BÀI TẬP PHẦN KHÔNG GIAN EUCLIDE
Bài 1: 𝑉 = 𝑅3 ,
𝐶ℎ𝑜 𝑡í𝑐ℎ 𝑣ô ℎướ𝑛𝑔 (𝒙,𝒚)= 𝟓𝒙𝟏𝒚𝟏+𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒙𝟑𝒚𝟑+𝟐𝒙𝟏𝒚𝟐+𝟐𝒙𝟐𝒚𝟏 .
a/ 𝐶ℎ𝑜 𝑥 = ( 2;1;0) , 𝑦 = ( 3;−2;4 ) . 𝑇ì𝑚 (𝑥,𝑦)
b/ 𝐶ℎ𝑜 𝑥 = (3;2;1) . 𝑇ì𝑚 ‖𝑥‖
c/ 𝐶ℎ𝑜 𝑥 = (1;2;1) , 𝑦 = (3;0;2) . 𝑇ì𝑚 𝑑(𝑥,𝑦)
d/ 𝐶ℎ𝑜 𝑥 = (1;0;1), 𝑦 = (2;1;0) . 𝑇ì𝑚 𝑔ó𝑐 𝛼 ℎợ𝑝 𝑔𝑖ữ𝑎 2 𝑣𝑒𝑐𝑡ơ 𝑥 𝑣à 𝑦
Bài 2 : 𝑉 = 𝑅3 𝑣ớ𝑖 𝒕í𝒄𝒉 𝒗ô 𝒉ướ𝒏𝒈 𝒄𝒉í𝒏𝒉 𝒕ắ𝒄
Cho kg con 𝐹 = { (𝑥1,𝑥2,𝑥3) / 𝑥1+𝑥2−𝑥3= 0
2𝑥1+3𝑥2+𝑥3= 0 }
𝐵𝑖ế𝑡 𝑥 = (2;3;𝑚) , 𝑡ì𝑚 𝑚 để 𝒙 ⊥ 𝑭
Bài 3 : 𝑉 = 𝑅4 𝑣ớ𝑖 𝒕í𝒄𝒉 𝒗ô 𝒉ướ𝒏𝒈 𝒄𝒉í𝒏𝒉 𝒕ắ𝒄 ,𝑐ℎ𝑜 2 𝑘𝑔 𝑐𝑜𝑛
𝐹 = { (𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4) / 𝑥1+2𝑥2+4𝑥3−3𝑥4= 0
3𝑥1+5𝑥2+6𝑥3−4𝑥4= 0 }
𝐺 = { (𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4) / 𝑥1−𝑥2+𝑥3+𝑥4= 0
8𝑥1−6𝑥2+𝑥3= 0 }
CMR : 𝑭 ⊥ 𝑮
Bài 4 : 𝑉 = 𝑅4 𝑣ớ𝑖 𝒕í𝒄𝒉 𝒗ô 𝒉ướ𝒏𝒈 𝒄𝒉í𝒏𝒉 𝒕ắ𝒄 ,𝑐ℎ𝑜 𝑘𝑔 𝑐𝑜𝑛 𝐹
𝐹 = { (𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4) / 𝑥2+𝑥3+𝑥4= 0
𝑥1−𝑥2+𝑥3= 0 }
a/ Tìm cơ sở và chiều kg con F
b/ Tìm cơ sở và chiều kg con 𝐹⊥
Bài 5 : 𝑉 = 𝑅3 𝑣ớ𝑖 𝑡𝑖𝑐ℎ 𝑣ô ℎướ𝑛𝑔
(𝒙,𝒚)= 𝟐𝒙𝟏𝒚𝟏+𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐+𝟒𝒙𝟑𝒚𝟑−𝒙𝟏𝒚𝟐−𝒙𝟐𝒚𝟏+𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑+𝟐𝒙𝟑𝒚𝟐
Cho kg con 𝐹 = { (𝑥1,𝑥2,𝑥3)/ 𝑥1+ 𝑥2−2𝑥3 = 0 }
a/ Tìm cơ sở và chiều của kg con F
b/ Tìm cơ sở và chiều của kg con 𝐹⊥
Bài 6 : 𝑉 = 𝑅3 𝑣ớ𝑖 𝒕í𝒄𝒉 𝒗ô 𝒉ướ𝒏𝒈 𝒄𝒉í𝒏𝒉 𝒕ắ𝒄
Cho kg con 𝐹 = < 𝑓1=(1;2;1), 𝑓2=(−1;1;2)> ; 𝑧 = (2;1;8)
a/ Tìm 𝑝𝑟𝐹(𝑧)
b/ 𝑇ì𝑚 𝑑 (𝑧,𝐹)
Bài 7 : 𝑉 = 𝑅3 𝑣ớ𝑖 𝒕í𝒄𝒉 𝒗ô 𝒉ướ𝒏𝒈 (𝒙,𝒚)= 𝟐𝒙𝟏𝒚𝟏+𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒙𝟑𝒚𝟑
Cho kg con 𝐹 = { (𝑥1,𝑥2,𝑥3)/ 𝑥1+2𝑥2−2𝑥3= 0 }, 𝑧 = (1;1;2)
Tìm 𝑝𝑟𝐹(𝑧)
Bài 8 :
𝑽 = 𝑹𝟑 ,𝒄𝒉𝒐 𝒄ơ 𝒔ở 𝑬 = {𝒆𝟏=(𝟏,𝟏 ,𝟏 ), 𝒆𝟐=(𝟏,𝟏,𝟐 ), 𝒆𝟑=(𝟏 ,𝟐 ,𝟏 )}
Hãy trực chuẩn cơ sở E bằng phương pháp trực giao hóa Gram-smidth
ĐÁP ÁN PHẦN KHÔNG GIAN EUCLIDE
Bài 1: Nhớ phải dùng tích vô hướng của đề bài cho nhé !
a/ ( 𝒙,𝒚 )=𝟐𝟐
b/ ‖𝒙‖= √(𝒙,𝒙) = √𝟖𝟐
c/ 𝒅(𝒙,𝒚)= ‖𝒙 − 𝒚 ‖=√𝟏𝟕
d/ 𝒄𝒐𝒔𝜶 = (𝒙,𝒚)
‖𝒙‖ ‖𝒚‖= 𝟏𝟐
√𝟏𝟖𝟔
Chú ý : Nếu đề bài không cho trước tích vô hướng thì ta mặc định
được dùng tích vô hướng chính tắc
(𝒙,𝒚)= 𝒙𝟏𝒚𝟏+𝒙𝟐𝒚𝟐+⋯+𝒙𝒏𝒚𝒏
ĐN phần bù vuông góc
𝑭⊥= { 𝒙 ∈ 𝑭 𝒕𝒉ỏ𝒂 𝒎ã𝒏 𝒙 ⊥ 𝑭 }
Tính chất : 𝒅𝒊𝒎 𝑭 + 𝒅𝒊𝒎 𝑭⊥= 𝒅𝒊𝒎 𝑽
Vectơ vuông góc với một kg con
Kg con 𝑭 = < 𝒇𝟏,𝒇𝟐,….,𝒇𝒏>
𝒙 ⊥ 𝑭 ⇔ 𝒙 ⊥ 𝒇𝟏,𝒇𝟐,…,𝒇𝒏
Hai không gian con vuông góc với nhau
Kg con 𝑭 = < 𝒇𝟏,𝒇𝟐,….,𝒇𝒏>
Kg con 𝑮 = < 𝒈𝟏,𝒈,….,𝒈𝒎>
𝑭 ⊥ 𝑮 ⇔ 𝒇𝟏,𝒇𝟐,…,𝒇𝒏⊥ 𝒈𝟏,𝒈𝟐,…,𝒈𝒎
Bài 2:
Lấy 𝒙 ∈ 𝑭 , 𝒕𝒂 𝒄ó 𝒙 𝒕𝒉ỏ𝒂 𝒎ã𝒏 𝟐 𝒑𝒉ươ𝒏𝒈 𝒕𝒓ì𝒏𝒉,𝒈𝒊ả𝒊 𝒉ệ 𝒏à𝒚 𝒕𝒂 đượ𝒄
𝒙 = (𝟒 𝒙𝟑,−𝟑𝒙𝟑,𝒙𝟑 ) , 𝒙𝟑 𝒕ù𝒚 ý
Cơ sở của kg con F là : { 𝒇 = (𝟒;−𝟑;𝟏) }
𝒙 ⊥ 𝑭 ⇒ (𝒙,𝒇)= 𝟎
KL : m=1
Bài 3:
𝑳ấ𝒚 𝒙 ∈ 𝑭 ⇒ 𝒙 = ( 𝟖𝒙𝟑−𝟕𝒙𝟒,−𝟔𝒙𝟑+𝟓𝒙𝟒, 𝒙𝟑, 𝒙𝟒 )
Cơ sở của kg con F là : {𝒇𝟏=(𝟖;−𝟔;𝟏;𝟎) , 𝒇𝟐=(−𝟕;𝟓;𝟎;𝟏) }
𝑳ấ𝒚 𝒙 ∈ 𝑮 ⇒ 𝒙 = ( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐,−𝟖𝒙𝟏+𝟔𝒙𝟐,𝟕𝒙𝟏−𝟓𝒙𝟐 )
Cơ sở của kg con G là : {𝒈𝟏=(𝟏;𝟎;−𝟖;𝟕), 𝒈𝟐=(𝟎;𝟏;𝟔;−𝟓) }
𝑻𝒂 𝒄ó ∶ (𝒇𝟏,𝒈𝟏)=(𝒇𝟏,𝒈𝟐)=(𝒇𝟐,𝒈𝟏)=(𝒇𝟐,𝒈𝟐)= 𝟎
KL : 𝑭 ⊥ 𝑮
Bài 4:
B1: x∈ 𝑭 ⇒ 𝒙 = (𝒙𝟐−𝒙𝟑 , 𝒙𝟐 , 𝒙𝟑,−𝒙𝟐−𝒙𝟑 )
Cơ sở của kg con F là : { 𝒇𝟏=(𝟏;𝟏;𝟎;−𝟏) , 𝒇𝟐 = (−𝟏;𝟎;𝟏;−𝟏) }
B2: Lấy 𝒙 ∈ 𝑭⊥⇒ 𝒙 ⊥ 𝑭 ⇒ 𝒙 ⊥ 𝒇𝟏 ,𝒇𝟐
Vậy ta có (𝒙,𝒇𝟏 )= 𝟎 𝒗à (𝒙,𝒇𝟐)= 𝟎
⇒ { 𝒙𝟏+𝒙𝟐−𝒙𝟒= 𝟎
−𝒙𝟏+𝒙𝟑−𝒙𝟒= 𝟎
Vậy 𝒙 ∈ 𝑭⊥ 𝒕𝒂 𝒄ó 𝒙 = ( 𝒙𝟏,−𝒙𝟏+𝒙𝟒, 𝒙𝟏+𝒙𝟒, 𝒙𝟒)