chop t ơ ơ ̀ ươ ư ́ ư ̣ ̀ ́ ̀ ́ ̣ ́ ̀ ̣ ̣ ́
060 .
̣ ́
́ ̣ ̀ ́ ́ ̣ ̀ ̣ ́ ̀ ́
́ ̣ ̀
ng ng. ́ ́
ng cao SO=h va ban kinh đay R. Goi M la điêm trên : Cho hinh non co đ ̀ ươ ư ́ ươ ̀ ̀ ́ ̀ ́ ́ ́ ̣ ̀ ̉
̣ ̣
́ ́ ̣ ̣ ̣ ( )G
theo R ,h va x. ́ ̉ ́ ́ ̉ ̀ ̀
́ ̣ ̣ ́ ́
giac đêu S.ABCD co canh đay a, goc gi a măt bên va đay la : Hinh chop t ́ ư ư ̀ ̀ ́ ̀ ́ ̣ ́ ́ ̣ ̀ ́ ̀
.
́ ́ ́ ́ ̣ ̀ ̣ ́ ̀ ̣ ́ ̀ ́
đê cac măt câu nay co tâm trung nhau. ̉ tanj ́ ́ ̣ ̉ ́ ̣ ̀ ̀ ́ ̀
: Môt hinh non đinh S co chiêu cao SH = h va đ ̀ ươ ̀ ̣ ̀ ́ ̉ ́ ̀ ̀ ́
ng kinh ng sinh l băng đ ng cao SH va tiêp xuc v đay hinh ươ ́ ơ ́ ̉ ươ ́ ̣ ̀ ̀ ́ ̀ ̉ ̀ ́ ̀
́
́ ̣ ́ ̉ ̣ ́ ̀ ̣ ̀
3/Tinh V khôi câu t
Bai 11̀
môt goc
1/Xac đinh tâm va ban kinh măt câu ngoai tiêp hinh chop.
2/Tinh S măt câu
3/Tinh V khôi câu t
Bai 12
đoan OS, đăt OM = x (0 xqS cua phân măt non năm trong măt câu .
tpS cua măt non. ơ ́ ̣ ̀ ̀ ́ ̉ ̣ ́ xqS cua hinh lăng tru.
: Cho lăng tru xiên ABC.A’B’C’ co đay la tam giac đêu canh a.Hinh chiêu cua : Cho lăng tru tam giac đêu ABC.A’B’C’ canh đay a,goc gi a đ ng thăng ư ươ ̀ ̣ ́ ̀ ̣ ́ ́ ̉ j .Tinh ̀ ̀ ́ ̉ ̀ ̣ ̀ ̣ ́ ́ ̀ ́ ̀ ̣ ̀ ́ ̉ ng tron ngoai tiêp tam giac ABC .Cho ươ ơ ́ ̀ ̀ ̣ ́ ́ . ư ̀ ̀ ̣ 3/Tinh S măt câu va so sanh v i
Bai 15
AB’ va mp(BB’CC’) băng
Bai 16
A’ xuông (ABC) trung v i tâm đ
·
BA A ' 45=
0
1/C/m BCC’B’ la hinh ch nhât .
2/Tinh ́ ̉ ̀ ̣ xqS cua hinh lăng tru.
́ ư : Môt hinh chop t Bai 17 giac đêu S.ABCD co canh đay băng a va goc . ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ́ ̣ ́ ̀ ̀ ́ xqS cua hinh chop. 1/Tinh ́ ̉ ̀ ́ 2
cot a - 2/C/m răng đ ng cao cua hinh chop băng : ươ ̀ ̉ ̀ ́ ̀ a ng cheo cua đay ABCD .Xac đinh goc ̣
đê măt ̣ ̀ ̉ ́ ̉ ́ ́ ̣ ́ ̉ ̀ ̉ ̀ ́ ́ ́ ̀ ́ ́ ̀ ́ ̀ ̣ ́ ̣ 060 .Tinh V khôi chop đo. ̣ ́ ̣ ́ ́ ́ ́ ́ : Cho khôi chop tam giac đêu S.ABC co đay la tam giac đêu canh a ,cac canh
ơ
́
: Cho khôi chop S.ABC co đay la tam giac cân ,AB=AC=5a ,BC =6a ,va cac ̀ ́ ́ ́ ́ ̀ ́ ̀ 060 .Tinh V khôi chop đo. 3/ Goi O la giao điêm cac đ
́ ươ
câu tâm O đi qua 5 điêm S,A,B,C,D.
Bai 18
bên tao v i đay môt goc
Bai 19
măt bên tao v i đay môt goc
ơ ̣ ̣ ́ ̣ ́ ́ ́ ́ ́ 2 B.Canh SA : Cho hinh chop tam giac S.ABC co đay la tam giac vuông ơ ̀ ̀ ́ ́ ́ ́ ̀ ́ ̣ ^ ^ .Biêt AB=a, ́ ̉ ́ ̣ ̉ ́ ́ ́ ́ E đên mp(SAB) . ́ ̉ ́ ́ 1 điêm trong bât kycua 1 t ư
: Ch ng minh răng tông cac khoang cach t ư ư ư ̣
diên ̀ ̀ ̉ ́ ̉ ́ ̉ ́ ̀ ̉ ̀ ́ ́ ̣ ̉ ́ ̀ ́ ̉ : Cho hinh hôp ch nhât ABCD.A’B’C’D’ co AB =a,BC =2a ,AA’ =a.Lây ư ̀ ̀ ̣ ̣ ́ ́ ̉ ̣ ́ ́ ́ ư ́ ̉ ́ ́ ư ̀ ̀ ̣ ̣ ́ ̣ la trung điêm cua A’B’ va B’C’.Tinh ti sô gi a thê tich khôi chop : Cho hinh hôp ch nhât ABCD.A’B’C’D’ co AB =a,BC =b ,AA’ =c.Goi M,N
ư ư ̀ ̉ ̉ ̀ ́ ̉ ̉ ́ ́ ́ ̀ ̉ ́ ́ ̣ ̣ ̀ ̣ ̉ ̀ ́ ́ ̉
ng vuông goc chung cua
ng thăng AB va CD băng ư ́ ́ ̀ ̀ ́ ̉ ̀ ̀ ́ ̣ ̀ ̣ ̀ ̣ ̀ ̀ ́ ̣ ̀ ́ ́ ̉ ̀ A BCD diên đêu đo .Tinh ti sô điêm cac canh cua t . ̉ ư ̉ ́ ̣ ̣ ̀ ́ ́ ̉ ́ Bai 20
vuông goc v i đay.T A ke cac đoan thăng
ư
́ ơ
BC=b,SA=c.
1/Tinh V khôi chop S.ADE.
2/Tinh khoang cach t
Bai 21
đêu đên cac măt cua no la 1 sô không đôi .
Bai 22
điêm M trên canh AD sao cho AM =3MD.
1/Tinh V khôi chop M.AB’C
2/Tinh khoang cach t Mđên mp(AB’C) .
Bai 23
theo th t
́ ư
D’.DMN va thê tich khôi hôp ch nhât ABCD.A’B’C’D’ .
ư
Bai 24
: Cho 2 đoan thăng AB va CD cheo nhau ,AC la đ
̀ ươ
chung .Biêt răng AC=h, AB =a, CD =b va goc gi a 2 đ
ươ
060 .Tinh V t
diên ABCD.
ư
Bai 25
diên đêu ABCD.Goi (H) la hinh bat diên đêu co cac đinh la trung
: Cho t
ư
V (H )
V ́ ư ̀ ́ ̣ ̀ ̣ ̀ ́ ́ ́ ̣ ̀ ̣ : Tinh V khôi t
diên đêu canh a.
: Tinh V khôi bat diên đêu canh a.
: Cho hinh hôp ABCD.A’B’C’D’ .Tinh ti sô V khoi hôp đo va V khôi t diên ́ ư ̀ ̀ ̣ ́ ̉ ́ ́ ̣ ́ ̀ ̣ : Cho hinh chop S.ABC.Trên cac đoan thăng SA,SB,SC lân l t lây 3 điêm Bai 26
Bai 27
Bai 28
ACB’D’.
Bai 29 ̀ ươ ̀ ̀ ́ ́ ̣ ̉ ́ ̉ A’, B’, C’ khac v i S .C/m : ́ ơ S.A BC ̣
: Cho hinh chop tam giac đêu S.ABC co AB=a .Cac canh bên SA,SB,SC tao ̀ ̀ ́ ́ ̀ ́ ́ ̣ 060 .Tinh V khôi chop đo . ́ ̣ ́ ́ ́ ́ ́ : Cho hinh chop tam giac S.ABC co AB=5a ,BC=6a ,CA=7a.Cac măt bên ̀ ̀ ́ ́ ́ ́ ̣ 060 . Tinh V khôi chop đo . ơ ̣ ́ ̣ ́ ́ ́ ́ ́ ̀ ̀ ́ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ́ ơ
: Cho hinh chop S.ABCD co đay ABCD la hinh ch nhât ,SA vuông goc v i thuôc SB,SD sao cho ư
ư ư ́ ̀ ́ ́ ̉ ̣ ^ ^ ̣ ̉ ́ ̣ ́ ́ ́ ́ : Cho hinh chop t ̀ ̀ ́ ̀ ́ ̀ ̀ ̣ ̣ ̣ ́ ̣ ́ ̣ ̀ ̉ ̣ ̉ ̀ .Măt phăng (AB’D’) căt SC tai C’.Tinh V khôi chop đo .
giac đêu S.ABCD ,đay la hinh vuông canh a ,canh bên
́ ư
060 . Goi M la trung điêm SC.Măt phăng đi qua AM va song ́ ̣ ̀ ́ ̣ ́ ́ ́ ̀ ̀ ́ ́ ́ ̉ ́ ̣ ̀ ̀ Bai 30
v i đay môt goc
ơ
Bai 31
SAB,SBC,SCA tao v i đay môt goc
Bai 32
đay va AB=a ,AD=b, SA =c.Lây cac điêm B’,D’ theo th t
A B ' SB,A D ' SD
Bai 33
tao v i đay môt goc
ơ
song v i BD ,căt SB tai E va căt SD tai F.Tinh V khôi chop S.AEMF.
ơ
Bai 34
: Cho hinh lăng tru đ ng tam giac ABC.A’B’C’ co tât ca cac canh đêu băng a.
1/ Tinh V khôi t ̣ ư
diên A’BB’C. ́ ư ́ ̣ 3 , căt AC va BC lân l ̀ ươ ̀
t tai E va ̣ ̉ ̀ ̣ ́ ̀ ̣ ́ ́ ́ ng ABCD.A’B’C’D’.canh a .Goi M la trung điêm cua ươ ̀ ̀ ̣ ̣ ̣ ̀ ̉ ̉ ̀ ̉ ̉ diên ADMN. ́ ư ́ ̣ 2/Măt phăng đi qua A’B’ va trong tâm
F.Tinh V khôi chop C.A’B’FE.
Bai 35
: Cho hinh lâp ph
A’B’,N la trung điêm cua BC.
1/Tinh V khôi t
2/Măt phăng (DMN) chia khôi lâp ph ươ ̣ ̉ ́ ̣ ̃ ̀ ́ ̣ ̣ (H ) ng đa cho thanh 2 khôi đa diên .Goi (H) la
̀
V khôi đa diên ch a đinh A,(H’) la khôi đa diên con lai .Tinh ti sô ư ́ ̣ ̉ ̀ ́ ̣ ̀ ̣ ́ ̉ ́ (H ') : Cho khôi chop S.ABC co đ ́ ươ ̀ ́ ́ ́ ̀ ́ . A cua ng cao ha t ̣ ư ươ ̣ ̀ ̉ ̉ ̀ ̉ ́
ng cao SA =a ,đay la tam giac vuông cân co
A BCV ́ ́ ́ ^ ́ ́ ́ vuông C co AB=2a, : Cho khôi chop S.ABC co đ ơ ́ ươ ̀ ́ ́ ́ .Goi H,K lân l ng cao SA = 2a ,
t la hinh chiêu cua A trên SC va SB . ̀ ươ ̣ ̀ ̀ ́ ̉ ̀ ́ ́ ́ ^ ^ va ̀ SB m p(A H K )
. ́ ́ ́ ̣ ư ̀ ̀ ́ ̣ ́ ̀ ́ : Cho hinh lăng tru đ ng ABC.A’B’C’ co măt đay la tam giac ABC vuông tai
̣
t căt ́ ơ ̀ ươ ̀ ̣ ̀ ́ ́ ̣ ̉ ̀ ̣ ̀ ́ ́ ́ ^ . diên A’AMN. ́ ̣ ́ A M N ̀ ̣ ́ ̣ ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ́ ̣ ̀ ̀ ́ ́ ̉ ̉ ̀ ̉ ̉ ̣ ́ ̉ ́ ́ ́ ̀ ́ ̉ ng thăng AA’,B’C’. ươ ́ ̉ : Cho hinh chop S.ABCD co đay ABCD la hinh vuông canh 2a ,SA=a , ̀ ̀ ́ ́ ́ ̀ ̀ ̣ va mp(SAB) vuông goc v i măt phăng đay.Goi M,N lân l t la trung ̀ ươ ́ ơ ̀ ̣ ̉ ́ ̣ ̀ ̉ ̉ ́ ̣ ́ ̉ ́ ́ ́ ̀ ́ ng thăng SM,DN. ươ ́ ̉ :Cho lăng tru đ ng ABC.A’B’C’ co đay ABC la tam giac vuông ,AB=BC=a, ̣ ư ̀ ́ ́ ̀ ́ ̣ ̣ ̀ ̉ ̉ ̣ ́ ̉ ́ ́ .Goi M la trung điêm cua canh BC.Tinh theo a thê tich khôi lăng
ng thăng AM,B’C. ươ ư ̣ ̀ ̉ ́ ̉ ̀ ̀ ́ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ̣ ̀
:Cho hinh chop S.ABCD co đay ABCD la hinh vuông canh a ,măt bên SAD la
t la trung ̀ ươ ́ ̀ ̀ ̀ ̣ ̉ ́ ̣ ̀ ^ Bai 36
AB =BC =a. Goi B’ la trung điêm cua SB ,C’ la chân đ
1/ Tinh V khôi chop S.ABC.
2/C/m : SC m p(A B 'C ')
.
3/Tinh V khôi chop S.AB’C’.
Bai 37
·
CA B 30=
0
1/ Tinh V khôi chop H.ABC.
2/C/m : A H
3/ Tinh V khôi chop S.AHK.
Bai 38
B va AB=a ,BC =2a ,AA’=3a .Môt mp(P) đi qua A va vuông goc v i CA’ lân l
cac đoan thăng CC’ va BB’ tai M va N .
1/ Tinh V khôi chop C.A’AB.
2/C/m : A N
3/Tinh V khôi t
́ ư
4/Tinh
.
Bai 39
: Cho lăng tru ABC.A’B’C’ co đô dai canh bên băng 2a ,đay ABC la tam giac
va hinh chiêu vuông goc cua đinh A’ trên mp(ABC)
vuông tai A, AB =a,
la trung điêm cua canh BC.Tinh theo a thê tich khôi chop A’.ABC va tinh cosin cua
goc gi a 2 đ
ư
Bai 40
=
SB a 3
điêm cua cac canh AB,BC .Tinh theo a thê tich khôi chop S.BMDNva tinh cosin cua
̉
goc gi a 2 đ
ư
Bai 41
canh bên
tru ABC.A’B’C’ va khoang cach gi a 2 đ
Bai 42
tam giac đêu va năm trong măt phăng vuông goc v i đay.Goi M,N,P lân l
diên CMNP.
điêm cua cac canh SB,BC,CD.C/m : ́ ơ
va V khôi t ́ ư ̉ ̉ ́ ̣ ̀ ̣ 4 ́ ư ̀ ̀ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ̣ ̉ ̉ ̉ ̉ ̀ ̉ ̉ ̀ ^ ̉ ̉ ̀ ́ ̉ ́ ̉ ̀ :Cho hinh chop S.ABCD co đay la hinh thang , ̀ ̀ ́ ́ ́ ̀ ̀ Bai 43
giac đêu S.ABCD co đay la hinh vuông canh a .Goi E la
:Cho hinh chop t
̀
điêm đôi x ng cua D qua trung điêm cua SA, M la trung điêm cua AE ,N la trung
́ ư
điêm cua BC. C/m :
Bai 44
BA=BC=a ,AD =2a.Canh bên SA vuông goc v i đay va ́ ơ ̣ ́ ̣ ̀ ̀ chiêu vuông goc cua A trên SB. C/m vuông va tinh ́ ́ ̉ ̀ ́ ng thăng MN va AC.
va tinh khoang cach gi a 2 đ
ươ
ư
·
·
=
0
,
A BC BA D 90
=
.Goi H la hinh
̀ SA a 2
]
[
d H ;(SCD ) . ̀ ̀ ̣ ́ ́ ́ ̀ ̀ ̀ ̀ ́ ́ ́ ̀ :Cho hinh tru co cac đay la 2 hinh tron tâm O va O’, ban kinh đay băng chiêu
̀
ng tron đay tâm O’ ươ ươ ̀ ̀ ̀ ́ ́ ̉ ̀ ́ ́ ̉ ́ ̣ ng tron đay tâm O lây điêm A, trên đ
́ ư
:Cho hinh chop S.ABCD co đay ABCD la hinh ch nhât v i AB=a , ̣ ơ ̀ ̀ ́ ́ ́ ̀ ̀ ^ .Goi M,N lân l ̀
t la trung điêm cua AD va diên OO’AB.
ư
̀ ươ ̣ ̀ ̉ ̉ ̀ ̉ ̉ ̀ ^ diên ANIB. ́ ̣ ̀ ̀ ́ ́ ́ ́ ̀ ́ ̀ ̣ ^ t la hinh chiêu vuông goc cua A trên cac đ .Goi M,N lân l :Cho hinh chop tam giac S.ABC co đay ABC la tam giac đêu canh a, SA =2a
́ ươ
ng ̀ ươ ̣ ̀ ̀ ́ ́ ̉ ̉ ̀ ́ ́ ́ : Cho hinh lăng tru luc giac đêu ABCDE.A’B’C’D’E’ canh bên l, măt cheo đi ̀ ̀ ̣ ̣ ́ ̀ ̣ ̣ ́ 060 .Tinh V lăng tru. ơ ơ ̣ ́ ́ ̣ ́ ́ ́ ̣ : Canh đay cua 1 hinh chop tam giac đêu băng a; măt bên cua hinh chop tao ̀ ̣ ́ ̉ ̀ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ̀ ́ ̣ a ̣ ́ ́ ́ ́ ́ ng cheo B’D=a tao thanh ư ̀ ̀ ̣ ̣ ́ ̣ ̀ a va tao thanh v i măt bên AA’D’D 1 goc .Tinh V khôi chop .
: Cho 1 hinh hôp ch nhât ABCD.A’B’C’D’ co đ
́ ươ
ơ ̣ ̉ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ̀ ̣ ́ b ư ̀ ́ ̉ ̀ ̣ ̣ a .Tinh V cua hinh hôp ch nhât trên.
: Đ ng sinh cua 1 hinh non co đô dai băng a va tao thanh v i đay 1 goc . ươ ơ ̀ ̉ ̀ ́ ́ ̣ ̀ ̀ ̀ ̣ ̀ ́ ́ ́ ̣ ́ ̀ ̉ ́ ̀ ́ : Cho hinh chop S.ABC co đay la tam giac vuông cân ,canh huyên BC = a ̀ ̀ ́ ́ ́ ̀ ́ ̣ ̀ a .Hai măt bên con lai vuông goc v i đay . ́ ơ ̣ ̣ ́ ́ ̣ ̀ ̣ ́ ng cao cua hinh chop . ơ
̀ ươ ̉ ̀ ́ ́ ́ ́ : Cho hinh hôp ch nhât ABCD.A’B’C’D’ co đay la 1 hinh vuông va chiêu cao ̀ ̀ ̣ ̣ ́ ́ ̀ ̀ ̀ ̀ a ng cheo va măt đay cua hinh hôp ch nhât đo băng ư ươ ư .Tinh́ ̀ ́ ́ ̀ ̣ ́ ̉ ̀ ̣ ̣ ́ ̀ ̀ ̉ ̀ ̣ ́ ̀ ̀ ́ ́ ̣ ̀ ̉ ̀ ́ a : Cho hinh chop tam giac S.ABC .Hai măt bên SAB va SBC cua hinh chop
.Đay ABC cua hinh ̀ ́ ̣ ̀ ̣ ̣ ́ ́ ́ ̉ ̀ ́ ̣ ́ ̀ ̉ ̀ ́ ơ
xqS va V cua hinh chop.
, canh BC =a. Tinh Bai 45
cao va băng a .Trên đ
lây điêm B sao cho AB = 2a .Tinh V khôi t
Bai 46
=
,SA= a va ̀ SA
A D a 2
SC .I la giao điêm cua BM va AC .
1/Cmr: m p(SA C) m p(SM B)
2/Tinh V khôi t
́ ư
Bai 47
va ̀ SA
thăng SB va SC .Tinh V khôi chop A.BCMN.
Bai 48
qua 2 canh đay đôi diên nhau h p v i đay 1 goc
Bai 49
v i măt đay 1 goc
ơ
Bai 50
v i măt phăng đay ABCD 1 goc băng
ơ
băng
Bai 51
Tinh diên tich xung quanh va thê tich hinh non .
Bai 52
.Măt bên SBC tao v i đay goc
1/C/m SA la đ
2/Tinh V khôi chop .
Bai 53
ư
băng h .Goc gi a đ
xqS va V cua hinh hôp đo.
Bai 54
cung vuông goc v i đay ,măt bên con lai tao v i đay 1 goc
́ ơ
, $
́ µ
A 90=
0
B 60=
0
chop co Bai 55 ̣ ư ̀ ́ ̉ ̀ ̀ ́ ́ b : Đay cua hinh lăng tru đ ng ABC.A’B’C’ la 1 tam giac cân co AB=AC =a va
̀
. Goc gi a măt phăng đi qua 3 đinh A’,B,C va măt đay( ABC) băng . ư ́ ̣ ̉ ̉ ̀ ̣ ́ ̀ 5 xqS va V cua hinh lăng tru đo . ́ ̀ ̉ ̀ ̣ ́ ̀ ̣ ́ ̀ ́ ̣ ́ ̀ ̀ ̉ a : Cho lăng tru tam giac đêu ABC.A’B’C’co canh đay băng a va 1 điêm D trên
va mp qua ơ ̣ ̣ ̉ ́ ̉ ̣ ̣ ́ ́ ̀ b .Tinh V lăng tru . ́ ̉ ̣ ̣ ́ ́ ́ ̣ Tinh
Bai 56
canh BB’.Măt phăng qua cac điêm D,A,C tao v i măt đay (ABC) 1 goc
cac điêm DA’C’ tao v i măt đay A’B’C’ 1 goc
ơ
Bai 57 ̀ ̀ ́ ̀ ̉ ́ ̉ ̀ ́ ́ ́ ̀ 0
45 0
0 ABCD nôi tiêp , canh băng a .Biêt răng ( . ̣ ́ ̣ ̀ ́ ̀ : Cho hinh non tron xoay đinh S .Trong đay cua hinh non đo co hinh vuông
·A SB = 2a xqS cua hinh non . ́ ̀ ̉ ̀ ́ ̣ ư ̀ ́ ̀ ́ ́ a . ơ ́ ̉ ̣ ̀ ̀ ̣ ̣ ́ ́ ́ ̀ ̉ ̀ ̣ ́ ̀ ́ ́ ̀ ́ ̣ ơ ơ ́ ̉ ̣ ̣ b : Cho lăng tru đ ng ABC.A’B’C’ .Đay ABC la tam giac cân co AB=AC =
ươ
xqS va V cua hinh lăng tru đo .
: Cho lăng tru đ ng ABC.A’B’C’ co đay ABC la tam giac vuông tai A v i
̣ ư
ơ
.Đ ng cheo BC cua măt bên (BCC’B’) h p v i măt bên
ươ
.Tinh V lăng tru . ̣ ́ ́ ̣ : Cho hinh hôp ABCD.A’B’C’D’ co đay la hinh thoi ABCD canh a , , ̀ ̀ ̣ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ng vuông goc ha t ươ ̣ ư ơ ̀ ́ ́ ́ ̀ ̉ ́ ng cheo cua đay .Cho BB’ =a .Tinh V va ́ ̉ ́ ́ ̀ ̉ ̀ ̣ ́ : Cho hinh chop S.ABCD co đay la hinh vuông ABCD canh a ; (SAC) vuông ̀ ̀ ́ ́ ́ ̀ ̀ ̣ a .Tinh V cua hinh chop. Tinh V va
Bai 58
0120 .Đ ng cheo cua măt BB’C’C băng d va tao v i măt đay goc
Tinh
Bai 59
AC =a va ̀ µC = a
(ACC’A’) môt goc
Bai 60
va chân đ
đ
ươ
Bai 61
goc v i đay ;
́ ơ ơ ́ ̀ ̣ ́ ́ ̀ ́ ̉ ̀ ́ va SA tao v i đay 1 goc băng
= a : Cho hinh chop S.ABC co ;SBC la tam giac đêu canh ̀ ̀ ́ ́ ̀ ́ ̀ ̣ ^ ̀ ́ ̉ ̀ ́ xqS va V cua hinh chop đo . : Cho hinh chop t giac đêu S.ABCD , co chiêu cao h ,goc đinh cua măt bên ́ ơ ̉ .Tinh V cua hinh chop.
́ ư ̀ ̀ ́ ̀ ́ ̀ ̉ ̣ a .Tinh ̀ ́ ̀ ̉ ̀ ́ ́ ̀
: Cho hinh chop S.ABC co cac măt bên đêu la tam giac vuông đinh S va ̀ ̀ ́ ́ ́ ̣ ̀ ̀ ́ ̉ Bai 62
a va (SAB)
Bai 63
băng 2
Bai 64
SA=SB=SC =a .Tinh ́ : Cho hinh chop S.ABC co đay la tam giac đêu canh ươ ̀ ̀ ́ ́ ́ ̀ ́ ̀ ̣ . ̣ ̉ ̀ ̣ ́ ̣ ́ ̀ ng cao
SV ̀ ̀ ́ ́ ̀ ̀ ̀ ̀ ́ ̣ ́ ̀ A H K
: Cho hinh chop S.ABCD , đay la hinh binh hanh ABCD co diên tich băng
060 .Biêt răng cac canh bên cua hinh chop
́ ng cheo băng ươ ̀ ́ ́ ̀ ́ ̀ ́ ̣ ̉ ̀ 045 .
ư ́ ̣ ́ ́ ư ̉ ̀ ̀ ̣ ́ ̉ ̀ ́ ́ ̀
: Cho hinh chop S.ABCD , đay la hinh thang vuông ABCD vuông tai A va ̀ ̀ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ng cao cua hinh chop la SA =2a . ươ ̉ ̀ ́ ̀ ́ ̣ ̀ ́ ̣ ́ ̉ ̀ Bai 65
SA=a.Măt phăng qua A va vuông goc v i SB tai H căt SC tai K. Tinh SK va
́ ơ
Bai 66
2a 3 va goc gi a 2 đ
ư
nghiêng đêu trên măt đay 1 goc
1/ Ch ng to ABCD la hinh ch nhât.
2/ Tinh V cua hinh chop đo .
Bai 67
B ,AB=BC=2a ; đ
1/ Xac đinh va tinh đoan vuông goc chung cua AD va SC .
2/ Tinh V cua hinh chop đo . ́ ̉ ̀ ́ ́ 6 ̀
: Cho hinh chop S.ABCD co canh SA =x ,con tât ca cac canh khac co đô dai ̀ ̀ ́ ́ ̣ ̀ ́ ̉ ́ ̣ ́ ́ ̣ ̀ ^ ́ ̉ ̀ ́ ́ : Cho hinh chop S.ABCD .Đay ABCD la n a luc giac đêu v i AB=BC=CD=a ơ ̀ ̀ ́ ́ ̣ ́ ̀ ̀ ư
́ ơ ơ ̀ ̣ ̀ ́ ̣ 045 . ư ́ ́ ́ ̉ ̀ ́ ́ Bai 68
băng 1.
1/C/m: SA
2/Tinh V cua hinh chop đo .
Bai 69
va AD= 2a .Hai măt bên SAB va SAD vuông goc v i đay ,mp(SBD) tao v i mp
ch a đay 1 goc
1/Tinh V cua hinh chop đo .
2/Tinh ́ , diên ABCD co AB=a ,BC =b, BD =c, ư ̀ ̣ ́ diên đo . .Tinh V cua t ̉ ư ́ ̣ ́ ̀ ̀ ̣ ́ ́ ̀ ́ ̀ ̣ ̀ ư ̉ ́ ̣ ̣ a . ́ ^ ́ ̉ ́ ̣ giac đêu S.ABCD co tât ca cac canh đêu băng a. ́ ư ̀ ̀ ́ ̀ ́ ́ ̉ ́ ̣ ̀ ̀ ́ ̉ ̀ ́ tâm măt đay ABCD đên cac măt bên cua hinh chop. ư ́ ̉ ́ ̣ ́ ́ ́ ̣ ̉ ̀ ́ : Cho hinh chop tam giac đêu S.ABC, co đ ́ ươ ̀ ̀ ́ ́ ̀ ̀ ́ ́
ng cao SO =1 va đay ABC co
ng ng .Tinh V cua ươ ư ̣ ̀ ̉ ̀ ̉ ̉ ̣ ́ ̉ ̀ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̉ ̀ ̉ ́ ̣ ̉ ng thăng d cach O môt khoang OH =h
ng thăng . Trên đ ươ ́ ̉ ̣ ̉ ươ
·
·
0
BO H CO H 30 ́ ơ ̣ ́ ̉ ̉ ư ́ ̣ Bai 70
: Cho t
·
CBD 90=
0
Bai 71
: Cho hinh lăng tru tam giac ABC.A’B’C’,trong đo ABC la tam giac đêu canh
c, A’H vuông goc v i mp(ABC).(H la tr c tâm cua tam giac ABC ), canh bên AA’ tao
́ ơ
v i mp(ABC) 1 goc
ơ
1/C/mr: AA’ BC
2/Tinh V cua khôi lăng tru .
Bai 72
: Cho hinh chop t
1/Tinh V cua hinh chop S.ABCD .
2/Tinh khoang cach t
Bai 73
canh băng
hinh chop S.AMN va ban kinh hinh câu nôi tiêp hinh chop đo.
Bai 74
: Trong mp(P) cho 1 điêm O va 1 đ
.Lây trên d hai điêm phân biêt B,C sao cho
vuông goc v i (P) tai O, lây điêm A sao cho OA =OB .
1/Tinh V cua t
2/Tinh ́ diên OABC.
[
d O;(A BC) theo h . : Cho hinh chop S.ABCD co canh SA =x va cac canh con lai đêu băng 1 . ̀ ̀ ́ ́ ̣ ̀ ́ ̣ ̀ ̣ ̀ ̀ ^ . ́ ̉ ̀ ́ ́ ̣ ̉ ̀ ́ ́ ̃ : Tinh V cua khôi t diên ABCD , biêt AB =a, AC=AD=BC=BD=CD= ́ ư ̀ ́ ̉ ̣ ́ , ư ̀ ̣ ́ ́ ̣ ̀ ·
A SB 90=
0
diên SABC co cac canh bên SA=SB =SC =d va . ̀ ́ la tam giac vuông.
diên SABC. ̉ ư ́ ̣ ̣ ư ̀ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ́ ^ . Tinh V cua khôi lăng tru trên theo a . ̣ ́ ̉ ́ ̣ .Biêt ́ A B ' BD ' Bai 75
1/C/m :SA
2/Tinh V cua hinh chop .Xac đinh x đê bai toan co nghia.
Bai 76
Bai 77
: Cho t
, ·
·
A SC 90=
0
BSC 60=
0
1/C/m : A BCV
2/Tinh V cua t
Bai 78
: Cho lăng tru đ ng ABCD.A’B’C’D’ co đay ABCD la hinh thoi canh a, goc
·
BA D 60=
0
nhon 7 ng tron đ ̀ ươ ư ươ ̀ ́ ́ ̉ ̀ ^ ́ ư
ng kinh AB =2R , lây 1 điêm C tuy y .D ng
ng thăng It (H thuôc AB) va goi I la trung điêm cua CH .Trên n a đ ư ươ ̣ ̀ ̣ ̀ ̉ ̉ ̉ : Trên n a đ
A B . ́ ơ ́ ̉ la tam giac đêu . ̀ ́ ̀ diên SABC theo h va R. ̉ ư ̣ ́ ̣ ̀ : Cho t ̣
diên ABCD co 3 canh AB,AC,AD,vuông goc v i nhau t ng đôi môt ́ ơ ư ̀ ̣ ́ ̣ ̀ ̃ ́ ̣ ́ ́ ư
: Cho hinh vuông ABCD canh băng a .I la trung điêm cua AB .Qua I d ng ̀ ̀ ̣ ̀ ̀ ̉ ̉ ng vuông goc v i mp(ABC) va trên đo lây điêm S sao cho . ̀ ́ ́ ̉ ́ ơ
la tam giac vuông . ̀ ́ Bai 79
CH
vuông goc v i mp(ABC) lây điêm S sao cho
1/C/m : SH CV
2/Đăt AH =h .Tinh V cua t
Bai 80
ư
va AB=a, AC=2a ,AD =3a .Hay tinh diên tich tam giac BCD theo a.
Bai 81
đ
ươ
1/C/m: SA DV
2/Tinh V cua hinh chop S.ACD. Suy ra ́ ̉ ̀ ́ ̀ ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ̣ ̣ ́ ̀ ng tron đay th 1 cua hinh tru, 2 đinh con lai năm trên ư ươ ̉ ́ ̀ ̀ ́ ̉ ̀ ̣ ̉ ̀ ̣ ̀ ơ ư ́
ng tron đay th 2 cua hinh tru.Măt phăng hinh vuông tao v i đay hinh tru 1 goc ̀ ́ ̉ ̀ ̣ ̣ ̉ ̀ ̣ ́ ̀ ̣ xqS va V cua hinh tru đo. ́ ̀ ̉ ̀ ̣ ́ ươ ̀ ́ ̣ ̣ ́ ̀ ́ ́ .Trên đ ̀
ng tron tâm Oban kinh R va
ng thăng vuông goc v i mp(ABC) tai A, lây điêm S sao cho SA= ươ ́ ơ ̉ ̣ ́ ̉ diên SABC theo a va R. ư ́ ̣ ̀ ư ̣ ̀ ̉ ̉ ́ ́ ̀ ̀ ́ ̉ : Cho hinh chop S.ABCD ,đay la hinh ch nhât co AB=2a, BC=a, .Cac canh ư ̀ ̀ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ́ ́ ̣ ̉ ̀ ́ ̀ ̀ ́ ̉ ̀ ́ diên ABCD co AB, AC, AD lân l t vuông goc v i nhau t ng đôi : Cho t ́ ơ ư ̀ ̣ ́ ̣ Bai 82
đinh liên tiêp A,B năm trên đ
đ
ươ
045 .Tinh
Bai 83
: Cho tam giac ABC cân tai A, nôi tiêp trong đ
µ
A 120=
0
a 3 .
1/Tinh V t
2/Cho R =2a, goi I la trung điêm cua BC.Tinh sô đo gi a SI va hinh chiêu cua no
́
trên mp(ABC).
Bai 84
bên cua hinh chop đêu băng
Bai 85
ư
môt, AB=a, AC=2a ,AD=3a.
1/Tinh ́ ́ BCD .
: Cho hinh chop t giac đêu S.ABCD canh a ,đ ng cao SO =h. ươ ̀ ̀ ́ ̀ ̣ ́ ́ ́ ̣ ̀ ̣ ́ ̀ ́ ́ ̉ ̀ ́ giac đêu S.ABCD co đay ABCD la hinh vuông canh băng ́ ư ̀ ̀ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ̀ a TPS va V hinh chop. 0
45 0
90 ) ( .Tinh ư ́ ̣ ̀ ́ ̀ ́ ̀ ̀ ́ ̀ ̀ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ̀ ́ ơ ̣ ̣ ̀ : Cho hinh chop đêu S.ABCD co đay ABCD la hinh vuông canh băng 2a.
̀ ươ
t
a 5. Môt mp(P) đi qua AB va vuông goc v i mp(SCD) .(P) lân l ́ ̀ ̣ ̀ giac ABC’D’ ́ ́ 2/Tinh
Bai 86
́ ư
1/Tinh ban kinh măt câu ngoai tiêp hinh chop .
2/Tinh V cua hinh chop S.ABCD .
Bai 87
: Cho hinh chop t
a. Goc gi a măt bên va đay la
Bai 88
Canh bên SA=
căt SC va SD tai C’ va D’.
1/Tinh S t
ư
2/Tinh V hinh đa diên ABCDD’C’. ́ ̀ ̣ 8 : Cho lăng tru đêu ABC.A’B’C’ co chiêu cao băng h va 2 đ ng thăng AB’ ươ ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ̀ ̀ ̉ ́ ̣ ́ ́ ơ
: Cho hinh chop t ́
giac đêu S.ABCD co đô dai canh đay AB =a va goc ́ ư ̀ ̀ ́ ̀ ́ ̣ ̀ ̣ ́ ̀ a .Tinh V cua hinh chop S.ABCD theo a va . ́ ̉ ̀ ́ ̀ : Cho hinh chop S.ABCD co đay ABCD la hinh vuông canh a .Canh bên SA ̀ ̀ ́ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ̣ ̀ ̣ ̉ ́ ́ ̉ ̀ ́ ^ ^ ^ : Cho hinh chop t ̀ ̀ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ̀ ̀ ́ ̀ ̀ ́ . C/m: SC m p(A EF)
.
giac đêu S.ABCD co đay ABCD la hinh vuông canh
TPS va V hinh chop S.ABCD . diên co ABC la 1 tam giac vuông cân đinh B va AC =2a , ư ̀ ̀ ̣ ́ ̀ ́ ̉ ̀ ^ Bai 89
,BC’ vuông goc v i nhau. Tinh V lăng tru đo.
Bai 90
·SA B = a
Bai 91
=2a va vuông goc v i măt phăng đay.
́ ơ
TPS cua hinh chop.
1/Tinh
, A F SD
2/Ha AẸ
Bai 92
́ ư
băng a va SA=SB =SC= =SD =a.Tinh
Bai 93
canh SA ̣ ̀ 1/Tinh ́ : Cho SABC la 1 t
m p(A BC)
va SA =a.
]
[
d A ;m p(SBC) . 2/Goi O la trung điêm cua AC .Tinh ̣ ̀ ̉ ̉ ́ : Cho hinh chop t ́ ư ̀ ̀ ́ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ^ ,SD= a . ̣ vuông .Tinh . ́ Bai 94
D , AB=AD =a ,CD=2a .Canh bên SD
SBCSV
1/C/mr: SBCV
2/Tinh ́ ́
: Cho hinh chop S.ABCD co đay la hinh ch nhât ,biêt AB=2a ,BC =a ,cac ư ̀ ̀ ́ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ́ ̣ ̉ ̀ ́ ̀ ̀ ̀ ́ ̀ ́ : Cho hinh chop t ́ ư ̀ ̀ ́ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ^ .T trung điêm E ̣ ̉ ˛ ^ ư
̀
.Tinh V hinh chop S.ABCD theo a va ̉ ́ ̀ ́ (K SC) ^ ^ : Cho hinh chop S.ABCD co đay ABCD la hinh vuông . , SA= ̀ ̀ ́ ́ ́ ̀ ̀ ̀ ̀ ́ ̉ ^ Bai 95
canh bên cua hinh chop băng nhau va băng
Bai 96
D , AB=AD =a ,CD=2a .Canh bên SD
cua DC d ng EK
ư
SC m p(EBK )
.
Bai 97
a 6 .H la hinh chiêu cua A lên SD .
1/C/m : A H
(SBC)
2/Goi O la giao điêm cua AC va BD .Tinh ̣ ̀ ̉ ̉ ̀ ́ : Cho hinh chop t ́ ư ̀ ̀ ́ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ́ ơ ́ ̀ ̣ ́ SBDSV
ư . ́ ́ ̣ c b i mp đi qua truc cua no , ta đ c 1 tam ̀ ́ ̀ ́ ̉ ̣ ̉ ́ Bai 98
D.Biêt răng AB=2a ,AD=CD =a (a>0). Canh bên SA =3a vuông goc v i đay .
1/Tinh
diên SBCD theo a.
2/Tinh V t
Bai 99
: Căt hinh non đinh S cho tr
giac vuông cân co canh huyên băng ́ ́ ̣ ̀ ̀ ́ ̀ ̉ ̀ ́ ươ
xqS , tpS va V cua hinh non. ươ ơ
a 2.Tinh 9 ơ ̀ ̀ ́ ́ ́ ́ ̀ ́ ̣ B. Canh SA
^ Sc. Biêt AB =a ,BC : Cho hinh chop tam giac S.ABC co đay la tam giac vuông
́ ơ ư ́ ̉ ́ ̣ ̉ ́ Bai 100
vuông goc v i đay .T A ke cac đoan thăng AD
=b, SA =c .
1/Tinh V cua khôi chop S.ADE. 2/Tinh ́ ̉ ́ ́ ́ 10·A SB = a
1
a
2
2
A D SB,A E SC
=
.
.
V
S.A 'B'C '
V
SA 'SB 'SC '
.
SA SB SC
A BCV
V
A BCV
SB
A 'B
SV
=
A C a 3
=
A A ' a 2
A M
BP
M N
BD
=
SCDV
m p(A BCD )
m p(A BC)
µA 2= a
< a <
)
µA = a
B’ xuông đay (ABCD) trung v i giao điêm O cac
xqS cua hinh hôp đo .
·
A SC 90=
0
·0
=
·
BA C 90 ,A BC
(A BC)
]
[
d S;(A BC) .
a 3 , đ
SC
]
[
d C;(SBD ) .
=
=
·
·
0
A BD A BC 60
2 6 .Điêm M,N la trung điêm cua canh AB,AC t
=
=
]
SC
a 3 .
·
A SB 90=
0
=
2IS a 3
]
[
d C;(SA D ) .
: Bên trong hinh tru tron xoay co 1 hinh vuông ABCD canh a nôi tiêp ma 2
a 2.Tinh V cua hinh chop S.ABCD theo a.
̀ ươ
]
[
d A ;(BCD )
SV
< a <
SB
]
[
d O;m p(SBC) .
̀
giac S.ABCD co đay la hinh thang ABCD vuông tai A va
m p(A BCD )
]
[
d A ;(SBC) .
m p(A BCD )
a 2.Tinh V hinh chop .
̀
giac S.ABCD co đay la hinh thang ABCD vuông tai A va
=
,SD a 3
SC
SA
(A BCD )
]
[
d O ;(SBC) .
̀
giac S.ABCD co đay la hinh thang ABCD vuông tai A va
^ SB va AÈ
]
[
d E;(SA B) .
