BÀI TẬP PHẦN KHÔNG GIAN CON
Bài 1: 𝑽 = 𝑹𝟑 , cho F = {(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑)/ 𝒙𝟏+ 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟑= 𝟎 }
a/ CMR F là một không gian con của 𝑹𝟑
b/ Tìm cơ sở và chiều không gian con F
Bài 2: 𝑽 = 𝑹𝟑
Cho không gian con F = < 𝒆𝟏=(𝟏; 𝟏; 𝟏), 𝒆𝟐=(𝟐; 𝟏; 𝟏), 𝒆𝟑=(𝟑; 𝟏; 𝟏) >
Tìm cơ sở và chiều không gian con F
Bài 3 : 𝑽 = 𝑷𝟐[𝒙]
Cho không gian con F = < 𝒙𝟐+ 𝒙 + 𝟏 , 𝟐𝒙𝟐+𝟑𝒙 − 𝟏 , 𝒙𝟐+𝟐𝒙 − 𝟐 >
Tìm cơ sở và chiều không gian con F
Bài 4 : 𝑽 = 𝑷𝟑[𝒙]
Cho kg con 𝑭 =< 𝒙𝟑+ 𝒙𝟐+𝟐𝒙 + 𝟐, − 𝟐𝒙𝟑−𝟑𝒙 − 𝟓,
𝟒𝒙𝟑+ 𝟔𝒙𝟐+𝟗𝒙 + 𝟕, 𝒙𝟑− 𝟓𝒙𝟐− 𝒙 + 𝟓 >
Tìm m để 𝒑(𝒙)= 𝟓𝒙𝟑+ 𝒙𝟐+𝟖𝒙 + 𝒎 ∈ 𝑭
Bài 5 : 𝑽 = 𝑹𝟒
Cho kg con 𝑭 = { (𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, 𝒙𝟒) / 𝒙𝟏− 𝟐𝒙𝟐+ 𝒙𝟑− 𝒙𝟒= 𝟎 }
Tập M = { (𝟐; 𝟏; 𝟏; 𝟏),(𝟐; 𝟐; 𝟑; 𝟏),(𝟐; 𝟐; 𝟑𝒎; 𝒎𝟐) }
a/ Tìm cơ sở và chiều của không gian con F
b/ Tìm m để M là một tập sinh của không gian con F
Bài 6: 𝑽 = 𝑹𝟑 , 𝒄𝒉𝒐 𝟐 𝒌𝒉ô𝒏𝒈 𝒈𝒊𝒂𝒏 𝒄𝒐𝒏
𝑭 = { (𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑) / 𝒙𝟏+ 𝒙𝟐− 𝟐𝒙𝟑= 𝟎 }
G = { (𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑) / 𝒙𝟏− 𝒙𝟐+ 𝒙𝟑= 𝟎 }
a/ Tìm cơ sở và chiều không gian con F và G
b/ Tìm cơ sở và chiều không gian giao 𝑭 ∩ 𝑮
c/ Tìm cơ sở và chiều không gian tổng 𝑭 + 𝑮
Bài 7 : 𝑽 = 𝑹𝟑 , 𝒄𝒉𝒐 𝟐 𝒌𝒉ô𝒏𝒈 𝒈𝒊𝒂𝒏 𝒄𝒐𝒏
𝑭 = { (𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑) / 𝒙𝟏+ 𝒙𝟐+ 𝒙𝟑= 𝟎 }
𝑮 = < (𝟏; 𝟎; 𝟏),(𝟐; 𝟑; 𝟏) >
a/ Tìm cơ sở và chiều không gian tổng 𝑭 + 𝑮
b/ Tìm cơ sở và chiều không gian giao 𝑭 ∩ 𝑮
Bài 8 : 𝑽 = 𝑹𝟑 , 𝒄𝒉𝒐 𝟐 𝒌𝒉ô𝒏𝒈 𝒈𝒊𝒂𝒏 𝒄𝒐𝒏
𝑭 = < 𝒇𝟏=(𝟏; 𝟐; 𝟏), 𝒇𝟐=(𝟏; 𝟎; 𝟐) >
𝑮 = < 𝒈𝟏=(𝟐; −𝟏; 𝟐), 𝒈𝟐=(𝟐; 𝟏; 𝟏) >
Tìm cơ sở và chiều 𝑭 ∩ 𝑮
ĐÁP ÁN PHẦN KHÔNG GIAN CON
Bài1 :
b/ Lấy 𝒙∈𝑭 𝒕𝒂 𝒄ó 𝒙=(𝒙𝟏 ,𝒙𝟐, 𝒙𝟏+𝟐𝒙𝟐 )= 𝒙𝟏(𝟏;𝟎;𝟏)+𝒙𝟐(𝟎;𝟏;𝟐)
Vậy 𝑬= { (𝟏;𝟎;𝟏) ,(𝟎;𝟏;𝟐) } 𝒍à 𝒎ộ𝒕 𝒕ậ𝒑𝐬𝐢𝐧𝐡𝒄ủ𝒂 𝒌𝒈 𝒄𝒐𝒏 𝑭
Mà tập 𝑬 độ𝒄 𝒍ậ𝒑 𝒕𝒖𝒚ế𝒏 𝒕í𝒏𝒉 ( do hai vectơ này không tỉ lệ với nhau )
KL : Tập E là một cơ sở của kg con F
dim(F) = 2
Chú ý : Nếu không rút 𝒙𝟑 𝒕𝒉𝒂𝒚 𝒗à𝒐 𝒎à 𝒄𝒉ọ𝒏 𝒓ú𝒕 𝒙𝟏 𝒉𝒐ặ𝒄 𝒙𝟐để 𝒕𝒉𝒂𝒚 𝒗à𝒐,
thì ta sẽ được cở sở khác tương ứng ( đều được hết )
Bài 2:
Lập ma trận 𝑨=( 𝟏 𝟏 𝟏
𝟐 𝟏 𝟏
𝟑 𝟏 𝟏 )
(Ta lấy các vectơ 𝒆𝟏,𝒆𝟐,𝒆𝟑 lần lượt xếp vào hàng 1, hàng 2 và hàng 3
của ma trận A )
Đưa ma trận A về ma trận bậc thang để tìm r(A)
Tìm được r(A) = 2 ( chú ý ta có tính chất r(A) = dim (F) )
KL : dim( F )= 2
Cơ sở của kg con F là : 𝑬= { (𝟏;𝟏;𝟏),(𝟎;−𝟏;−𝟏) }
( lấy 2 hàng khác không của ma trận bậc thang )
Chú ý : Muốn tìm cơ sở và chiều không gian con F nhớ xếp
các vectơ 𝒆𝟏,𝒆𝟐,𝒆𝟑 lần lượt vào hàng 1, hàng 2 và hàng 3
của ma trận A không được xếp cột nhé !
Bài 3 :
Lập ma trận 𝑨=( 𝟏 𝟏 𝟏
𝟐 𝟑 −𝟏
𝟏 𝟐 −𝟐 )
( Ta lấy các hệ số của từng đa thức lần lượt xếp vào các hàng của ma trận A)
Đưa ma trận A về ma trận bậc thang để tìm r(A)
Tìm được r(A) = 2 ( chú ý ta có tính chất r(A) = dim F )
KL : dim( F ) = 2
Cơ sở của kg con F là : 𝑬= { 𝒙𝟐+ 𝒙 + 𝟏, 𝒙 − 𝟑 }
(Lấy 2 hàng khác không của ma trận bậc thang rồi nhớ chuyển về dạng đa thức )
Bài 4 :
B1: Tìm cơ sở và chiều kg con F
dim(F)= 2 , cơ sở của F là { 𝒑𝟏,𝒑𝟐 } ( làm giống y chang bài 3 )
B2: p(x) ∈𝑭 ⇒ 𝒑(𝒙)=𝜶𝒑𝟏+𝜷𝒑𝟐 ⇒ 𝒎=𝟏𝟐
( Đồng nhất hệ số 2 vế để giải tìm m )
Bài 5:
a/ Lấy 𝒙∈𝑭 𝒕𝒂 𝒄ó 𝒙=(𝒙𝟏 ,𝒙𝟐, 𝒙𝟑 ,𝒙𝟏−𝟐𝒙𝟐+𝒙𝟑)
Ta có dim F =3 ,cơ sở của F là { (𝟏;𝟎;𝟎;𝟏),(𝟎;𝟏;𝟎;−𝟐),(𝟎;𝟎;𝟏;𝟏) }
( Câu 5a làm giống y chang bài 1, rút 𝒙𝟒 thế vào ta được cơ sở như trên )
b/ M là một tập sinh của kg con F
ĐK là : r(M)= dim(F)=3 và các vectơ của tập M thuộc kg con F
( Nhớ là tập sinh của không gian con tới 2 đk nhé )
Từ đk r(M) =3 ta giải được m ≠ 1
Từ đk các vectơ của M phải thuộc kg con F ta giải được m=1 hoặc m=2
Kết hợp cả 2 đk trên ta có m=2
KL : m = 2
Bài 6:
a/ Lấy 𝒙∈𝑭 𝒕𝒂 𝒄ó 𝒙=(−𝒙𝟐+𝟐𝒙𝟑 ,𝒙𝟐, 𝒙𝟑 )
dim(F)= 2 , cơ sở { 𝒇𝟏=(−𝟏;𝟏;𝟎),𝒇𝟐=(𝟐;𝟎;𝟏)}
Lấy 𝒙∈𝑮 𝒕𝒂 𝒄ó 𝒙=(𝒙𝟐−𝒙𝟑 ,𝒙𝟐, 𝒙𝟑 )
dim(G)=2 , cơ sở {𝒈𝟏 =(𝟏;𝟏;𝟎), 𝒈𝟐=(−𝟏;𝟎;𝟏)}
( Tìm cơ sở và chiều kg con F và G làm giống y chang bài số 1 nhé )
b/ Lấy 𝒙∈𝑭 ∩ 𝑮 ta có x phải thỏa 2 phương trình
Giải hệ 2 phương trình này ta được : 𝒙=( 𝟏
𝟐𝒙𝟑,𝟑
𝟐𝒙𝟑,𝒙𝟑) , 𝒙𝟑 𝒕ù𝒚 ý
KL : dim(𝑭 ∩ 𝑮)=𝟏 , 𝒄ơ 𝒔ở 𝒍à { (𝟏;𝟑;𝟐) }
𝒄/ 𝑭 + 𝑮 = <𝒇𝟏,𝒇𝟐,𝒈𝟏,𝒈𝟐>
𝑳ậ𝒑 𝒎𝒂 𝒕𝒓ậ𝒏 𝑨 ,𝒙ế𝒑 𝟒 𝒗𝒆𝒄𝒕ơ 𝒕𝒓ê𝒏 𝒗à𝒐 𝒄á𝒄 𝒉à𝒏𝒈 𝒄ủ𝒂 𝒎𝒂 𝒕𝒓ậ𝒏 𝑨
𝒓(𝑨)= 𝟑 ⇒ 𝒅𝒊𝒎(𝑭+𝑮)=𝟑
𝒄ơ 𝒔ở 𝒄ủ𝒂 (𝑭 +𝑮 ) 𝒍ấ𝒚 𝟑 𝒉à𝒏𝒈 𝒌𝒉á𝒄 𝒌𝒉ô𝒏𝒈 𝒄ủ𝒂 𝒎𝒂 𝒕𝒓ậ𝒏 𝒃ậ𝒄 𝒕𝒉𝒂𝒏𝒈
Cách làm giống y chang bài số 2 nhé !