Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
CHAPTER
Cơ học kỹ thuật: ĐỘNG HỌC
Engineering Mechanics: KINEMATICS
3
Động học vật rắn phẳng
Nguyễn Quang Hoàng
Bộ môn Cơ học ứng dụng
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-2-
Nội dung
Định nghĩa, ví dụ, mô hình
Các đặc trưng động học của vật rắn chuyển động phẳng
Vận tốc và gia tốc các điểm thuộc vật
• Phân tích chuyển động tuyệt đối • Phân tích chuyển động tương đối • Định lý hình chiếu vận tốc
Tâm vận tốc tức thời / phân bố vận tốc Truyền động hành tinh, vi sai phẳng
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-3-
• Vận tốc và gia tốc điểm cực • Vận tốc góc và gia tốc góc của vật rắn chuyển động phẳng
1. Định nghĩa, ví dụ, mô hình
Địnhnghĩa. Chuyển động của vật rắn là chuyển động phẳng, nếu mỗi điểm thuộc vật chỉ chuyển động trong một mặt phẳng xác định song song với một mặt phẳng qui chiếu cố định.
Ví dụ
B
D
C
C
A
A
B
1. Chuyển động tịnh tiến (thẳng hoặc cong) trong mặt phẳng, 2. Chuyển động quay quanh trục cố định, 3. Chuyển động phẳng tổng quát [chuyển động song phẳng]
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
1
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-4-
[hay chuyển
1. Định nghĩa, ví dụ, mô hình 1. CĐ tịnh tiến trong mặt phẳng, 2. CĐ quay quanh trục cố định, 3. CĐ phẳng tổng quát động song phẳng]
Ví dụ về chuyển động phẳng tổng quát [hay chuyển động song phẳng]
B
C
A
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-5-
1. Định nghĩa, ví dụ, mô hình
Mô hình khảo sát
B
y
M
S
y
A
A x
N
x
Chuyển động phẳng của hình phẳng S
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-6-
Mặt phẳng qui chiếu
2. Khảo sát chuyển động của toàn vật
Chuyển động song phẳng hay chuyển động phẳng tổng quát (general planar motion) là tổng hợp của chuyển động tịnh tiến trong mặt phẳng và chuyển động quay quanh trục vuông góc với mặt phẳng đó.
y1
y2
x2
II
B1
y0
I
I’
A
A1
x1
yA
1B
B
A
O
x0
xA
)
)
,
,
Các thông số định vị: [thông số xác định vị trí của vật] Ar j , (
x y j ( A
A
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
2
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-7-
2. Khảo sát chuyển động của toàn vật
Phương trình chuyển động
y1
y
=
y t
( ),
A
y2
x2
y0
x A j
= =
x t ( ), j t ( )
A
x1
Lưu ý rằng, ba thông số trên có thể độc lập hoặc phụ thuộc nhau.
yA
Các đặc trưng động học
O
x0
xA
( )},
{
A
=
,
w
=
j
( ), x t y t A j e z
{
( )},
t ( ) a
,
=
a
=
j
v A w a A
x t y t ( ), A
A
e j z
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-8-
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body 3. Chuyển động của điểm thuộc vật: phân tích CĐ tuyệt đối
x t y t ( ),
tj ( ), ( )
Cho biết
A
A
A
B
y0 y1 B yB x2 y2 A x1 yA
Xác định chuyển động của điểm B thuộc tấm. Tọa độ của B trong hệ Ax2y2 gắn liền tấm (, ) = const. Từ hình vẽ ta tính được vị trí của B trong hệ cố định x x y y
j h - + h j
cos sin
sin cos
+ +
= =
j j
x x
B
A
sin
)
B
A
x y
= =
x y
j x + - ( + j x ( cos
j h - - j h
cos j j sin )
2
=
A + - j x (
sin
- j h
cos
j
)
+
- (
x
cos
j
+
h
j sin )
j 2
=
+
( cos j x
- j h
j sin )
+
j
- (
x
sin
- j h
cos
j
)
B x A y A
x B y B
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-9-
O x0 xB xA
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body 3. Chuyển động của điểm thuộc vật: phân tích CĐ tuyệt đối
A
B
Trình bày dạng ma trận: + j h - + + h j
cos sin
= =
x y
x y
x x
sin cos
j j
B
A
B
A
=
+
x y
x y
j j
cos sin
- sin cos
B
A
é ê ê ê ë
ù ú ú ú û
ù é j x ú ê ú ê j h ú ê û ë
ù ú ú ú û
y0 y1 B yB x2 y2 A x1 yA
=
+
ù ú ú ú û
O
é ê ê ê ë ( ) A
j
u
x0
r B
é ê ê ê ë r A
xB xA
A uj ( )
r B
= + r A
A
A
=
d dt
cos sin
j j
- -
é sin j - ê j = ê cos j ê ë
ù ú ú ú û
A uj ( )
r B
= + r A
2
A
j
j
=
+
c s
c s
s j j
j j
j j
j c j
- -
s -
é - ê ê c ê ë
ù ú ú ú û
é - ê ê - ê ë
ù ú ú ú û
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
3
-10-
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body 3. Chuyển động của điểm thuộc vật: phân tích CĐ tuyệt đối
Trường hợp vị trí của B trên tấm được cho bởi khoảng cách = AB và góc .
Vị trí điểm B trong hệ cố định
A
:
r B
x y
+ +
r r
cos( j j sin(
+ +
) b b )
A
ìï = x ï B í ï = y ïî B
y0 y1 B yB x2 y2 A x1 yA
=
=
-
sin(
j
+
b
)
B
A
Bx
:
v B
=
=
+
+
x y
x y
rj rj
cos(
j
b
)
B
A
By
2
=
=
-
+
sin(
cos(
)
rj
j
+ - ) b
rj
j
b
Bx
:
2
a B
=
=
+
+
rj
cos(
j
+ - ) b
rj
sin(
j
b
)
x B y B
x A y A
By
ìï v ï í ï v ïî ìï a ïïí ï a ïïî
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-11-
O xB x0 xA
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body 3. Chuyển động của điểm thuộc vật: phân tích CĐ tuyệt đối
y0
xA
R
Ví dụ, đĩa tròn bán kính R lăn không trượt trên đường ngang, biết luật chuyển động xA(t). Xác định chuyển động của điểm B. Ban đầu B trùng gốc O.
A
yA
Tọa độ điểm B trong hệ cố định
B
x
=
x
-
R
sin
j
B
O
x0
y
A = -
R R
cos
j
B
P xA và phụ thuộc nhau
Do đĩa lăn không trượt
-
R
sin[
]
x
=
x
=
OP
=
PB
=
j R t ( )
B
A
-
cos[
A x t R ( ) /
y
x t R ( ) / ) ]
A
j ( ) t
=
x t R ( ) /
A
B
x t ( ) A ( R = 1 v a , B B
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-12-
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body 3. Chuyển động của điểm thuộc vật: phân tích CĐ tương đối
2.1 Vận tốc một điểm bất kỳ thuộc vật rắn
P
u
Pr
A
y
Định lý 1. Nếu biết vận tốc góc và vận tốc một điểm A nào đó thuộc vật rắn đó, thì vận tốc một điểm P bất kỳ thuộc vật rắn B được xác định bởi hệ thức sau
O
Ar x
u
v P
w = ´
u
v = + ´ A , = + v A
w v PA
v PA
Chính là vận tốc của P trong chuyển động quay quanh A
Chứng minh. Đạo hàm quan hệ vị trí theo thời gian ta suy ra:
R dr P
R dr A
= +
u
=
+
w
u
r P
r A
v = + ´ A
v P
dt
dt
R du dt
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
4
-13-
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body 3. Chuyển động của điểm thuộc vật: phân tích CĐ tương đối
u
Pv
v P
w = ´
Av
v PA
v = + ´ A , = + v A
w v PA
PAv
P
Lưu ý, đối với chuyển động song phẳng
u w ^
u
u
Av
w
nằm trong mặt phẳng tấm
u
PAv
A
w= ´ u ^
u ⋅ =
u u + ´ ⋅ = ⋅ )
w
u
v P
v ( A
v A
= hc v u P
hc v u A
Hệ quả. Định lý hình chiếu vận tốc. Hình chiếu vận tốc hai điểm trên đường nối hai điểm đó luôn bằng nhau.
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-14-
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body 3. Chuyển động của điểm thuộc vật: phân tích CĐ tương đối
2.2 Gia tốc một điểm bất kỳ thuộc vật
P
u
Pr
A
y
u = + ´ + ´ ´
a
w
w
u
Định lý 2. Nếu biết vận tốc góc, gia tốc góc của vật rắn B và gia tốc một điểm A nào đó thì gia tốc một điểm P bất kỳ thuộc vật, thuộc vật rắn B được xác định bởi hệ thức
(
)
a P
a A
O
Ar x
R dv P
R dv A
u
u
´ + ´
+
=
w
R d dt
dt
dt
R w d dt Theo định nghĩa vận tốc góc và gia tốc góc ta suy ra công thức trên.
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-15-
Chứng minh. Đạo hàm quan hệ vận tốc theo thời gian ta suy ra:
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body 3. Chuyển động của điểm thuộc vật: phân tích CĐ tương đối
t
P
PAa
u = + ´ + ´ ´
w
w
u
(
)
a P
n
a
u
PAa
+
a A = + a A
a t a PA
n a PA
A
Aa
+
=
a PA
t a PA
n a PA
Chính là gia tốc của P trong chuyển động quay quanh A.
Chiều quay gia tốc góc ngược chiều kim đồng hồ
P
t
Lưu ý, đối với chuyển động song phẳng
PAa
n
,
a
u
PAa
A
Aa
u u
2 u
w = ´ ´ = -
w
= ´ ^ u (
)
w a ^ u t a a PA n w a PA
Chiều quay gia tốc góc cùng chiều kim đồng hồ
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
5
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-16-
4. Tâm vận tốc tức thời (instantaneous center of velocity)
Điểm P thuộc hình phẳng tại thời điểm khảo sát có vận tốc bằng 0 được gọi là tâm vận tốc tức thời.
PAv
Cho biết
, hãy tìm P
,Av w
t
Quay vA 90 chiều được At,
w
P Pv
Trên At lấy P sao cho AP = vA/
Av
Điểm P sẽ có vận tốc bằng 0.
v P
= + v A
v PA
= - =
0
v P
= + v A
v PA
v A
v A
w
v PA
u v = ´ = - A
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-17-
A
4. Tâm vận tốc tức thời - Phân bố vận tốc
=
w
0
Pv =
=
v P v M
0 = + v P
v MP
v MP
uw = ´ PM
Mv
v
=
w
u
= ⋅ w
PM
M
PM
P
Av
Vận tốc các điểm giống hệt như vật đang quay tức thời quanh trục qua P, vuông góc với tấm
Kv
Bv
Av
B
A
=0
Nếu = 0: - Tấm tịnh tiến tức thời. - Tâm vận tốc tức thời ở xa vô cùng. - Vận tốc các điểm tại thời điểm này là
như nhau.
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
A
-18- 4. Tâm vận tốc tức thời - Thực hành xác định tâm vận tốc tức thời
Av Av
Cv
phương Bv
v
PB
/
/
PA v
B
A
r
/Cv
Av
Av
(e)
(d)
B
Bv
P
A
P
AB
Bv
v
v
v
v
A
B
v
v
v
v
A
B
B PA PB
A BA
B PA PB
A BA
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
6
(b) (a) A B C (c) P P P C Cv
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-19- 4. Tâm vận tốc tức thời -Thực hành xác định tâm vận tốc tức thời
Bv
=0
Bv
Av
P
Av
B
P
B
A
(h)
=0
A
(g)
P
P
P
B
B
A
A
C
C
O
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-20-
B
vC C
Ví dụ 1. Đĩa tròn tâm C bán kính R lăn không trượt trên đường thẳng ngang. Biết tâm C có vận tốc vC. Hãy xác định vận tốc các điểm A, B và D trên vành đĩa.
A D
v
v
v
A
w =
=
=
=
B = PA PB
D PD
v C PC
v C R
v
=
w
PA
=
A
v 2 C
v
=
w
PB
=
w
B
v
=
w
PD
=
D
v 2 C v 2 C
Lời giải Xác định tâm vận tốc tức thời (đĩa lăn không trượt trên nền cố định) ==> P P B vB vA vC C A D vD
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-21-
P
Ví dụ 2.
1
,w a 0 0
O
A
C 2
Tại thời điểm khảo sát tay quay OA có vận tốc góc 0 và gia tốc góc 0. Bánh 2 bán kính r lăn không trượt trong bánh 1 bán kính R. Xác định vận tốc, gia tốc các điểm B và C thuộc bánh 2.
B
O
=
OA
w
( = - R r
w )
0
0
0w
Av
Lời giải Phân tích chuyển động. Xác định tâm VTTT của bánh 2. P=B Tính vận tốc Điểm A thuộc OA nên
2
C
)
A
=
=
w
w
2
0
vA
B
Av BA BC
=
=
w
- R r
w )
Cv
2
0
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
7
vC Vận tốc góc bánh 2 ( R r - r 2(
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-22-
Ví dụ 2. (tiếp)
n
O
Aa
,
t
a
t = + a A = - ( R r
n a A a )
,
a
= - ( R r
w )
a A t A
n A
0
2 0
2a 2
Aa
A
n
Tính gia tốc: Đã biết vận tốc góc 2 Gia tốc điểm A (A thuộc OA)
t
BAa
B
BAa
)
)
()
w
=
w
a
2
0
= a 2
0
R r ( - r
d dt
R r ( - r
Biểu thức liên hệ vận tốc góc đúng với mọi thời điểm
a
,
r
w
=
a
r
n BA
a 2
+
a B
= + a A
t a BA
n a BA
a
2 2 = - R r (
w )
t BA + r
w
2 0
= 2 2
B
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-23-
Tính gia tốc các điểm B
Ví dụ 2. (tiếp)
+
O
n
= + a A
t a CA
a C
Aa
t
=
r
w
,
=
r
n a CA
2 2
t a CA
a 2
2a
2
Aa C
A
n
= - ( R r
-
r
w
CAa
t
= - ( R r
w )
-
r
a Cx a Cy
t = - a A n = - a A
n a CA t a CA
a ) 0 2 0
2 2 a 2
B
CAa
=
+
=
...
a C
2 a Cx
2 a Cy
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-24-
Tính gia tốc các điểm C n a CA
Ví dụ 3. Cơ cấu tay quay con trượt Cơ cấu tay quay con trượt OAB tại thời điểm khảo sát có vị trí (OA vuông góc AB, OA tạo với phương ngang góc 60). Biết rằng tay quay OA quay với vận tốc góc = const.
A
l
r
a) Xác định tâm vận tốc tức thời của thanh AB. b) Tính và vẽ ra vận tốc các điểm A và B, vận
0
60o
B
O
tốc góc thanh AB. c) Tính gia tốc điểm B.
Lời giải
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
8
Phân tích chuyển động Các vật thuộc hệ chuyển động như thế nào? chuyển động nào đã biết?
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-25-
Ví dụ 3. Cơ cấu tay quay con trượt
P
AB
Tính toán vận tốc (sử dụng pp tâm vận tốc tức thời) Xác định tâm VTTT của thanh AB
3l
l
r= 3
PA
=
l 3 ,
PB
=
l 2
2l
Tính các khoảng cách
Vận tốc góc thanh AB
vA
A
v
v
A
l
r
w = AB
B = PA PB
60o
B
0 O
r w=
Av
0
vB
2
r
w
w
v
=
PB
=
r
w
=
w
=
w
B
AB
0
AB
0
0
1 3
3
l 3
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-26-
Ví dụ 3. Cơ cấu tay quay con trượt
v B
= + v A
v BA
v
A / cos 30
...
=
cos 30 v = B v v = B
A
v
v
tan 30
AB
w
...
=
=
=
/ B A
A
/ B A
w
v
tan 30 /
AB
...
=
=
A
/ B A
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-27-
Cách khác: sử dụng quan hệ vận tốc hai điểm B và A vA A l r vA 60o 0 O vB B vBA
Ví dụ 3. Cơ cấu tay quay con trượt
+
-
w
AB
(*)
a B
= + a A
t a BA
n a BA
= + a A
t a BA
2 AB
Giải bài toán gia tốc: sử dụng quan hệ gia tốc hai điểm B và A
=
w
,
A O r (
,
)
n a A
2 0
BA
w
w
B (
A l ,
)
2 AB
2 AB
, AB AB ,
= - a
=
´
^ (
AB
,
a
l
),
a A n a BA t a BA
AB
AB
a B
BA
a
cos 30
= =
a
a
a
/ cos 30
=
...
B
n BA
B
n BA
A l aA an 60o B 0 O aB at Chiếu phương trình véc tơ (*) trên BA
a
sin 30
= + a
a
B
A
t BA
a
a
...
a
=
=
=
AB
= -
a
a
a
sin 30
t BA AB
t BA l
A
B
t BA
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
9
Chiếu phương trình véc tơ (*) trên AO
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-28-
Ví dụ 4. Cơ cấu 4 khâu bản lề
B
A
45
O1
O
Cơ cấu 4 khâu bản lề OABO1 tại thời điểm khảo sát có vị trí như hình vẽ (OA thẳng đứng, AB nằm ngang). Biết OA = r, AB = l. Biết rằng tại thời điểm khảo sát tay quay O1B có vận tốc góc 0, còn gia tốc góc của nó bằng không.
Xác định vận tốc góc, gia tốc góc thanh OA
Lời giải
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-29-
Phân tích chuyển động Các vật thuộc hệ chuyển động như thế nào? chuyển động nào đã biết?
Ví dụ 4. Cơ cấu 4 khâu bản lề
P
Giải bài toán vận tốc: PP tâm VTTT Vẽ tâm vận tốc tức thời của AB Tính các khoảng cách
B
A
OA r
=
,
= AB l
,
Av
= PA AB l PB l =
=
,
2,
Bv
45
O1
O B r
=
2
O
1
=
=
=
w
w
w
r 2
v
/
PB r
/
l
v
0
B
0
B
=
=
w
AB w
v
PA r
=
=
A w
0 w
AB v OA / A
OA
0
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-30-
Tính toán vận tốc
Ví dụ 4.
t
ABa
t
B
A
Aa
n
n
Ba
ABa
n
+
Tính toán gia tốc = + a a A B t n a + = + a A A
t a + AB n a B
n a AB t a AB
n a AB
Aa
45
O1
O
...,
...,
=
=
a
a
...
Các véc tơ gia tốc đã biết n = a B
n AB
n A
Các phương trình hình chiếu
...
0
:
a
a
a
...
t = a A a
=
a OA /
=
OA
t A
0
0
n AB sin 45
:
t n A B - = + a
a
-
a
- + = n A
cos 45 t AB
+ n B
/
...
t = a AB a
=
a
AB
=
AB
... t AB
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
10
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-31-
5. Truyền động hành tinh - vi sai phẳng
Hai trục O và A cố định
0z
1z
1w
2w
2w
1w
0w
2 1 O A
Trục O cố định, trục A di động (do thanh OA quay quanh O).
O A
0w
0w
1w
Bánh 1 cố định: bộ truyền hành tinh
Bánh 1 quay: bộ truyền hành tinh-vi sai
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-32-
1 1 O O A A 2 2
Ví dụ 5. Cơ cấu hành tinh - vi sai phẳng: pp tâm vận tốc tức thời
0z
1z
1w
2w
0w
v
=
,
v
w )
K
r 1
w 1
A
= + r ( 1
r 2
0
v
-
v
+
w )
-
A
K
r ( 1
r 2
0
r 1
w 1
=
=
w 2
0w
r 2
r 2
1w
,
w
=
...,
M Banh
" Î
2
v A
v M
2
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng – Planar Kinematics of a Rigid Body
-33-
O A Tay quay OA của bộ truyền bánh răng vi sai có vận tốc góc 0 rad/s và gia tốc góc 0 rad/s2. Bánh răng 1 có vận tốc góc 1 và gia tốc góc 1 với chiều được biểu thị trên hình vẽ. Biết các bán kính r1 và r2. Hãy tìm vận tốc góc và gia tốc góc của bánh răng 2 và vận tốc, gia tốc của điểm M. HD Xác định tâm VTTT bánh 2 nhờ vận tốc hai điểm: A và điểm tiếp xúc giữa bánh 1 và 2. vK 1 vA O A P 2 M
Tóm tắt nội dung chương
Định nghĩa, ví dụ, mô hình
Các đặc trưng động học vật rắn phẳng
• Phân tích chuyển động tuyệt đối • Phân tích chuyển động tương đối • Định lý hình chiếu vận tốc
Tâm vận tốc tức thời / phân bố vận tốc Truyền động hành tinh, vi sai phẳng
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
11
• Vận tốc và gia tốc điểm cực; • Vận tốc góc và gia tốc góc hình phẳng Vận tốc và gia tốc các điểm thuộc vật
Chương 3. Động học vật rắn phẳng– Planar Kinematics of a Rigid Body
CHAPTER
Cơ học kỹ thuật: ĐỘNG HỌC
Engineering Mechanics: KINEMATICS
3
Bài toán động học cơ cấu phẳng
Nguyễn Quang Hoàng
Bộ môn Cơ học ứng dụng
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng– Planar Kinematics of a Rigid Body
-2-
Nội dung
6. BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC CƠ CẤU PHẲNG
Tọa độ suy rộng - Phương trình liên kết - Bậc tự do
Giải bài toán động học dựa trên các ptlk
• Thông số định vị - tọa độ suy rộng • Các ràng buộc - phương trình liên kết • Bậc tự do
Các ví dụ
• Trình tự giải
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng– Planar Kinematics of a Rigid Body
-3-
• Bài toán động học cơ cấu tay quay-con trượt • Bài toán động học cơ cấu bốn khâu bản lề • Bài toán động học cơ cấu cu lít (về nhanh)
1. Tọa độ suy rộng - Phương trình liên kết - Bậc tự do • Tọa độ suy rộng là bộ các thông số đủ để xác định vị trí của cơ hệ, khi
,
y
y
x y ( , ) C C
y
O
x (
)
y , M M
L
yM
yC
M
C
A
x
x
O
xM
x
O
xC
,
x y ( , ) A
A
Vị trí của điểm trong mặt phẳng
Mô tả vị trí của vật rắn phẳng
A
x y
L L
cos sin
A
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
1
biết bộ thông số này vị trí của hệ hoàn toàn được xác định. • Tọa độ suy rộng độc lập là những tọa độ vị trí không chịu những ràng buộc động học.
Chương 3. Động học vật rắn phẳng– Planar Kinematics of a Rigid Body
-4-
1. Tọa độ suy rộng - Phương trình liên kết - Bậc tự do
x
G
• Số bậc tự do f (dof = degrees of freedom): là số lượng tối thiểu các tọa độ suy rộng độc lập đủ để mô tả hoàn toàn cấu hình của một vật hoặc hệ vật.
r
• Liên kết động học là những ràng buộc hình học đặt lên chuyển động của các điểm thuộc vật (thuộc hệ).
P
Đĩa lăn không trượt
x y ( ,
n
3
, )
0
const
2
c
x y
r r
0
x r y r
f
n c
2
1
3
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng– Planar Kinematics of a Rigid Body
-5-
• Phương trình liên kết là những biểu thức (phương trình) toán học mô tả những liên kết động học ở dạng tọa độ vị trí.
1. Tọa độ suy rộng - Phương trình liên kết - Bậc tự do
3
2
O
x3
Tính bậc tự do của hệ vật rắn phẳng:
r2
r3
R3
• Con lăn lăn không trượt • Dây không giãn
x1
P
x
,
,
,
4
n
x 3 3
2
1
Chọn 4 thông số định vị
const
r x r x 1 2 2 1 2 2 ( R r R r r ) ( 2 2 3 3 3 3
3
const ) r 2 2
3
x
const
Các ràng buộc (phương trình liên kết): c = 3 • Dây không giãn
3
R 3 3
x 3
R 3 3
• Lăn không trượt
f
n c
3
1
4
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng– Planar Kinematics of a Rigid Body
-6-
Số bậc tự do:
1. Tọa độ suy rộng - Phương trình liên kết - Bậc tự do
x
x1
x2
Thanh cứng
k2
k1
k
m1
m1
m2
m2
1
f
2
f
x2
y
O
O
A
r
R
g
B
3
n
),
x
x1
c
2
r
1
f
2
( , ),
x 2
1
( , x f
x x , 2 1 , R 2 3 n c
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
2
Chương 3. Động học vật rắn phẳng– Planar Kinematics of a Rigid Body
-7-
1. Tọa độ suy rộng - Phương trình liên kết - Bậc tự do
A
l
r
O
B
x
x , ),
n
3
),
,
,
( , c 2,
f
n c
1
( 2 3 f c 2,
n n c
3 1
1
cos
2
0
3
r r
cos sin
l l
cos sin
x 0
cos sin
l l
cos sin
l l
l 1 l 1
1 1
2
2 2
3
l 3 sin 3
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-8-
Cơ cấu bốn khâu bản lề Cơ cấu tay quay con trượt B l2 A l3 2 l1 3 1 l0 O C
Chương 3. Động học vật rắn phẳng– Planar Kinematics of a Rigid Body 2. Giải bài toán động học dựa trên các phương trình liên kết
A
l
r
Cho kích thước hệ. Biết chuyển động của tay quay OA
,
t ( )
O
B
x
Tìm chuyển động của thanh AB và con trượt B
?? ,
, x
x
. x
, , ,
Các bước thực hiện:
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng– Planar Kinematics of a Rigid Body
-9-
1. Vẽ các tọa độ suy rộng xác định vị trí các vật thuộc hệ. 2. Xác định số bậc tự do của hệ và chọn tọa độ suy rộng độc lập. 3. Viết các phương trình liên kết về vị trí. Đối với cơ cấu ta vẽ các chuỗi véc tơ khép kín, sau đó chiếu lên các trục tọa độ - Giải bài toán vị trí. 4. Đạo hàm bậc nhất và bậc hai theo thời gian phương trình liên kết để nhận được phương trình cho báo toán vận tốc và gia tốc.
Bài toán động học cơ cấu tay quay-con trượt
const
t ( )
0
A
l
r
?? ,
, x
x
. x
Cho kích thước hệ: r, L. Biết chuyển động của tay quay OA ,
O
B
x
Tìm chuyển động của thanh AB và con trượt B , , , Hướng dẫn giải
x
r r
cos sin
l l
cos sin
x 0
l l
cos sin
r r
cos sin
Viết các phương trình liên kết OA AB OB
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
3
Biết , giải hai hệ cho ta x,
Chương 3. Động học vật rắn phẳng– Planar Kinematics of a Rigid Body
-10-
Bài toán động học cơ cấu tay quay-con trượt
x
l l
cos sin
r r
cos sin
()
d dt
x
,
r l
cos cos
sin cos
l l
r sin , r cos
x
sin
sin
r
l
1 0
l l
sin cos
x
r sin r cos
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng– Planar Kinematics of a Rigid Body
-11-
Bài toán vận tốc. Đạo hàm theo thời gian các PTLK vị trí cho ta
Bài toán động học cơ cấu tay quay-con trượt
x
sin cos
l l
r sin , r cos
()
d dt
2
x
sin
l
cos
l
sin
2
2 2
l
cos
l
sin
r r cos , r r cos
sin
,
0
2
....
1 0
l l
sin cos
2
cos sin
2 cos 2 sin
r l r sin cos l r r
x
x
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng– Planar Kinematics of a Rigid Body
-12-
Bài toán gia tốc. Đạo hàm theo thời gian các PTLK vận tốc
Bài toán động học cơ cấu bốn khâu bản lề
const
t ( )
0
1
1
1
??
,
,
,
,
.
, 3 2
2
2
3
3
cos
2
0
3
OA AB OC CB
cos sin
l l
cos sin
l l
l 1 l 1
1 1
2
2 2
3
l 3 sin 3
2
3
1
B l2 A Cho kích thước các khâu : L0, L1, L2, L3. Biết chuyển động của tay quay OA , 1 l3 2 l1 3 Tìm chuyển động của các thanh AB và CB: 1 O C l0 Hướng dẫn giải Viết các phương trình liên kết
l l
cos sin
l l
cos sin
l 1 sin
2
2 2
3
3 3
l 0 l 1
cos 1
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
4
Biết 1 giải được 2 và 3
Chương 3. Động học vật rắn phẳng– Planar Kinematics of a Rigid Body
-13-
Bài toán động học cơ cấu bốn khâu bản lề
2
3
1
l l
cos sin
l l
cos sin
l 1 sin
2
2 2
3
3 3
l 0 l 1
cos 1
()
d dt
l
1
l sin 2 l cos
sin 3 cos
sin cos
2 2 l 2 2
2
3
3 3 3 3
l 1 l 1
, 1 1 1 1
...
l l
sin 2 cos
sin cos
sin cos
l 3 l
2
2 2
3
3
l 1 l 1
1 1 1 1
2 3
2 3 3
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng– Planar Kinematics of a Rigid Body
-14-
Bài toán vận tốc. Đạo hàm theo thời gian các PTLK vị trí cho ta
Bài toán động học cơ cấu bốn khâu bản lề
l
0
, 1
1
l sin 2 l cos
sin 3 cos
sin cos
2 2 l 2 2
2
3 3 3 3
l 1 l 1
, 1 1 1 1
3
sin
l
sin
l
cos
l
cos
sin
cos
l l
2 cos
l
3 cos
l
2 sin
l
3 sin
cos
sin
2
2 2 2 2
3
3 3 3 3
2
2 2 2 2 2 2
3
2 3 3 2 3 3
l 1 l 1
1 1 1 1
l 1 l 1
2 , 1 1 2 1 1
Bài toán gia tốc. Đạo hàm theo thời gian các PTLK vận tốc
2 cos
3 cos
2 l
3 l
2
3
1
2 1 1 2 1 1
2
2 2 2 2 2 2
3
2 3 3 2 3 3
l l
sin 2 cos
sin cos
l 3 l
sin cos
cos sin
cos sin
2 l
3 l
cos sin
l
2
2 2
3
3
l 1 l 1
l 1 1 1 l 1 1 1
2 l 1 1 2 1 1
2 2 2 2 2 2
2
2 3 3 2 3 3
3
2 3 3
...
2 3
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng– Planar Kinematics of a Rigid Body
-15-
sin l sin l sin cos l cos l cos , l l l cos sin sin sin . 2 2 2 2 3 3 1 l 3 3 1 1 1 1 l 1 l 1
Bài toán động học cơ cấu cu lít (về nhanh)
B
A
const
,
t ( )
0
r
O
u
h
, . u u u
?? ,
,
Cho kích thước các khâu : r = OA và h = OD. Biết chuyển động của tay quay OA: (t)
Tìm chuyển động lắc của thanh DB và chuyển động tương đối của con trượt A trên DB: , ,
D
Hướng dẫn giải
u u
sin cos
r r
cos( sin(
0 h
1 ) 2 1 ) 2
Viết các phương trình liên kết OD DA OA
.. ..
u
u u
sin cos
cos
h
r sin r
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
5
hay
Chương 3. Động học vật rắn phẳng– Planar Kinematics of a Rigid Body
-16-
Bài toán động học cơ cấu cu lít (về nhanh)
PTLK vị trí
u u
sin cos
cos
h
r sin r
()
d dt
PTLK vận tốc
u u
sin cos
u u
cos sin
r r
cos sin
, 1
sin cos
cos sin
u cos u sin
u
r r
1
sin cos
cos sin
u cos u sin
u
r r
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng– Planar Kinematics of a Rigid Body
-17-
0
,
sin cos
cos sin
cos sin
u u
u u
r r
Bài toán vận tốc. Đạo hàm theo thời gian các PTLK vị trí cho ta
Bài toán động học cơ cấu cu lít (về nhanh)
, 1
sin
u
cos
r
cos
r
cos
,
u u
cos
u
sin
r
sin
r
cos
u cos 2 sin u 2
2 2
sin
u
cos
r
cos
r
cos
u u
cos
u
sin
r
sin
r
cos
2 2
u cos 2 u sin 2
sin cos
u cos u sin
cos sin
r r
cos cos
2 2
u
r r
u cos 2 u 2 sin
...
u
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động học vật rắn phẳng– Planar Kinematics of a Rigid Body
-18-
Bài toán gia tốc. Đạo hàm theo thời gian các PTLK vận tốc
Tóm tắt nội dung
Tọa độ suy rộng - Phương trình liên kết - Bậc tự do
Giải bài toán động học dựa trên các ptlk
• Thông số định vị - tọa độ suy rộng • Các ràng buộc - phương trình liên kết • Bậc tự do
Các ví dụ
• Trình tự giải
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
6
• Bài toán động học cơ cấu tay quay-con trượt • Bài toán động học cơ cấu bốn khâu bản lề • Bài toán động học cơ cấu cu lít (về nhanh)
