Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
Cơ học kỹ thuật: TĨNH HỌC
Engineering Mechanics: STATICS
Chương
5
Trọng tâm vật rắn
Nguyễn Quang Hoàng
Bộ môn Cơ học ứng dụng
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-2-
Nội dung
• Trọng tâm của hệ chất điểm • Trọng tâm của vật rắn
Công thức xác định Trọng tâm của các vật rắn đồng chất Trọng tâm của các vật rắn đồng chất đối xứng Trọng tâm của các vật ghép
• Các công thức Pappus và Guldinus • Xác định trọng tâm bằng thực nghiệm
Phương pháp vẽ xác định trọng tâm của tấm phẳng
dạng chữ L.
Phương pháp treo vật - phương pháp đường dọi. Phương pháp cân.
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-3-
Mở đầu
b c
?Qmax
G
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
1
P ?Wmax A B a
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-4-
Trọng tâm của hệ chất điểm
Từ điều kiện tương đương về mô men đối với các trục, ta nhận được công thức
n
W
W k
1
Gz
n
n
)
)
k m W ( y
m W ( y k
x W G
x W k k
1
1
k
k
Gx
Gy
n
n
z Wn G W1 W2 O y
)
)
m W ( x
m W ( x k
y W G
y W k k
k
k
1
1
Quay hệ cùng với hệ trục tọa độ 90o quanh trục x hoặc y
n
n
)
)
m W ( x
m W ( x k
z W G
1
W z k k 1
k
k Công thức xác định vị trí trọng tâm G
,
,
x
z
Gz
G
y G
G
x W k k W k
y W k k W k
z W k k W k
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-5-
x y W1 G W2 Wn z O Gx x
Trọng tâm của vật rắn: công thức xác định
Trọng lượng của vật
z
dV
W dW mg
G = C
dW
W
Vị trí trọng tâm của vật
z
m W x W m dW
(
)
(
)
xdW
y
G
y
Gz
O
y
x
Gx
y
Gy
1 x W xdW G
x
x
xdW
ydW
zdW
,
,
G
y G
z G
1 W
1 W
1 W
Khi gia tốc trọng trường g = const, trọng tâm G và khối tâm C của vật trùng nhau.
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-6-
Trọng tâm của các vật rắn đồng chất
Đối với vật thể đồng chất dạng khối
2
dW g dm g
dV
,
g
[m/ s ],
3 [kg/ m ]
V
g
const,
const
z
G dV
z
x
Trọng tâm của vật thể đồng chất dạng khối (3D)
y
,
,
x
xdV
ydV
z
zdV
G
y G
G
V
V
V
1 V
1 V
1 V
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
2
O y x
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-7-
Trọng tâm của các vật rắn đồng chất
Đối với vật thể đồng chất dạng tấm vỏ
dW g dm g 2
g
[m/ s ],
dA , 2 [kg/ m ]
z
z A dA
x
Đối với vật thể dạng tấm (vỏ) bề dày không đổi (phẳng, cong)
y
x
, ydA z
zdA
G
, xdA y G
G
A
A
A
1 A
1 A
1 A
Đối với vật thể dạng thanh (dây) diện tích mặt cắt không đổi (phẳng, cong)
z
y x z L dL
x
x
zdL
G
, xdL y G
, ydL z G
y
L
L
L
1 L
1 L
1 L
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-8-
y x
Trọng tâm của các vật rắn đồng chất
Đối với tấm phẳng (2D)
y
Cy y
x
, xdA
ydA
C
y C
A
A
1 A
1 A
C dA
x
Cx
Đối với vật thể dạng thanh (dây) diện tích mặt cắt không đổi (phẳng)
x
xds
yds
,
C
y C
L
L
1 L
1 L
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-9-
O x
Trọng tâm của các vật rắn đồng chất đối xứng
1. Nếu vật rắn có một mặt phẳng (trục hoặc điểm) đối xứng, thì trọng tâm của vật nằm trên mặt phẳng (trục hoặc điểm) đối xứng đó.
2. Nếu vật có một số mặt phẳng (trục) đối xứng, trọng tâm của vật rắn nằm trên giao của các mặt phẳng (trục) đối xứng đó.
y
O
x
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
3
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-10-
Xác định trọng tâm bằng công thức tích phân
y B
Ví dụ. Xác định trọng tâm của dây cung tròn bán kính R, góc mở 2α.
a
L
a
O C x
Lời giải Dựng hệ Oxy, x là trục đối xứng yC = 0. Chọn phân tố chiều dài dL (xác định bởi , d)
a
= dL Rd
j ,
L
=
Rd
j
=
a 2
R
ò
a
-
R A
x R =
cos
j
dL
a
a
cos
x
=
xdL
=
R
j j Rd
=
R
C
dj j
ò
ò
-
a
sin a
1 L
1 L
y B
x
Trường hợp nửa đường tròn α = π/2
=
R 2 /
< Rp
Cx
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-11-
O x R A
Xác định trọng tâm bằng công thức tích phân
y
Ví dụ. Xác định trọng tâm của tấm hình quạt bán kính R, góc mở 2α.
A O x R
Lời giải Dựng hệ Oxy, x là trục đối xứng yC = 0. Chọn phân tố diện tích dA dạng tam giác, (xác định bởi , d)
dA
=
RRd
j
=
2 R d
j ,
= x
R
cos
j
1 2
1 2
2 3
a
2
A
=
dA
=
⋅ R Rd
j
=
a
R
1 2
ò
ò
-
a
dj j
a
a x
=
xdA
=
R
j
RRd
j
cos
Cx
2 3
1 2
ò
a
-
1 A
1 A
a
=
R
2 3
ò sin a
=
R 4 / 3
p
Trh nửa đĩa tròn, α = π/2
Cx
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-12-
y A dA O x R
Xác định trọng tâm bằng công thức tích phân
Trọng tâm của tấm phẳng xác định bởi hai hàm y1(x) và y2(x)
y y2 = f2(x)
y
1. Xác định miền giới hạn của tấm y1(x) = y2(x) x1 & x2
x
2. Chọn phân tố diện tích dạng hình chữ nhật ở vị trí x và có bề rộng dx
-
,
x
=
x y ,
=
+
( )]
= dA f x [ ( ) 2
f x dx ( )] 1
f x [ ( ) 2
f x 1
1 2
x
2
3. Tính các tích phân
A
= ò
dA
=
-
f x [ ( ) 2
f x dx ( )] 1
ò
x
1
x
2
=
- 1 A
ò
xdA
ò
xdA
=
-
x C
x f x [ ( ) 2
f x dx ( )] 1
ò
x
1
x
2
1
ò
ydA
=
+
-
=
- A
ò
ydA
f x [ ( ) 2
f x 1
f x ( )][ ( ) 2
f x dx ( )] 1
1 2
y C
ò
x
1
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
4
d A y1 = f1(x) dx O x x1 x2
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-13-
Xác định trọng tâm bằng công thức tích phân
Ví dụ: Xác định diện tích và trọng tâm của tấm phẳng cho trên hình bên.
HD
y y = 9– x2
2
= - 9
x
,
=
0
f x ( ) 2
f x ( ) 1
9 m
2
dA
= - (9
2 x dx )
x ,
=
x
y ,
=
y
=
(9
-
x
)
1 2
1 2
3
2
A
= ò
dA
=
(9
-
2 x dx )
=
18 m
ò
0
3
y
(9
1,125 m
x
xdA
x
2 ) x dx
C
0
O x 3 m y y = 9– x2 dA 9 m C
3
2
x
(9
)(9
5, 4 m
ydA
x
2 ) x dx
y C
1 20
1 A 1 A
1 A 1 A
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-14-
dx O x 3
Xác định trọng tâm bằng công thức tích phân
Ví dụ. Xác định vị trí trọng tâm tấm phẳng rộng 2a cao h, đường bao là parabol.
HD.
Dựng hệ Oxy, với trục y là trục đối xứng: xC = 0.
Chọn phân tố diện tích dA song song trục x,
dA = 2x dy.
Khoảng cách từ phân tố đến trục x xác định từ phương trình của parabol
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-15-
Xác định trọng tâm bằng công thức tích phân
ydA
=
y C
Cần tính yC theo công thức
dA
ò ò
h
A
=
dA
=
xdy 2
=
2
dy
= ⋅ 2
=
ah
ò
ò
ò
0
2 h a y h
2 3
2 3 a y h
4 3
0
h
h
2
ydA
=
2
y
dy
= ⋅ 2
=
ah
ò
ò
0
2 a y h
2 5
2 5 a y h
4 5
0
Thay vào công thức tính yC cho ta kết qủa
ydA
=
=
h
y C
3 5
dA
ò ò
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
5
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-16-
Trọng tâm của vật ghép – composite bodies
Nếu vật rắn được ghép từ nhiều phần, trọng tâm của nó được xác định theo
z
x
,
,
G
y G
z G
x W k k W k
y W k k W k
z W k k W k
G1 G3 G2
,
W x y z , , k
k
k
k
trọng lượng và tọa độ trọng tâm của phần ghép thứ k.
O y x
Lưu ý:
,
,
1. Đối với vật rắn đồng chất:
W V A L k k
k
k
2. Phần khuyết nằm trong vật có thể coi như có trọng lượng âm.
3. Nếu các Gk nằm trên một đường (mặt) thì G nằm trên đường (mặt) đó.
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-17-
Trọng tâm của vật ghép – composite bodies
W V k k
W k
V k k
W A k
k
W k
A k k
W L k k
W k
L k k
x
x
,
,
G
G
x
x
,
,
x
G
G
L k
x
x
,
,
G
G
,
,
y G
y G
,
,
y G
y G
,
,
y G
y G
z
z
G
G
z
z
z
x V k k V k y V k k V k z V k k V k
x V k k k V k k y V k k k V k k z V k k k V k k
G
G
z
z
G
G
x A k k k A k k y A k k k A k k z A k k k A k k
x A k k A k y A k k A k z A k k A k
x L k k L k y L k k L k z L k k L k
k k L k k y L k k k L k k L k k L k
k k
iG
1G
2G
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-18-
Vật ghép đồng chất dạng khối 3D Vật ghép đồng chất dạng tấm 2D Vật ghép đồng chất dạng dây (thanh)
Trọng tâm của vật ghép – composite bodies
y
Vi dụ 1.
b
+
a/2
Phần 1. Tam giác
r
-
a/2
Phần 2. Đĩa tròn (trọng lượng âm)
a/2
a/2
x
Area [m2]
k
xk [m]
yk [m]
xkAk [m3]
ykAk [m3]
Phần 3. Vuông
a
/ 3
a
/ 3
a b
b
1 2
?,
x
2
C
a
/ 2
a
/ 2
1 r 2
x A k k A k
a
/ 2
a
/ 2
2a
?
y C
y A k k A k
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
6
Trọng tâm của tấm 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? Ak xkAk ykAk
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-19-
Trọng tâm của vật ghép – composite bodies
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-20-
Ví dụ 2. Một lập phương nhỏ cạnh 2a được cắt bỏ từ lập phương lớn cạnh 4a (Hình a) a) Xác định trọng tâm của phần còn lại. b) Xác định trọng tâm của lập phương lớn, nếu bù chỗ khuyết bằng một lập phương nhỏ làm bằng vật liệu khác có khối lượng riêng 2 = 21. (Hình b).
Trọng tâm của vật ghép – composite bodies Trong cả hai trường hợp ta coi vật thể như được ghép từ nhiều vật dạng hôp chữ nhật.
a) PA1. Coi vật thể đồng chất được ghép từ 3 vật thể dạng hộp chữ nhật (cùng khối lượng riêng 1). Lập được bảng, tính và nhận được kết quả
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-21-
Trọng tâm của vật ghép – composite bodies a) PA2. Coi vật thể đồng chất được ghép từ 2 lập phương cạnh 4a và cạnh 2a, phần cạnh 2a coi như có trọng lượng âm. Lập được bảng, tính và nhận được kết quả
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
7
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-22-
tính và nhận
Trọng tâm của vật ghép – composite bodies b) Vật thể được ghép từ 2 phần (phần 1 đã biết từ câu a, khối lượng riêng 1 ) và phần 2 là lập phương cạnh 2a, khối lượng riêng 2 = 21 : Lập được bảng, được kết quả,
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-23-
Các công thức Pappus và Guldinus
Định lý 1. Diện tích của mặt tròn xoay sinh ra bởi đường cong phẳng L quay quanh một trục đồng phẳng không cắt nó bằng tích chiều dài đường cong với chiều dài đường tròn tạo ra bởi trọng tâm của đường cong quay quanh trục .
A
yL
2
2
y L C
y
C
dL
yC
y
x
L
dA
2
r dL
2
y dL
A
dA
2
y dL
2
y L C
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-24-
Các công thức Pappus và Guldinus
Định lý 2. Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng quay quanh trục đồng phẳng không cắt nó bằng tích của diện tích hình phẳng và chiều dài đường tròn tạo ra bởi trọng tâm của hình phẳng quay quanh trục đó.
V
yA
2
2
y A C
dA
C
y
y
yC
x
dV
2
r dA
2
y dA
V
dV
2
y dA
2
2
y A C
r A C
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
8
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-25-
Các công thức Pappus và Guldinus
Ví dụ 1. Tính diện tích tang trống
L
R ,
2
a a
d
x
R
sin
1
C
2
A
dL
R
R
R
sin
2
2
2
4
z
2
a
/ 2
4A
sin R
a
r
Ví dụ 2. Tính thể tích hình xuyến
2
2
=
r A a ,
= =
V
p 2
=
p 2
ra
r C
r A C
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-26-
y y B L L xC O O x x R A
Xác định trọng tâm bằng thực nghiệm
Phương pháp vẽ xác định trọng tâm của tấm phẳng dạng chữ L
B
A
B
C
E
E
A
D
D
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-27-
Xác định trọng tâm bằng thực nghiệm
Phương pháp đường dọi xác định trọng tâm tấm phẳng
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
9
B A A B n C A B a) m b) c) n
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-28-
Xác định trọng tâm bằng thực nghiệm
Phương pháp cân đo
l
l
x
x
N2
N1
N
cân
P
P
cân 2
cân 1
Sử dụng một cân (hai lần cân) Cân lần 1 (cả vật) xác định P
Sử dụng hai cân (cân 1 lần) Cân hai đầu xác định được N1 và N2, P = N1 + N2 Đo L
Cân lần 2 (một đầu), xác định N
Đo L
x
lN P / 2
x
lN P /
lN
/ (
N
N
)
2
1
2
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
-29-
Tóm tắt nội dung
• Trọng tâm của hệ chất điểm • Trọng tâm của vật rắn
Công thức xác định Trọng tâm của các vật rắn đồng chất/đối xứng Trọng tâm của các vật ghép
• Các công thức Pappus và Guldinus
Tính diện tích mặt tròn xoay, tính thể tích hình xuyến
• Xác định trọng tâm bằng thực nghiệm
Phương pháp vẽ xác định trọng tâm của tấm phẳng
dạng chữ L.
Phương pháp treo vật - phương pháp đường dọi. Phương pháp cân.
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
10
