zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Chương 4: Trị riêng – Dạng toàn phương

Chia sẻ: Đặng Quỳnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Báo xấu

73
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Chương 4: Trị riêng – Dạng toàn phương bao gồm những nội dung về trị riêng và vector riêng; dạng toàn phương trên Rn. Đây là tài liệu hữu ích dành cho các bạn chuyên ngành Toán học và những bạn quan tâm tới lĩnh vực này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chương 4: Trị riêng – Dạng toàn phương

Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương CHƯƠNG 4. TRỊ RIÊNG –DẠNG TOÀN PHƯƠNG 1. Trị riêng và vector riêng n 2. Dạng toàn phương trên R ----------------------------------------- 1
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương 1. Trị riêng và vector riêng 1.1. Các định nghĩa • Số thực λ được gọi là một trị riêng của A ∈ M n ( ℝ ) nếu ∃x ∈ ℝn \ { θ} : A x  = λ x  , (1) E E trong đó x  chỉ tọa độ của vector x theo cơ sở chính E n tắc E của ℝ . 2
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương • Vector x ∈ ℝn \ { θ} thỏa (1) được gọi là một vector riêng của A tương ứng với trị riêng λ . 4 −2 VD 1. Cho A =  . 1 1  • λ = 3 là một trị riêng của A ; x = (2;1) là vector riêng của A tương ứng với trị riêng λ = 3 . • λ = 1 là một trị riêng của A ; x = (1;1) là vector riêng của A tương ứng với trị riêng λ = 1. 3
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương 0 0 1   VD 2. λ = −1 là một trị riêng của A = 0 1 0,   1 0 0 vector riêng tương ứng là x = (−1; 0; 1). 4
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương • Cho A ∈ M n ( ℝ ). Đa thức đặc trưng của A , ký hiệu là PA (λ), được xác định bởi PA (λ) = A − λI n . (2) • PA (λ) = 0 được gọi là phương trình đặc trưng. −1 1 VD 3. Tìm đa thức đặc trưng của A =  .  3 4 5
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương VD 4. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận  2 −1 −1   A = −1 2 −1.   −1 −1 2  Mệnh đề. Cho A ∈ M n ( ℝ ). Khi đó, ∗ λ là trị riêng của A ⇔ PA λ ( ) = 0. ∗ 6
7
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương 1.2. Phương pháp tìm trị riêng và vector riêng Bước 1. Tìm đa thức đặc trưng PA (λ ). Bước 2. Giải PA (λ) = 0 để tìm trị riêng của A . Bước 3. Giải hệ phương trình: (A − λI n ) x  E = θ  E . Nghiệm không tầm thường của hệ này là vector riêng của A ứng với trị riêng λ . 8
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương VD 5. Tìm trị riêng và vector riêng của ma trận −3 1 −1   A = −7 5 −1.   −6 6 −2 VD 6. Tìm trị riêng và vector riêng của ma trận 4 2 − 1    B = −6 −4 3 .   −6 −6 5  9
10
11
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương Mệnh đề. Cho λ là một trị riêng của A ∈ M n ( ℝ ). Khi đó, tập hợp { E (λ ) = x ∈ ℝn : A x  = λ x  E E } (3) là một không gian vector con của ℝn . Ta nói E (λ ) là không gian riêng của A tương ứng với trị riêng λ . 12
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương VD 7. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian riêng ứng với các trị riêng của ma trận 4 2 − 1     C = −6 −4 3 .    −6 −6 5  13
14
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương 2. Dạng toàn phương 2.1. Các khái niệm về dạng toàn phương n • Dạng toàn phương (DTP) trên ℝ là một ánh xạ n q : ℝ → ℝ được xác định bởi n 2 q( ) ∑ x1, x2 ,..., xn = aii xi + ∑ 2aij xi x j . i =1 i
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương VD 8. Ánh xạ q(x1, x2 ) = 2x12 + 3x22 − 4x1x2 là dạng 2 toàn phương trên ℝ . VD 9. Ánh xạ 2 2 2 q(x ) = 2x1 + 3x2 − x 3 + 2x1x2 + 6x2x 3 − 10x1x 3 3 với x = (x1, x2 , x 3 ) , là dạng toàn phương trên ℝ . 16
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương • Nếu giả sử aji = aij với j > i , thì a a ... a1n   11 12  a a22 ... a2n  A =  21   ... ... ... ...    an 1 an 2 ... ann  được gọi là ma trận của dạng toàn phương q . 17
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương VD 10. Tìm ma trận của dạng toàn phương 2 2 q( ) x1, x2 = x1 − x2 + 2x1x2 . VD 11. Tìm ma trận của dạng toàn phương 2 2 2 q( ) x1, x2 , x 3 = 2x1 + x2 − x 3 + 2x1x2 − x1x 3 . • Nếu A là ma trận của dạng toàn phương q thì T n     q(x ) = x  A x  , ∀x ∈ ℝ . E E 18
19
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương n • Giả sử trong ℝ , ta có một cơ sở B . Khi đó, với mọi n x ∈ ℝ , vì x  = PE →B x  , nên E B T q(x ) = ( x  B) AB x  , B trong đó T AB = (PE →B ) APE →B . Ta gọi AB là ma trận của dạng toàn phương trong cơ sở B . 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.