Bài giảng Chương 3: Các quy luật phân phối xác suất thông dụng

Chương 3

CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

§1. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

VÍ DỤ MỞ ĐẦU

TUNG MỘT XÚC XẮC 4 LẦN TÍNH XÁC SUẤT ĐỂ MẶT 6 XUẤT HIỆN 3 LẦN

DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI

Dãy n phép thử được gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu thỏa mãn các điều kiện sau: • n phép thử độc lập A • Mỗi phép thử có 2 kết cục A, • Xác suất để biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử là như nhau và bằng p

DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI Bài toán Gọi X là số lần biến cố A xảy ra trong n phép thử. Tính xác suất P(X = k) (k=0,1,2,…,n)

Gọi Ai là biến cố “biến cố A xảy ra trong phép thử thứ i”  Để dễ hình dung vấn đề, ta xét

trường hợp n = 3

 Đặt q = 1 – p

q p

q 1A

q p

DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI

1A



VÍ DỤ

 P(X 2) P A A A



3

2

1

2

3

1

2

3  P A A A



1

2

3

2

3

2

3

 

 A A A   P A A A 1

 

A A A   P A A A 1 (Áp dụng công thức cộng cho các biến cố



1

2

3

1

2 xungkhắctừngđôi)   P(A )P(A )P A

 P(A )P A P(A ) 3



1

2





  P A P(A )P(A ) 3 (Áp dụng công thức nhân cho các biến cố

độclập)

PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

P(X=2) = 3p2 (1 – p) Tổng quát





P(X k) C p (1 p)  k k n k n

ĐỊNH NGHĨA

X B(n,p) :

, nếu tập các giá



Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức với tham số n, p (0 < p < 1 , n là số nguyên dương) , ký hiệu là trị có thể có của X là {0, 1, 2, …, n} với xác suất tương ứng P(X k) C p (1 p)  k k n k n

 k = 0, 1, …, n

PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

thì

X B(n,p)

(q = 1 – p)

Định lý : Nếu (a) E(X) = np (b) Var(X) = npq (c) £ (n 1)p 1 Mod(X)

+ (n 1)p

PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

Ví dụ 1 Một bài trắc nghiệm của một game show trên truyền hình có 6 câu hỏi, mỗi câu có 5 phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án trả làm bài trắc lời đúng. Một người nghiệm này bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 trong 5 phương án trả lời cho mọi câu hỏi. Tính xác suất để người này trả lời đúng ít nhất 3 câu.

PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

Ví dụ 2 Một cửa hàng có 5 lô sản phẩm. Mỗi lô có 10 sản phẩm trong đó có 9 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên từ mỗi lô ra 3 sản phẩm. Nếu lô hàng nào có 3 sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm tốt thì mua lô hàng đó. Tính xác suất để có đúng 4 lô hàng được mua.

PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

Ví dụ 3 Một bài trắc nghiệm có 10 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án trả lời đúng. Một sinh viên làm bài trắc nghiệm này bằng cách chọn ngẫu nhiên một trong 4 phương án trả lời cho mọi câu hỏi. Biết rằng mỗi câu trả lời đúng được 2 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm. Tính xác suất để sinh viên này được 14 điểm.

PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

Ví dụ 4 Một phân xưởng có 50 máy hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để mỗi máy bị hỏng trong một ca sản xuất là 0,09 a) Tính xác suất để trong một ca sản xuất có trên 90% máy không bị hỏng. b) Tìm số máy bị hỏng trung bình và số máy bị hỏng tin chắc nhất trong một ca sản xuất.

§2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

Ví dụ mở đầu Một lô hàng có 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng này ra 3 sản phẩm. Tính xác suất để trong 3 sản phẩm được lấy ra có 2 sản phẩm tốt

Định nghĩa

X H(N, M,n)

- n k - N M

Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối siêu bội với tham số N, M, n (N, M, n ∈ N và 0 < M < N , 0 < n < N) , ký hiệu là , nếu tập hợp các giá trị có thể có của X là các số tự nhiên k thỏa mãn - max{0;n (N M)} k min{n, M} với xác suất tương ứng = = P(X k)

k C .C M n C N

§2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

thì Định lý : Nếu

X H(N, M,n)

( ; q = 1 – p)

p

=

 E(X) = np M N Var(X)

=

npq



- N n - N 1

§2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

Ví dụ Một lô hàng có 10 sản trong đó có 8 sản phẩm, phẩm tốt và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô hàng này. Gọi X là số sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm được lấy ra.

§2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

 Quy luật phân phối xác suất của X được biểu thị bởi bảng

X

P

0 1 45

1 16 45

2 28 45

VÍ DỤ

E(X)

=

2. =

1, 6

8 10

Var(X) = 0,28444

§2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

Ví dụ Một lô hàng có 100 sản trong đó có 90 sản phẩm, phẩm tốt. Lấy ngẫu nhiên 15 sản phẩm từ lô hàng này. Tìm số sản phẩm tốt trung bình và phương sai của số sản phẩm tốt trong 15 sản phẩm được lấy ra.

§2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

►Sử dụng hàm trong Excel

X H(N, M,n)

Để tính P(X = x), ta dùng

=HYPGEOMDIST(x,n,M,N)

X H(10, 8, 2)

Ví dụ: =HYPGEOMDIST(1, 2, 8, 10) cho

0,356

» 0.355556 ; P(X = 1)

§2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

B(n,p) với

khi

=

p

Ta có thể xấp xỉ phân phối H(N,M,n) bởi phân phối n N

M N

0, 05

<

khá nhỏ. Xấp xỉ khá tốt khi n N

§2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

Ví dụ

X H (100, 80, 4)

Ta tính P(X=3)

= HYPGEOMDIST(3, 4, 80, 100)

cho 0.419053 = BINOMDIST(3, 4, 0.8, 0) cho 0.4096

§3. PHÂN PHỐI POISSON

sao cho

n ® ¥

Định lý (Giới hạn Poisson) p

0®

  np



k

Nếu vẫn là hằng số thì với và mọi số nguyên không âm k ta có:

e

 n k





k k lim C p (1 p) n  n

 k !

ĐỊNH NGHĨA

( > 0), ký hiệu là

X P:

Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số   ( ) nếu tập các giá trị có thể có của X là {0, 1, 2, …} (tập các số tự nhiên N) với xác suất tương ứng

k

k = 0, 1, 2, …

 P(X k)



e

  k !

§3. PHÂN PHỐI POISSON

( )

Định lý Nếu thì

(a) E(X) =

X P: 

 1 Mod(X)

 

§3. PHÂN PHỐI POISSON

Ví dụ Mỗi chuyến xe người ta chở được 1250 chai dược phẩm. Xác suất để một chai bị vỡ khi vận chuyển là 0,004. Tính xác suất để có ít nhất 2 chai bị vỡ khi vận chuyển.

§3. PHÂN PHỐI POISSON

Gọi X là số chai dược phẩm bị vỡ khi vận chuyển.

X B(1250; 0, 004)

 Ta xem  Vì n = 1250 khá lớn, p = 0,004 khá

nhỏ, np = 5, ta có thể xấp xỉ X P(5)

 Xác suất cần tìm

P(X 2) = 1 - P(X < 2) = 0, 959572



NHẬN XÉT

►Nếu dùng

=BINOMDIST(1,1250,0.004,1)

cho 0.040158



Khi đó

  P(X 2) 1 0, 040158 = 0, 959842

§3. PHÂN PHỐI POISSON Ví dụ Một công ty dịch vụ qua điện thoại (hoạt động thường trực) nhận được trung bình 300 lần gọi đến trong một giờ. a) Tìm xác suất để công ty đó nhận được đúng 1 lần gọi đến trong 1 phút cho trước. b) Tìm xác suất để công ty đó nhận được đúng 5 lần gọi trong 3 phút. c) Tìm xác suất để trong 3 phút liên tiếp, mỗi phút công ty đó nhận được ít nhất một lần gọi đến.

§4. PHÂN PHỐI CHUẨN

1. ĐỊNH NGHĨA 2. ĐỊNH LÝ 3. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT ĐỂ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN X CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN NHẬN GIÁ TRỊ THUỘC KHOẢNG (a, b)

NHẬN XÉT

X B(60; 0, 3)

1. ĐỊNH NGHĨA

2σ

 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối chuẩn với hai tham số

nếu hàm mật độ của X là

và

m

2 (x



 ) 2

1

2



f (x)



e



m



 2 là hằng số,

là hằng số

X N( ,

2 )m s

:

trong đó dương.  Ký hiệu:

NHẬN XÉT (1/2)

ta nói

X N(0,1)

: Trường hợp X có phân phối chuẩn chuẩn hóa.  Đồ thị y = f(x) nhận đường thẳng làm trục đối xứng, trục

x = m hoành là tiệm cận ngang.  Điểm cực đại của đồ thị là

1 æ ç mç , ç è

ö ÷ ÷ ÷ ø

s

2 p

NHẬN XÉT (2/2)

 Hoành độ của hai điểm uốn

m- s m+ s ,

lần lượt là

2





1  (x ) 2  2

e

 dx 1





2





2 thì

2 (a) (b) (c)

2. ĐỊNH LÝ m s ) : X N( , Nếu E(X) = m Var(X) = s Mod(X) = m y

m

m+ s

m- s

2 : X N(

m s ,

)

b



1

3. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT  Giả sử  Theo tính chất của hàm mật độ 2  (x ) 2  2

P(a X b)





e

dx

 

2



a

 Đặt

x

t



  

3. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

 Áp dụng công thức đổi biến số ta

được

b

a

P(a X b)



 

 

  

  

  

  

  

2 x



1 t 2

Trong đó   (x)

dt

e

2

 

0



 

Các tính chất đơn giản

  ( x)  Khi x > 4 thì

(x)    

(x)

(4)

0, 5

PHÂN PHỐI CHUẨN





trong

ở

Ví dụ Lợi nhuận của một nhà đầu tư là đại lượng có phân phối = 500 chuẩn với trung bình = 15 (đơn và độ lệch chuẩn vị tính: triệu đồng). Tính xác suất để lợi nhuận của nhà đầu khoảng tư này (485; 530)

Bài giảng Chương 3: Các quy luật phân phối xác suất thông dụng