BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
{ 𝒙𝟏+𝟐𝒙𝟐−𝒙𝟑+𝟒𝒙𝟒=𝟐
𝟐𝒙𝟏−𝒙𝟐+𝒙𝟑+𝒙𝟒 =𝟏
𝒙𝟏+𝟕𝒙𝟐−𝟒𝒙𝟑+𝟏𝟏𝒙𝟒=𝒎
Bài 2 : Giải hệ phương trình sau
{ 𝒙𝟏−𝟐𝒙𝟐+𝟑𝒙𝟑−𝟒𝒙𝟒 = 𝟐
𝟑𝒙𝟏+𝟑𝒙𝟐−𝟓𝒙𝟑+𝒙𝟒 =−𝟑
−𝟐𝒙𝟏+𝒙𝟐+𝟐𝒙𝟑−𝟑𝒙𝟒 = 𝟓
𝟑𝒙𝟏 +𝟑𝒙𝟑−𝟏𝟎𝒙𝟒 = 𝟖
Bài 3 : Giải hệ phương trình sau
{ 𝒙𝟏+𝒙𝟐−𝒙𝟑+𝒙𝟒 =𝟏
𝟐𝒙𝟏+𝟐𝒙𝟐+𝟐𝒙𝟑+𝟐𝒙𝟒=𝟏
𝟑𝒙𝟏+𝟑𝒙𝟐+𝟓𝒙𝟑+𝟑𝒙𝟒=𝟑
Bài 4 : Giải hệ phương trình sau
{ 𝒙𝟏+𝒙𝟐−𝒙𝟑+𝟐𝒙𝟒 =𝟏
𝟐𝒙𝟏+𝟑𝒙𝟐−𝟑𝒙𝟑+𝟑𝒙𝟒=𝟑
𝟑𝒙𝟏+𝟐𝒙𝟐−𝟓𝒙𝟑+𝟕𝒙𝟒=𝟓
Bài 5 : Giải hệ phương trình sau
{ 𝒙𝟏+𝟐𝒙𝟐−𝟑𝒙𝟑+𝟓𝒙𝟒 = 𝟏
𝒙𝟏+𝟑𝒙𝟐−𝒙𝟑+𝒙𝟒 =−𝟐
𝟐𝒙𝟏+𝟓𝒙𝟐−𝟒𝒙𝟑+𝟔𝒙𝟒=−𝟏
Bài 6 : Giải hệ phương trình sau
{ 𝒙𝟏+𝟐𝒙𝟐+𝒙𝟑 =𝟖
𝒙𝟐+𝟑𝒙𝟑+𝒙𝟒 =𝟏𝟓
𝟒𝒙𝟏+𝒙𝟑+𝒙𝟒 =𝟏𝟏
𝒙𝟏+𝒙𝟐+𝟓𝒙𝟒 =𝟐𝟑
Bài 7 : Giải hệ phương trình sau
{ 𝒙𝟏+𝒙𝟐+𝒙𝟑 =𝟓
𝟐𝒙𝟏+𝟑𝒙𝟐+𝟐𝒙𝟑 =𝟖
𝟑𝒙𝟐+𝟒𝒙𝟑−𝒙𝟒 =−𝟑
𝟑𝒙𝟏+𝟒𝒙𝟐−𝟓𝒙𝟑 =−𝟏𝟗
Bài 8 : Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m
{ 𝒙𝟏+𝒙𝟐−𝒙𝟑+𝒙𝟒 =−𝟏
𝒙𝟏−𝟐𝒙𝟐+𝒙𝟑−𝟐𝒙𝟒 = 𝟎
𝟕𝒙𝟏+𝟓𝒙𝟐−𝒙𝟑−𝒙𝟒 =−𝟏
𝟕𝒙𝟏+𝟒𝒙𝟐+𝟐𝒙𝟑−𝟓𝒙𝟒 = 𝒎
Bài 9 : Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m
{ 𝒙𝟏+𝟑𝒙𝟐+𝟐𝒙𝟑+𝟒𝒙𝟒 =𝟏
𝒙𝟏+𝟒𝒙𝟐+𝟒𝒙𝟑+𝟑𝒙𝟒 =𝟐
𝒙𝟏+𝟓𝒙𝟐+𝟔𝒙𝟑+𝒎𝒙𝟒 =𝟑
𝟐𝒙𝟏+𝟓𝒙𝟐+𝟐𝒙𝟑+𝟗𝒙𝟒 =𝟏
Bài 10 : Tìm m để hệ sau có nghiệm không tầm thường
{ 𝒙𝟏+𝒎𝒙𝟐+𝟐𝒙𝟑=𝟎
𝟐𝒙𝟏+𝒙𝟐+𝟑𝒙𝟑 =𝟎
𝟒𝒙𝟏−𝒙𝟐+𝟕𝒙𝟑 =𝟎
Bài 11: Tìm m để hệ chỉ có nghiệm tầm thường
{ 𝒙𝟏+𝒙𝟐+𝒎𝒙𝟑 =𝟎
𝟐𝒙𝟏+𝒙𝟐−𝒙𝟑 =𝟎
𝒙𝟏+𝟐𝒙𝟐+𝒎𝒙𝟑=𝟎
Bài 12: Giải hệ bằng quy tắc Cramer
{ 𝒙𝟏+𝟐𝒙𝟐−𝒙𝟑 =𝟏𝟐
𝟐𝒙𝟏+𝟑𝒙𝟐−𝟑𝒙𝟑=𝟒
𝟑𝒙𝟏+𝟐𝒙𝟐+𝟓𝒙𝟑 =−𝟖
Bài 13: Giải hệ bằng quy tắc Cramer
{ 𝒙𝟏+𝒙𝟐−𝟐𝒙𝟑 =𝟔
𝟐𝒙𝟏+𝟑𝒙𝟐−𝟕𝒙𝟑=𝟏𝟔
𝟓𝒙𝟏+𝟐𝒙𝟐+𝒙𝟑 =𝟏𝟔
Bài 14 : Giải hệ bằng cách dùng ma trận nghịch đảo
{ 𝟐𝒙𝟏−𝟑𝒙𝟐+𝒙𝟑 =−𝟕
𝒙𝟏+𝟒𝒙𝟐+𝟐𝒙𝟑 =−𝟏
𝒙𝟏−𝟒𝒙𝟐 =−𝟓
ĐÁP ÁN PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Định lý : Cho hệ gồm m phương trình n ẩn 𝑨𝒎𝒙𝒏 .𝑿𝒏𝒙𝟏 = 𝑩𝒎𝒙𝟏
Hệ có nghiệm đk là 𝒓(𝑨)=𝒓(𝑨𝑩)
Hệ có nghiệm duy nhất đk là 𝒓(𝑨)=𝒓(𝑨𝑩)=𝒏 ( 𝒔ố ẩ𝒏 )
Hệ có vô số nghiệm đk là 𝒓(𝑨)=𝒓(𝑨𝑩) <𝒏
Số ẩn tự do =𝒏−𝒓(𝑨)
Hệ vô nghiệm đk là 𝒓(𝑨)<𝒓(𝑨𝑩)
Phương pháp Gauss để giải hệ Phuong trình
B1 : Lập ma trận hệ số 𝑨𝑩= (𝑨|𝒄ộ𝒕 𝑩)
B2 : Đưa ma trận 𝐴𝐵 𝑣ề 𝒎𝒂 𝒕𝒓ậ𝒏 𝒃ậ𝒄 𝒕𝒉𝒂𝒏𝒈
B3 : so sánh 𝒓(𝑨)𝒗à 𝒓(𝑨𝑩) để 𝑥𝑒𝑚 ℎệ 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 ℎ𝑎𝑦 𝑘ℎô𝑛𝑔
B4 : Nếu hệ có nghiệm , từ ma trận bậc thang tìm nghiệm ngược từ dưới lên
Bài 1 : Hệ có nghiệm đk là 𝒓(𝑨)=𝒓(𝑨𝑩)=𝟐 ⇔ 𝒎=𝟓
Chú ý : * Đầu tiên ta lập ma trận hệ số 𝑨𝑩= (𝑨|𝒄ộ𝒕𝑩)
* Đưa ma trận 𝑨𝑩 𝒗ề 𝒎𝒂 𝒕𝒓ậ𝒏 𝒃ậ𝒄 𝒕𝒉𝒂𝒏𝒈
* Từ ma trận bậc thang nếu che cột B ta biết được 𝒓(𝑨),
nếu tính luôn cột B ta sẽ biết được 𝒓(𝑨𝑩)
Bài 2 : 𝒓(𝑨)=𝟑 < 𝒓(𝑨𝑩)=𝟒
KL : Hệ vô nghiệm
Chú ý : Từ ma trận bậc thang , khi che cột B ta có 𝒓(𝑨)=𝟑 ,
tính luôn cột B ta có 𝒓(𝑨𝑩)=𝟒
Bài 3 : 𝒓(𝑨)=𝟐 < 𝒓(𝑨𝑩)=𝟑
KL : Hệ vô nghiệm
Bài 4 : 𝒓(𝑨)=𝒓(𝑨𝑩)=𝟑 < 𝒏=𝟒
KL : Hệ có vô số nghiệm ( 1 ẩn tự do là 𝒙𝟑 )
Nghiệm của hệ (−𝟑𝜶; 𝜶 ; −𝟏; 𝜶 ), 𝜶 𝒕ù𝒚 ý
Chú ý : * Từ ma trận bậc thang dù che cột B hay không che cột B
Ta có 𝒓(𝑨)=𝒓(𝑨𝑩)=𝟑 ,𝒕𝒓𝒐𝒏𝒈 𝒌𝒉𝒊 𝒔ố ẩ𝒏 𝒍à 𝒏=𝟒
Số ẩn tự do =(𝒏−𝒓(𝑨)) =𝟏
* Cách biết ẩn nào là ẩn tự do :
** Từ ma trận bậc thang , mỗi hàng ta khoanh tròn phần tử
khác không đầu tiên
** Ta kiểm tra lần lượt từng cột của ma trận bậc thang, cột nào
không có dấu khoanh tròn thì ấn đó sẽ là ẩn tự do
** Nhớ cột thứ 𝒊 𝒄ủ𝒂 𝒎𝒂 𝒕𝒓ậ𝒏 𝒃ậ𝒄 𝒕𝒉𝒂𝒏𝒈 𝒕ươ𝒏𝒈 ứ𝒏𝒈 𝒗ớ𝒊 ẩ𝒏 𝒙𝒊
** Đặt các ẩn tự do là 𝜶 ,𝜷,….𝒓ồ𝒊 𝒕í𝒏𝒉 𝒄á𝒄 ẩ𝒏 𝒄ò𝒏 𝒍ạ𝒊 𝒕𝒉𝒆𝒐 𝜶 ,𝜷,…
Bài 5 : 𝒓(𝑨)=𝒓( 𝑨𝑩)=𝟐 < 𝒏=𝟒
KL : Hệ có vô số nghiệm ( 2 ẩn tự do là 𝒙𝟑 𝒗à 𝒙𝟒 )
Nghiệm của hệ (𝟕+𝟕𝜶−𝟏𝟒𝜷 ; −𝟑 − 𝟐𝜶+𝟒𝜷 ; 𝜶; 𝜷 ) 𝒗ớ𝒊 𝜶,𝜷 𝒕ù𝒚 ý
Chú ý : * số ẩn tự do =( 𝒏 − 𝒓(𝑨))=𝟐 𝒏ê𝒏 𝒉ệ 𝒄ó 𝟐 ẩ𝒏 𝒕ự 𝒅𝒐
* Từ ma trận bậc thang ta thấy cột 3 và cột 4 không có dấu khoanh
tròn ,do đó ẩn tự do là 𝒙𝟑 𝒗à 𝒙𝟒
Bài 6 : 𝒓(𝑨)= 𝒓(𝑨𝑩)=𝟒=𝒏
KL : Hệ có nghiêm duy nhất
Nghiệm của hệ ( 1; 2; 3; 4 )
Chú ý : * Do 𝒓(𝑨)=𝒓(𝑨𝑩)=𝟒=đú𝒏𝒈 𝒔ố ẩ𝒏 𝒏ê𝒏 𝒉ệ 𝒄ó 𝒏𝒈𝒉𝒊ệ𝒎 𝒅𝒖𝒚 𝒏𝒉ấ𝒕
* Từ ma trận bậc thang tìm nghiệm ngược từ dưới lên
Bài 7 : 𝒓(𝑨) = 𝒓(𝑨𝑩)=𝟒=𝒏
KL : Hệ có nghiệm duy nhất
Nghiệm của hệ ( 3; -2; 4; 13 )