BÀI TẬP PHẦN TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ _ MA TRẬN CHUYỄN CƠ SỞ
Bài 1: 𝑉= 𝑅3 , 𝑐ℎ𝑜 𝑐ơ 𝑠ở 𝐸= {𝑒1=(1;1;1), 𝑒2=(1;1;0), 𝑒2=(1;0;1)}
a/ 𝐵𝑖ế𝑡 [𝑥]𝐸=(−1
2
1 ) . Tìm vectơ x
b/ Cho vectơ x= (3; 1; -2 ) . 𝑇ì𝑚 [𝑥]𝐸
Bài 2: 𝑉=𝑃2[𝑥] , cho cơ sở 𝐸= { 𝑥2+ 𝑥+ 1, 𝑥 + 1, 2𝑥+ 1 }
𝐵𝑖ế𝑡 𝑝(𝑥)=3𝑥2+ 4𝑥− 1 . 𝑇ì𝑚 [𝑝(𝑥)]𝐸
Bài 3 : 𝑉=𝑅4 ,𝑐ℎ𝑜 𝑐ơ 𝑠ở 𝐸= {(0;1;1;1),(1;0;1;1),(1;1;0;1),(1;1;1;0)}
Biết 𝑥=(1;1;1;1) . 𝑇ì𝑚 [𝑥]𝐸
Bài 4: 𝑉=𝑅3 , 𝑐ℎ𝑜 2 𝑐ơ 𝑠ở 𝐸= { (1,1,2) , (1;1;1), (1;2;1) }
𝐹= { (1;1;1),(1;1;0),(1;0;1) }
Biết [𝑥]𝐸=( 2
3
−4 ) . Tìm [𝑥]𝐹
Bài 5: Trên không gian vectơ V ,
cho 2 cơ sở 𝐸= { 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3 }
𝐹= { 𝑓1=𝑒1+𝑒2+𝑒3, 𝑓2=𝑒1+𝑒2, 𝑓3=𝑒1 }
𝐵𝑖ế𝑡 [𝑥]𝐸=( 1
−1
1 ) . 𝑇ì𝑚 [𝑥]𝐹
Bài 6: 𝑉=𝑅3 , 𝑐ℎ𝑜 2 𝑐ơ 𝑠ở 𝐸= {(1;1;1),(1;0;1),(1;1;0) }
𝐹={ (1;1;2),(1;2;1),(1;1;1) }
𝑇ì𝑚 𝑆𝐸→𝐹 ( ma trận chuyển cơ sở từ E sang F )
Bài 7: 𝑉=𝑅3 , 𝑐ℎ𝑜 𝑐ơ 𝑠ở 𝐸={ (1;1;1),(1;1;2),(1;2;3) }
𝐹= { (2;1;−1),(3;2;−5),(1;−1;𝑚) }
a/ 𝑇ì𝑚 𝑚 để 𝐹 𝑙à 𝑚ộ𝑡 𝑐ơ 𝑠ở 𝑐ủ𝑎 𝑅3
b/ 𝑉ớ𝑖 đ𝑘 𝑛à𝑦 𝑐ủ𝑎 𝑚 . 𝐵𝑖ế𝑡 [𝑥]𝐸=( 1
1
−1 ) , tìm [𝑥]𝐹
c/ 𝑉ớ𝑖 đ𝑘 𝑛à𝑦 𝑐ủ𝑎 𝑚 . 𝑇ì𝑚 𝑆𝐸→𝐹
ĐÁP ÁN PHẦN TỌA ĐỘ VECTƠ _ MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ
Bài 1:
a/ [𝑥]𝐸=(−1
2
1 ) ⇒ 𝑥=−𝑒1+2𝑒2+𝑒3=(2;1;0)
b/ [𝑥]𝐸=𝐸−1.𝑥= (111
110
101)−1.( 3
1
−2 )= (−4
5
2 )
Chú ý : Để tìm tọa độ của một vectơ có 2 cách :
C1 : Dùng định nghĩa
Biểu diễn 𝑥=𝛼𝑒1+𝛽𝑒2+𝛾𝑒3 , sau đó giải hệ để tìm 𝛼,𝛽,𝛾
C2 : Dùng công thức
[𝒙]𝑬=𝑬−𝟏.𝒙
𝑬=(𝒆𝟏|𝒆𝟐|𝒆𝟑) ,𝒙 𝒏𝒉ớ 𝒗𝒊ế𝒕 𝒅ạ𝒏𝒈 𝒄ộ𝒕
Bài 2:
[𝑝(𝑥)]𝐸= 𝐸−1.𝑝(𝑥)= (1 0 0
1 1 2
1 1 1)−1.(3
4
−1) = ( 3
−9
5 )
Chú ý : 𝑬=(𝒑𝟏 | 𝒑𝟐| 𝒑𝟑 )
Lần lượt lấy hệ số của các đa thức 𝑝1,𝑝2 ,𝑝3 𝑥ế𝑝 𝑣ô 𝑐á𝑐 𝑐ộ𝑡 𝑐ủ𝑎 𝑚𝑎 𝑡𝑟ậ𝑛 𝐸
Bài 3:
[𝑥]𝐸= 𝐸−1.𝑥= (0 1
1 0 1 1
1 1
1 1
1 1 0 1
1 0)−1.(1
1
1
1)=
(
13
⁄
13
⁄
13
⁄
13
⁄
)
Chú ý : Nếu ma trận E cấp lớn khó tìm ma trận nghịch đảo 𝐸−1
Ta có thể chuyển qua cách 1 dùng định nghĩa nhé !
Bài 4 :
B1 : Tìm 𝒙= 𝟐𝒆𝟏+𝟑𝒆𝟐−𝟒𝒆𝟑=( 1;−3; 3 )
B2 : [𝒙]𝑭= 𝑭−𝟏.𝒙= (1 1 1
1 1 0
1 0 1)−1.( 1
−3
3 )=( −1
−2
4 )
Bài 5:
B1: Tìm 𝒙=𝒆𝟏−𝒆𝟐+𝒆𝟑
B2 : Dùng định nghĩa
𝐵𝑖ể𝑢 𝑑𝑖ễ𝑛 𝑥= α𝑓1+ 𝛽𝑓2+𝛾𝑓3= (𝛼+𝛽+𝛾)𝑒1+(𝛼+𝛽)𝑒2+𝛼𝑒3
Giải hệ ta có 𝛼=1, 𝛽=−2, 𝛾=2
[𝑥]𝐹= ( 1
−2
2 )
Bài 6:
𝑺𝑬→𝑭= 𝑬−𝟏.𝑭= (111
101
110)−1(1 1 1
1 2 1
2 1 1)=( 2 2 1
0 −1 0
−1 0 0 )
Chú ý : Tìm ma trận chuyển cơ sở có công thức
𝑺𝑬→𝑭= 𝑬−𝟏.𝑭
𝑬=(𝒆𝟏|𝒆𝟐|𝒆𝟑) , 𝑭=(𝒇𝟏|𝒇𝟐|𝒇𝟑)
Tìm ma trận nghich đảo 𝑬−𝟏 𝒗à 𝒏𝒉â𝒏 𝒎𝒂 𝒕𝒓ậ𝒏 𝑬−𝟏.𝑭
được phép bấm máy
Bài 7:
a/ m ≠ 10 , 𝑭 𝒄ó đú𝒏𝒈 𝟑 𝒗𝒆𝒄𝒕ơ 𝒏ê𝒏 𝒄𝒉ỉ 𝒄ầ𝒏 𝑭 Đ𝑳𝑻𝑻 𝒕ứ𝒄 𝒓(𝑭)=𝟑
b/ [𝑥]𝐹=
(
2𝑚−5
𝑚−10
1−𝑚
𝑚−10
−3
𝑚−10
)
, dùng cách 1 giải hệ
c/ 𝑺𝑬→𝑭= 𝑬−𝟏.𝑭 = (111
112
123)−1.( 2 3 1
1 2 −1
−1 −5 𝑚 )
=( 4 10 −𝑚
−1 −6 𝑚+3
−1 −1 −2 )