BÀI TẬP PHẦN KHÔNG GIAN VECTƠ
Bài 1: 𝑉 = 𝑅3, cho 𝑢1= ( 1;1;1 ) , 𝑢2 = (1 ;2;3 ) ,𝑢3= (2 ;1;1 )
Hãy biễu diễn 𝑣 = ( 1;2;5 ) 𝑞𝑢𝑎 𝑡ổ ℎợ𝑝 𝑡𝑢𝑦ế𝑛 𝑡í𝑛ℎ 𝑢1 ,𝑢2 ,𝑢3
Bài 2: 𝑉 = 𝑅4 ,𝑐ℎ𝑜 𝑢1=(1 ;1;2;2 ) , 𝑢2=(1;2;1;1) , 𝑢3= (1;0 ;0;1 )
Hãy biễu diễn 𝑣 = ( 1;3 ;1;4 ) 𝑞𝑢𝑎 𝑡ổ ℎợ𝑝 𝑡𝑢𝑦ế𝑛 𝑡í𝑛ℎ 𝑢1 ,𝑢2 ,𝑢3
Bài 3: 𝑉 = 𝑃2[𝑥],𝑐ℎ𝑜 𝑝1(𝑥)= 𝑥2+ 𝑥 + 1 , 𝑝2(𝑥)= 𝑥 + 1 ,𝑝3(𝑥)= 2𝑥 +1
Hãy biễu diễn 𝑞(𝑥)= 3𝑥2+ 4𝑥− 1 𝑞𝑢𝑎 𝑡ổ ℎợ𝑝 𝑡𝑢𝑦ế𝑛 𝑡í𝑛ℎ 𝑝1,𝑝2,𝑝3
Bài 4: 𝑉 = 𝑃2[𝑥],𝑐ℎ𝑜 𝑝1(𝑥)= 𝑥2+ 𝑥 , 𝑝2(𝑥)= 𝑥 −1, 𝑝2(𝑥)= 𝑥2+𝑥 +1
Hãy biễu diễn 𝑞(𝑥)= 𝑥2− 3𝑥 − 2 𝑞𝑢𝑎 𝑡ổ ℎợ𝑝 𝑡𝑢𝑦ế𝑛 𝑡í𝑛ℎ 𝑝1,𝑝2,𝑝3
Bài 5: 𝑉 = 𝑅4 𝑐ℎ𝑜 ℎ𝑎𝑖 𝑡ậ𝑝 𝑀 𝑣à 𝑁
𝑀 = {𝑢1=(1;3;−1;4), 𝑢2=(3;8;−5;7),
𝑢3=(2; 9;4; 23), 𝑢4= (5; 7;2 ;6)}
𝑁 = {𝑣1=(1;−2;4;1), 𝑣2=(2;1;0;−3 )
𝑣3=(3;−6;1;4) ,𝑣4= (2;7;4;3 )}
a/ Tìm r(A) , r(B)
b/ M , N độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
Bài 6 : 𝑉 = 𝑅4
Cho 𝑀 = {( 0;1;1;1 ),(1;0;1;1 ),(1;1;0;1 ), (1;1;1;𝑚 )}
Tìm m để tập M là tập độc lập tuyến tính
Bài 7 : 𝑉 = 𝑅4
𝐶ℎ𝑜 𝑀 = {(1;1;1;1 ),(2;3;4;1 ),(3;4;6;6 ),(4;4;𝑚 + 4;𝑚 + 7 )}
Tìm m để tập M là tập phụ thuộc tuyến tính
Bài 8 : 𝑉 = 𝑃3[𝑥]
𝐶ℎ𝑜 𝑀 = {𝑥3+2𝑥2+𝑥 +1, 2𝑥3+𝑥2+3𝑥 −1,−𝑥3+4𝑥2−3𝑥 +𝑚}
Tìm m để tập M là tập độc lập tuyến tính
Bài 9 : 𝑉 = 𝑃3[𝑥]
Cho 𝑀 = {𝑥3−5𝑥2−2𝑥+3,2𝑥3−7𝑥2−7𝑥 +9,𝑥3−4𝑥2+𝑚𝑥 +4}
Tìm m để tập M là tập phụ thuộc tuyến tính
Bài 10 : Cho 3 vectơ x , y, z độc lập tuyến tính
Đặt 𝑢 = 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 , 𝑣 = 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 , 𝑤 = 𝑥+ 𝑧
CMR : u, v, w cũng độc lập tuyến tính
Bài 11: Xét xem những tập nào sau đây là 1 cơ sở của không gian 𝑅3
𝑀1={(1;2;−1),(0;3;1 )}
𝑀2= {(1;5;−6),(2;1;8),(3;−1;4), (2;1;1)}
𝑀3= {(1;2;3),(0;0;0), (3;5;7)}
𝑀4= {(1;2;3),(4;5;6), (7;8;9)}
𝑀5= {(1;2;3),(5;1;4), (2;3;5)}
Bài 12: a/ Tìm m để tập M là một cơ sở của không gian 𝑅3
𝑀 = {(2;1;0),(1;−1;2), (𝑚;3;−4) }
b/ Tìm m để tập N là một cơ sở của không gian 𝑅3
𝑁 = {(2;1;−1),(3;2;−5) , (1;−1;𝑚 ) }
Bài 13 : Trên không gian 𝑅3, 𝑐ℎ𝑜 𝑡ậ𝑝 𝑀
𝑀 = {(1;2;−1),(0;3;1),(1;5;0), (3,9,𝑚)}
a/ Tìm m để tập M là một cơ sở của không gian 𝑅3
b/ Tìm m để tập M là một tập sinh của không gian 𝑅3
Bài 14 : Trên không gian 𝑃2[𝑥] cho tập M
𝑀 = {1+𝑥 +𝑥2; 1 − 2𝑥+ 𝑥2; 2 + 3𝑥 − 𝑥2; 4 + 2𝑥 + 𝑚𝑥2}
a/ Tìm m để M là một cơ sở của không gian 𝑃2[𝑥]
b/ Tìm m để M là một tập sinh của không gian 𝑃2[𝑥]
Bài 15 : Trên không gian 𝑅3 cho hai tập M và N
𝑀 = {(1;1;1),(2;3;1) ,(3;1;0 )}
𝑁 = {(1;1;1),(2;0;1),(1;1;0), (1;−2;1)}
Kiểm tra xem M, N là tập sinh hay là cơ sở của không gian 𝑅3
Bài 16 : Trên không gian 𝑃2[𝑥] cho tập M
𝑀 = {𝑥2+ 𝑥 + 1, 2𝑥2+ 𝑥 + 1 , 𝑥2+ 2𝑥 + 2 }
Kiểm tra xem tập M là tập sinh hay là cơ sở của không gian 𝑃2[𝑥]
ĐÁP ÁN PHẦN KHÔNG GIAN VECTƠ
Cách tìm hạng của một họ vectơ 𝑴= {𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑 , …..}
B1 : 𝑳ậ𝒑 𝒎𝒂 𝒕𝒓ậ𝒏 𝑨= ( 𝒖𝟏
𝒖𝟐
𝒖𝟑 )
B2 : Tìm hạng của ma trận A
B3 : 𝒓(𝑴)=𝒓(𝑨)
B4 : 𝒓(𝑴)=𝒔ố 𝒗𝒆𝒄𝒕ơ 𝒃ê𝒏 𝒕𝒓𝒐𝒏𝒈 𝒕ậ𝒑 𝑴 𝒕𝒉ì 𝑴 Đ𝑳𝑻𝑻
𝒓(𝑴)<𝒔ố 𝒗𝒆𝒄𝒕ơ 𝒃ê𝒏 𝒕𝒓𝒐𝒏𝒈 𝒕ậ𝒑 𝑴 𝒕𝒉ì 𝑴 𝑷𝑻𝑻𝑻
Chú ý :
Có thể xếp 𝑢1, 𝑢2,𝑢3 …𝒕𝒉à𝒏𝒉 𝒄á𝒄 𝒄ộ𝒕 𝑐ủ𝑎 𝑚𝑎 𝑡𝑟ậ𝑛 𝐴 𝑐ũ𝑛𝑔 đượ𝑐
Vì ta có tính chất 𝒓(𝑨)=𝒓(𝑨𝑻)
Cần nhớ : * 𝒅𝒊𝒎(𝑹𝒏)=𝒏
Cơ sở chính tắc là 𝑬={𝒆𝟏=(𝟏,𝟎,𝟎,..),…,𝒆𝒏=(𝟎,𝟎,….𝟏)}
* 𝒅𝒊𝒎(𝑷𝒏[𝒙])=𝒏+𝟏
Cơ sở chính tắc là 𝑬={𝟏, 𝒙, 𝒙𝟐,…… 𝒙𝒏 }
* 𝒅𝒊𝒎( 𝑴𝒎𝒙𝒏 )=𝒎𝒙𝒏
Cơ sở chính tắc là 𝑬={(𝟏 ⋯ 𝟎
⋮ ⋱ ⋮
𝟎 ⋯ 𝟎) ,…..(𝟎 ⋯ 𝟎
⋮ ⋱ ⋮
𝟎 ⋯ 𝟏)}
Đk để tập M là một cơ sở của không gian vectơ V là :
{ 𝑺ố 𝒑𝒉ầ𝒏 𝒕ử 𝒕𝒓𝒐𝒏𝒈 𝒕ậ𝒑 𝑴=𝒅𝒊𝒎𝑽
𝑻ậ𝒑 𝑴 𝒍à 𝒕ậ𝒑 Đ𝑳𝑻𝑻