BÀI TẬP PHẦN AXTT ---- MA TRẬN AXTT
Bài 1:
Cho ánh xạ tuyến tính 𝒇∶ 𝑹𝟑 → 𝑹𝟑 𝒕𝒉ỏ𝒂
𝒇(𝟏;𝟏;𝟏)= (𝟏;𝟐;−𝟏)
𝒇(𝟏;𝟐;𝟏) = (𝟐;𝟏;𝟑 )
𝒇(𝟏;𝟏;𝟐) = (−𝟏;𝟐;𝟎)
a/ 𝑻ì𝒎 𝒇(𝟑;𝟏;𝟒)
b/ 𝑻ì𝒎 𝒇(𝒙𝟏,𝒙𝟐,𝒙𝟑)
Bài 2:
Cho ánh xạ tuyến tính 𝒇∶ 𝑹𝟑→ 𝑹𝟐
Thỏa 𝒇(𝒙𝟏,𝒙𝟐,𝒙𝟑) = ( 𝒙𝟏−𝒙𝟐,𝒙𝟏+𝟐𝒙𝟐−𝒙𝟑)
a/ Tìm cơ sở và chiều 𝐤𝐞𝐫𝐟
b/ Tìm cơ sở và chiều 𝑰𝒎𝒇
Bài 3:
Cho ánh xạ tuyến tính 𝒇∶ 𝑹𝟑 → 𝑹𝟑 𝒕𝒉ỏ𝒂
𝒇(𝟏;𝟏;𝟏)=(𝟏;𝟐;𝟏)
𝒇(𝟏;𝟏;𝟐)=(𝟐;𝟏;−𝟏)
𝒇(𝟏;𝟐;𝟏)=(𝟓;𝟒;−𝟏)
a/ 𝑻ì𝒎 𝒇(𝟏;𝟑;𝟓)
b/ 𝑻ì𝒎 𝒇(𝒙𝟏,𝒙𝟐,𝒙𝟑)
c/ 𝑻ì𝒎 𝒄ơ 𝒔ở 𝒗à 𝒄𝒉𝒊ề𝒖 𝑲𝒆𝒓𝒇
d/ 𝑻ì𝒎 𝒄ơ 𝒔ở 𝒗à 𝒄𝒉𝒊ề𝒖 𝑰𝒎𝒇
Bài 4: 𝑪𝒉𝒐 𝒂𝒙𝒕𝒕 𝒇∶ 𝑹𝟑 → 𝑹𝟐 𝒕𝒉ỏ𝒂
𝒇(𝒙𝟏,𝒙𝟐,𝒙𝟑)= ( 𝒙𝟏+𝟐𝒙𝟐−𝟑𝒙𝟑,𝟐𝒙𝟏+𝒙𝟑 )
2 cơ sở 𝑬= { 𝒆𝟏=(𝟏;𝟏;𝟏), 𝒆𝟐=(𝟏;𝟎;𝟏), 𝒆𝟑=(𝟏;𝟏;𝟎) }
𝑭= { 𝒇𝟏=(𝟏;𝟑), 𝒇𝟐=(𝟐;𝟓) }
Tìm 𝑨𝑬,𝑭
Bài 5: 𝑪𝒉𝒐 𝒂𝒙𝒕𝒕 𝒇 ∶ 𝑹𝟑 → 𝑹𝟐
𝟐 𝒄ơ 𝒔ở 𝑬= { 𝒆𝟏=(𝟏;𝟏;𝟏), 𝒆𝟐=(𝟏;𝟎;𝟏), 𝒆𝟑=(𝟏;𝟏;𝟎) }
𝑭= { 𝒇𝟏=(𝟏;𝟏), 𝒇𝟐=(𝟐;𝟏) }
𝑩𝒊ế𝒕 𝑨𝑬,𝑭 = ( 𝟐 𝟏 −𝟑
𝟎 𝟑 𝟒 )
a/ 𝑻ì𝒎 𝒇(𝟑;𝟏;𝟓)
b/ 𝑻ì𝒎 𝒇(𝒙𝟏,𝒙𝟐,𝒙𝟑)
Bài 6 : 𝑪𝒉𝒐 𝒂𝒙𝒕𝒕 𝒇 ∶ 𝑹𝟑 → 𝑹𝟑
Cơ sở 𝑬= { 𝒆𝟏=(𝟏;𝟏;𝟏), 𝒆𝟐=(𝟏;𝟎;𝟏), 𝒆𝟑=(𝟏;𝟏;𝟎) }
𝑩𝒊ế𝒕 𝑨𝑬= ( 𝟏 𝟏 −𝟏
𝟐 𝟑 𝟑
𝟏 𝟐 𝟒 )
a/ Tìm 𝒇(𝟐;𝟑;−𝟏)
b/ 𝑻ì𝒎 𝒇(𝒙𝟏,𝒙𝟐,𝒙𝟑)
c/ 𝑻ì𝒎 𝒄ơ 𝒔ở 𝒗à 𝒄𝒉𝒊ề𝒖 𝑲𝒆𝒓𝒇
d/ 𝑻ì𝒎 𝒄ơ 𝒔ở 𝒗à 𝒄𝒉𝒊ề𝒖 𝑰𝒎𝒇
Bài 7: 𝑪𝒉𝒐 𝒂𝒙𝒕𝒕 𝒇∶ 𝑹𝟑 → 𝑹𝟑
Cơ sở 𝑬= { 𝒆𝟏=(𝟏;𝟐;𝟏), 𝒆𝟐=(𝟏;𝟏;𝟐), 𝒆𝟑=(𝟏;𝟏;𝟏) }
𝑭= { 𝒇𝟏=(𝟏;𝟐;𝟑), 𝒇𝟐=(𝟐;𝟑;𝟓), 𝒇𝟑=(𝟓;𝟖;𝟒) }
Biết 𝑨𝑬= ( 𝟏 𝟎 𝟏
𝟐 𝟏 𝟒
𝟏 𝟏 𝟑 ) . 𝑻ì𝒎 𝑨𝑭
ĐÁP ÁN PHẦN AXTT – MA TRẬN AXTT
ĐN ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ 𝒇: 𝑼→𝑽 đượ𝒄 𝒈ọ𝒊 𝒍à 𝒎ộ𝒕 á𝒏𝒉 𝒙ạ 𝒕𝒖𝒚ế𝒏 𝒕í𝒏𝒉
Nếu như : {𝒇(𝒙+𝒚) = 𝒇(𝒙)+ 𝒇(𝒚) , ∀𝒙,𝒚 ∈𝑼
𝒇(𝜶.𝒙)= 𝜶.𝒇(𝒙) ,∀𝒙∈𝑼 , 𝜶∈𝑹
ĐN nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
Cho ánh xạ 𝒇: 𝑼→𝑽 𝒍à 𝒎ộ𝒕 á𝒏𝒉 𝒙ạ 𝒕𝒖𝒚ế𝒏 𝒕í𝒏𝒉
𝑲𝒆𝒓𝒇= { 𝒙∈𝑼 𝒕𝒉ỏ𝒂 𝒇(𝒙)=𝟎
󰇍
󰇍
}
𝑰𝒎𝒇 =𝒇(𝑼)= { 𝒇(𝒙) 𝒗ớ𝒊 𝒙∈𝑼 }
Tính chất : 𝒅𝒊𝒎 𝑲𝒆𝒓𝒇 + 𝒅𝒊𝒎 𝑰𝒎𝒇 =𝒅𝒊𝒎𝑼
𝑼= < 𝒖𝟏,𝒖𝟐,….,𝒖𝒏 >
Khi đó : 𝑰𝒎𝒇=𝒇(𝑼)= < 𝒇(𝒖𝟏),𝒇(𝒖𝟐),….,𝒇(𝒖𝒏) >
ĐN ma trận của ánh xạ tuyến tính
Cho ánh xạ 𝒇: 𝑼→𝑽 𝒍à 𝒎ộ𝒕 á𝒏𝒉 𝒙ạ 𝒕𝒖𝒚ế𝒏 𝒕í𝒏𝒉
𝑬= {𝒆𝟏,𝒆𝟐,…𝒆𝒏} 𝒍à 𝒎ộ𝒕 𝒄ơ 𝒔ở 𝒄ủ𝒂 𝑼
𝑭= {𝒇𝟏,𝒇𝟐,…𝒇𝒎} 𝒍à 𝒎ộ𝒕 𝒄ơ 𝒔ở 𝒄ủ𝒂 𝑽
𝑨𝑬,𝑭= ( [𝒇(𝒆𝟏]𝑭 | ([𝒇(𝒆𝟐]𝑭 | ([𝒇(𝒆𝟑]𝑭 )
Cách tính nhanh : 𝑨𝑬,𝑭=𝑭−𝟏.𝒇(𝑬)
𝑭=( 𝒇𝟏| 𝒇𝟐| 𝒇𝟑 ) 𝒗à 𝒇(𝑬)=( 𝒇(𝒆𝟏)| 𝒇(𝒆𝟐)| 𝒇(𝒆𝟑) )
𝑻𝒓ườ𝒏𝒈 𝒉ợ𝒑 𝑼=𝑽 , 𝑬 𝒍à 𝒎ộ𝒕 𝒄ơ 𝒔ở 𝒄ủ𝒂 𝑼
Khi đó :
𝑨𝑬,𝑬=𝑨𝑬= ( [𝒇(𝒆𝟏]𝑬 | ([𝒇(𝒆𝟐]𝑬 | ([𝒇(𝒆𝟑]𝑬 )
Cách tính nhanh : 𝑨𝑬,𝑬=𝑬−𝟏.𝒇(𝑬)
𝑬=( 𝒆𝟏| 𝒆𝟐 | 𝒆𝟑 ) 𝒗à 𝒇(𝑬)=( 𝒇(𝒆𝟏)| 𝒇(𝒆𝟐)| 𝒇(𝒆𝟑) )
Mối liên hệ của ma trận ánh xạ tuyến tính trong 2 cơ sở E và F
Cho ánh xạ 𝒇: 𝑼→𝑽 𝒍à 𝒎ộ𝒕 á𝒏𝒉 𝒙ạ 𝒕𝒖𝒚ế𝒏 𝒕í𝒏𝒉
𝑬= {𝒆𝟏,𝒆𝟐,…𝒆𝒏} 𝒍à 𝒎ộ𝒕 𝒄ơ 𝒔ở 𝒄ủ𝒂 𝑼
𝑭= {𝒇𝟏,𝒇𝟐,…𝒇𝒎} 𝒍à 𝒎ộ𝒕 𝒄ơ 𝒔ở 𝒄ủ𝒂 𝑽
𝑨𝑭= 𝑺−𝟏.𝑨𝑬.𝑺
Trong đó : 𝑺𝑬→𝑭= 𝑬−𝟏.𝑭
𝑬=( 𝒆𝟏| 𝒆𝟐 | 𝒆𝟑 ) , 𝑭=( 𝒇𝟏| 𝒇𝟐| 𝒇𝟑 )
Bài 1:
a/ Ta đi biểu diễn (3,1,4 )=𝟒.(1,1,1)−𝟐 .(1,2,1)+𝟏.(1,1,2)
Do f là một ánh xạ tuyến tính nên
𝑓( 3;1;4 ) = 𝟒.𝑓(1,1,1)−𝟐𝑓(1,2,1)+𝟏.𝑓(1,1,2)=(−𝟏;𝟖;−𝟏𝟎 )
( 𝑡ℎế 𝑓(1,1,1) ,𝑓(1,2,1),𝑓(1,1,2) đề 𝑏à𝑖 𝑐ℎ𝑜 𝑣à𝑜…)
b/ Ta có (𝑥1,𝑥2,𝑥3)=𝑥1(1,0,0)+ 𝑥2(0,1,0)+ 𝑥3(0,0,1)
Do f là một ánh xạ tuyến tính nên