BÀI TẬP PHẦN TRỊ RIÊNG VECTƠ RIÊNG --- CHÉO HÓA
Bài 1: Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận A
𝐴= ( 5 1 4
−2 2 −2
−1 −1 0 )
Bài 2: Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận A
𝐴= ( 3 1 1
2 4 2
1 1 3 )
Bài 3: Hãy chéo hóa ma trận A (nếu được )
𝐴= ( 2 4 3
−4 −6 −3
3 3 1 )
Bài 4 : Hãy chéo hóa ma trận A ( nếu được )
𝐴= ( 1 3 3
−3 −5 −3
3 3 1 )
Nếu A chéo hóa được tính 𝐴100
Bài 5: Hãy chéo hóa trực giao ma trận đối xứng sau
𝐴= ( 3 2 0
2 2 2
0 2 1 )
Bài 6: Hãy chéo hóa trực giao ma trận đối xứng sau
𝐴= ( 3 −2 4
−2 6 2
4 2 3 )
ĐÁP ÁN PHẦN TRỊ RIÊNG VECTƠ RIÊNG ---- CHÉO HÓA MA TRẬN
Các bước để tìm giá trị riêng của ma trận A
B1: Tìm giá trị riêng
Để tìm giá trị riêng của ma trận A ta đi giải phương trình đặc trưng
𝒅𝒆𝒕 ( 𝑨−𝑰.𝝀)=𝟎
B2: Tìm vectơ riêng
Để tìm vectơ riêng của ma trận A ta đi giải hệ
(𝑨−𝑰𝝀).𝑿=𝟎
Chú ý : * Giá trị riêng của A là 𝝀 , vectơ riêng của A là X
Khi đó : Gtr của 𝑨𝒏 𝒍à 𝝀𝒏 , 𝒗𝒕𝒓 𝒄ủ𝒂 𝑨𝒏 𝒗ẫ𝒏 𝒍à 𝑿
Gtr của 𝑨−𝟏 𝒍à 𝟏
𝝀 , 𝒗𝒕𝒓 𝒄ủ𝒂 𝑨−𝟏 𝒗ẫ𝒏 𝒍à 𝑿
Đk để ma trận A chéo hóa được
Ma trận A chéo hóa được ⇔ Ứ𝒏𝒈 𝒗ớ𝒊 𝒎ỗ𝒊 𝒈𝒕𝒓 𝑩Đ𝑺=𝑩𝑯𝑯
Bài 1:
Để tìm giá trị riêng của ma trận A ta đi giải phương trình đặc trưng
𝒅𝒆𝒕 ( 𝑨−𝑰.𝝀)=𝟎
⇒ | 𝟓−𝝀 𝟏 𝟒
−𝟐 𝟐−𝝀 −𝟐
−𝟏 −𝟏 𝟎−𝝀 |= 𝟎
• Giá trị riêng của A là : 𝜆1=1 , (𝑩Đ𝑺=𝟏)
𝜆2=2 , (𝑩Đ𝑺=𝟏 )
𝜆3=4 , (𝑩Đ𝑺=𝟏 )
( nghiệm đơn thì BĐS =1 )
Để tìm vectơ riêng của ma trận A ta đi giải hệ
(𝑨−𝑰𝝀).𝑿=𝟎
𝑉ớ𝑖 𝜆=1 ,𝑡𝑎 𝑔𝑖ả𝑖 ℎệ (𝐴−𝐼).𝑋=0
⇒ ( 4 1 4
−2 1 −2
−1 −1 −1 ) .( 𝑥1
𝑥2
𝑥3)= ( 0
0
0 )
Nghiệm của hệ là 𝒙𝟐=𝟎,𝒙𝟑=−𝒙𝟏 , 𝒙𝟏 𝒕ù𝒚 ý
• Vtr ứng với 𝜆=1 là : 𝑿𝝀𝟏=( 𝒙𝟏
𝟎
−𝒙𝟏 ) , 𝑥1≠0, 𝑩𝑯𝑯=𝟏
Kg con vtr ứng với 𝜆=1 có 1 vectơ cơ sở là ( 1
0
−1 ) nên BHH =1
𝑽ớ𝒊 𝝀=𝟐 ,𝒕𝒂 đ𝒊 𝒈𝒊ả𝒊 𝒉ệ (𝑨−𝟐.𝑰).𝑿=𝟎
⇒ ( 3 1 4
−2 0 −2
−1 −1 −2 ) .( 𝑥1
𝑥2
𝑥3 )= ( 0
0
0 )
Nghiệm của hệ là 𝒙𝟏= −𝒙𝟑,𝒙𝟐= −𝒙𝟑 ,𝒙𝟑 𝒕ù𝒚 ý
Vtr ứng với 𝜆=2 𝑙à∶ 𝑿𝝀𝟐= ( −𝒙𝟑
−𝒙𝟑
𝒙𝟑 ) , 𝑥3 ≠0, 𝑩𝑯𝑯=𝟏
Kg con vtr ứng với 𝜆=2 có 1 vectơ cơ sở là ( −1
−1
1 ) nên BHH =1
𝑽ớ𝒊 𝝀=𝟒 ,𝒕𝒂 đ𝒊 𝒈𝒊ả𝒊 𝒉ệ (𝑨−𝟒.𝑰).𝑿=𝟎
⇒ ( 𝟏 𝟏 𝟒
−𝟐 −𝟐 − 𝟐
−𝟏 −𝟏 −𝟒 ).( 𝒙𝟏
𝒙𝟐
𝒙𝟑 )= ( 𝟎
𝟎
𝟎 )
Nghiệm của hệ là : 𝒙𝟑=𝟎 , 𝒙𝟐=−𝒙𝟏, 𝒙𝟏 𝒕ù𝒚 ý
Vtr ứng với 𝜆=4 𝑙à∶ 𝑿𝝀𝟑= ( 𝒙𝟏
−𝒙𝟏
𝟎 ) , 𝑥1 ≠0, 𝑩𝑯𝑯=𝟏
Kg con vtr ứng với 𝜆=4 có 1 vectơ cơ sở là ( 1
−1
0 ) nên BHH =1
Bài 2: Giải y chang bài số 1
• Giá trị riêng của A là : 𝜆=2 (𝑩Đ𝑺=𝟐)
𝜆=6 (𝑩Đ𝑺=𝟏)
( nghiệm đơn thì BĐS =1, nghiệm kép thì BĐS =2 )
Vectơ riêng của A là : 𝑿𝝀=𝟐= ( 𝒙𝟏
𝒙𝟐
−𝒙𝟏−𝒙𝟐) , 𝑥12+𝑥22 ≠0 , BHH=2
Kg con vtr ứng với 𝝀=𝟐
𝒄ó 𝟐 𝒗𝒆𝒄𝒕ơ 𝒄ơ 𝒔ở 𝒍à ( 𝟏
𝟎
−𝟏 ) 𝒗à ( 𝟎
𝟏
−𝟏 ) 𝒏ê𝒏 𝑩𝑯𝑯=𝟐
𝑿𝝀=𝟔= (𝒙𝟏
𝟐𝒙𝟏
𝒙𝟏) , 𝑥1 ≠0 , BHH=1
Kg con vtr ứng với 𝝀=𝟔
𝒄ó 𝟏 𝒗𝒆𝒄𝒕ơ 𝒄ơ 𝒔ở 𝒍à ( 𝟏
𝟐
𝟏 ) 𝒏ê𝒏 𝑩𝑯𝑯=𝟏