Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
CHƯƠNG 4. TRỊ RIÊNG –DẠNG TOÀN
PHƯƠNG
1. Trị riêng và vector riêng 2. Dạng toàn phương trên Rn
-----------------------------------------
1
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
1. Trị riêng và vector riêng
1.1. Các định nghĩa
ℝ
A M ∈
(
)
n
• Số thực λ được gọi là một trị riêng của
n
θ
λ
nếu
ℝ \ { } :
x ∃ ∈
=
A x
x
E
E
, (1)
x
E
trong đó chỉ tọa độ của vector x theo cơ sở chính
2
tắc E của ℝn .
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
x
• Vector
thỏa (1) được gọi là một vector
n θ ∈ ℝ \ { }
riêng của A tương ứng với trị riêng λ.
A
VD 1. Cho
.
4 1
=
2 − 1
•
3
x
là vector riêng
λ = là một trị riêng của A;
•
x
là vector riêng
của A tương ứng với trị riêng 1λ = là một trị riêng của A;
3
của A tương ứng với trị riêng
)2 1= ; ( λ = . 3 )1 1= ; ( 1λ = .
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
1
VD 2.
,
A
λ = − là một trị riêng của
0 0 1 0 1 0 = 1 0 0
vector riêng tương ứng là
.
x
( = − ;
1 0 1 ) ;
4
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
ℝ
• Cho
. Đa thức đặc trưng của A , ký hiệu
A M ∈
)
n
là
( )
( AP λ , được xác định bởi
.
(2)
λ I
A = −
( )λ
P A
n
•
0
được gọi là phương trình đặc trưng.
λ = ( )
AP
1 1
VD 3. Tìm đa thức đặc trưng của
.
A
4
− = 3
5
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
VD 4. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận
2 1
A
.
1
= − 1 − −
1 1 − − 1 2 − 2
Mệnh đề. Cho
. Khi đó,
A M∈
)ℝ
n
( λ∗ là trị riêng của A ⇔ (
) AP λ∗ = 0.
6
7
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
1.2. Phương pháp tìm trị riêng và vector riêng
Bước 1. Tìm đa thức đặc trưng
.
( )λ
AP
0
Bước 2. Giải
để tìm trị riêng của A .
λ = ( )
AP
Bước 3. Giải hệ phương trình:
θ
.
λ I
−
=
( A
)n
x
E
E
Nghiệm không tầm thường của hệ này là vector riêng của A ứng với trị riêng λ.
8
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
3 1 7 5
A
VD 5. Tìm trị riêng và vector riêng của ma trận
6 6
−
− = − −
1 − 1 − 2
.
VD 6. Tìm trị riêng và vector riêng của ma trận
B
2 4 6
4 6 = − − 6 − −
1 − 3 . 5
9
10
11
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
Mệnh đề. Cho λ là một trị riêng của
. Khi
(
)ℝ
A M ∈ n
đó, tập hợp
λ
(3)
E
ℝ :n
=
λ ( )
{ x = ∈
}
A x
x
E
E
là một không gian vector con của ℝn .
Ta nói
( )E λ là không gian riêng của A tương ứng với
trị riêng λ.
12
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
VD 7. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian riêng
2
4
C
ứng với các trị riêng của ma trận
4 6
6 = − − 6 − −
1 − 3 5
13
.
14
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
2. Dạng toàn phương
2.1. Các khái niệm về dạng toàn phương
ℝ
q
• Dạng toàn phương (DTP) trên ℝn là một ánh xạ
:
n →ℝ
,
,...,
=
+
2
( q x x 1
)
x n
2 a x x . i ij
j
n 2 ∑ a x i ii 1 i =
∑ j i <
15
được xác định bởi
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
3 x
,
VD 8. Ánh xạ
=
+
−
2
2 2 x 1
2 2
4 x x là dạng 1 2
)
( q x x 1 2ℝ .
toàn phương trên
VD 9. Ánh xạ
10
3 x
=
+
+
−
2 2 x 1
2 2
2 x − + 3
2 x x 1 2
6 x x 2 3
x x 1 3
( ) q x
với
3ℝ .
x
,
2
3
( x x x , là dạng toàn phương trên = , 1
)
16
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
a
i , thì
• Nếu giả sử =ji
a với >j ij
...
a 12 a
...
A
... ...
1
2
a 11 a 21 = ... a n
22 ... a n
a 1 n a 2 n ... a nn
được gọi là ma trận của dạng toàn phương q.
17
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
VD 10. Tìm ma trận của dạng toàn phương
,
x
= − +
2
2 x 1
2 2
2 x x . 1 2
( q x x 1
)
VD 11. Tìm ma trận của dạng toàn phương
,
x
x
=
+ − +
−
2
3
2 2 x 1
2 x x 1 2
x x . 1 3
2 2
2 3
( q x x x , 1
)
• Nếu A là ma trận của dạng toàn phương q thì
n
ℝ
,
.
=
x ∀ ∈
( ) q x
x A x E
E
T
18
19
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương • Giả sử trong ℝn , ta có một cơ sở B . Khi đó, với mọi
P
x
=
∈ ℝn
x
x→ E B
E
B
, vì , nên
( ) q x
)T
( x =
A x B
B
B
,
trong đó
AP
=
( P
A B
T )→ E B
E B →
20
.
Ta gọi BA là ma trận của dạng toàn phương trong cơ sở B .
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
VD 12. Tìm ma trận của dạng toàn phương
2
2 3 x 1
2 2
( q x x 1
)
B
trong cơ sở
.
=
u 2
1 ( ; = −
1 ) ,
( = −
{ u 1
2 3 } ) ;
21
, 4 x = + + 2 x x 1 2
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
• Nếu trong ℝn , tồn tại một cơ sở B mà ma trận của
dạng toàn phương q trong cơ sở này có dạng
,
λ λ ( , 2 1
)
λ n
thì ta nói q được đưa về dạng chính tắc.
22
diag ,..., = A B
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
2.2. Thuật toán chéo hóa trực giao
trên ℝn có ma trận của DTP là
Cho DTP ( q x 1
)
x ,..., n
về dạng chính tắc thì ta thực
A . Để đưa ( q x 1
)
x ,..., n
hiện các bước sau:
Bước 1. Tìm trị riêng
λ và cơ sở j
jB cho các không
gian riêng
.
j
,...,
k
= 1
)jE λ , (
23
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
∪
Bước 2. Đặt
.
B
∪ ∪...
,...,
=
B B = 1
2
{ u u , 2 1
}
B k
u n
Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt cơ sở
B
{ u = 1
}
u ,..., n
thành cơ sở trực chuẩn
.
S
{ w = 1
}
w ,..., n
Bước 3. Đặt
thì P là ma trận trực giao.
Dùng phép đổi biến
thì ta nhận được
P P →= E S x
E
E
dạng chính tắc
= P y
.
2 y 1 1
( g y 1
)
2 y n n
24
λ λ ,..., = ... + + y n
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
VD 13. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc
bằng thuật toán biến đổi trực giao
,
3 x
.
= −
+
2
2 2
4 x x 1 2
( q x x 1
)
VD 14. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc
bằng thuật toán biến đổi trực giao
12
,
.
9 x
9 x
=
+
+
−
+
2
3
2 5 x 1
2 2
2 3
x x 1 2
6 x x 1 3
( q x x x , 1
)
25
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
2.3. Thuật toán Lagrange
Xét dạng toàn phương
2 q a x 11 1
= + ... + + + 2 a x x 1 1 n n
26
. + + ... + + 2 a x x 12 1 2 2 a x 22 2 2 a x x 23 2 3 ... 2 a x nn n
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
• Đối với nhóm các hạng tử chứa x1, ta biến đổi
2 a x 11 1
2
2
...
=
+
a 11
2 x 1
x x 1 2
x x 1 n
na + + 1 a
a 12 a 11
11
+ + +... 2 a x x 12 1 2 2 a x x 1 1 n n
(
)
2
2
n
n
.
x
x
=
+
... + +
−
... + +
a 11
x 1
2
2
x n
x n
a 1 a
a 12 a
a 12 a 11
11
11
a 1 a 11
)
(
(
)
27
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
x
thì
+ +...
• Đặt = + y 1
x 1
2
a 12 a
na x1 n a
11
11
=
+
2 q a y 11 1
1, q
trong đó q1 là dạng toàn phương chỉ lệ thuộc vào −n 1
biến x2, x3, ..., nx .
• Tiếp tục khử số hạng x2, ....
28
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
VD 15. Đưa dạng toàn phương
2 x
,
+
+
2
3
2 x = + 1
2 2
2 x x 1 2
4 x x 2 3
( , q x x x 1
)
về dạng chính tắc.
29
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
Chú ý 1. Trong trường hợp hệ số
0, nghĩa là
=a11
không có thừa số x
2 1 trong q, thì ta gom các số hạng
chứa x2 trước ...
VD 16. Đưa dạng toàn phương
4 x
+
2 q x = + 1
2 2
2 x + − 3
4 x x 1 2
2 x x 2 3
về dạng chính tắc.
30
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
a
0, nghĩa là không
Chú ý 2. Nếu =
... = =
=
a 11
22
a nn
có số hạng
thì ta xét một số hạng tích
2 x x , 1
2 2
2 x ,..., n
chéo, chẳng hạn x x1 2, và dùng ẩn phụ
2
y 2 y 2
= + y x 1 1 = − y x 1
thế vào biểu thức của q thì
x x 1 2
2 y = − 1
2 2 , tiếp tục y
thực hiện như bước trước.
31
Chương 4 – Trị riêng – Dạng toàn phương
VD 17. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc
.
+
−
q x x = 1 2
3 x x 1 3
8 x x 2 3
--------- Hết chương -----------
32
