1
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity
Chương
5
Cơ học kỹ thuật: TĨNH HỌC
Engineering Mechanics: STATICS
Trọng tâm vật rắn
Nguyễn Quang Hoàng
Bộ môn Cơ học ứng dụng
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -2-
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Nội dung
•Trọng tâm của hệ chất điểm
•Trọng tâm của vật rắn
Công thức xác định
Trọng tâm của các vật rắn đồng chất
Trọng tâm của các vật rắn đồng chất đối xứng
Trọng tâm của các vật ghép
•Các công thức Pappus và Guldinus
•Xác định trọng tâm bằng thực nghiệm
Phương pháp vẽ xác định trọng tâm của tấm phẳng
dạng chữ L.
Phương pháp treo vật - phương pháp đường dọi.
Phương pháp cân.
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -3-
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Mở đầu
G
?Q
max
?W
max
AB
bc
P
a
2
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -4-
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Trọng tâm của hệ chất điểm
,,
kk kk kk
GGG
kkk
xW yW zW
xyz
WWW



Từ điều kiện tương đương về mô men đối với các
trục, ta nhận được công thức
1
n
k
k
WW
11
() ( )
nn
xxkGkk
kk
mW mW yW yW




Quay hệ cùng với hệ trục tọa độ 90
o
quanh
trục x hoặc y
11
() ( )
nn
xxkGkk
kk
mW mW zW Wz




11
() ( )
nn
yykGkk
kk
mW mW xW xW




Công thức xác định vị trí trọng tâm G
G
W
1
x
O
y
W
2
W
n
z
G
x
G
z
G
x
G
z
G
y
GW
1
x
Oy
W
2
W
n
z
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -5-
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Trọng tâm của vật rắn: công thức xác định
W
G = C
dW
dV
x
Oy
z
y
G
y
x
G
x
G
z
z
WdWmg

1
() ( )
yG y
G
mW xW mdW xdW
xWxdW




111
,,
GGG
x xdW y ydW z zdW
WWW



Trọng lượng của vật
Vị trí trọng tâm của vật
Khi gia tốc trọng trường g = const, trọng tâm G và khối tâm
C của vật trùng nhau.
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -6-
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Trọng tâm của các vật rắn đồng chất
111
,,
GGG
VVV
x xdV y ydV z zdV
VVV



23
,[m/s], [kg/m]dW g dm g dV g

 
const, constg

Trọng tâm của vật thể đồng chất dạng khối (3D)
x
y
z
x
y
z
O
GdV
V
Đối với vật thể đồng chất dạng khối
3
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -7-
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Trọng tâm của các vật rắn đồng chất
Đối với vật thể dạng tấm (vỏ) bề dày không đổi
(phẳng, cong)
Đối với vật thể dạng thanh (dây) diện tích mặt cắt
không đổi (phẳng, cong)
22
,
[m/ s ], [kg/ m ]
dW g dm g dA
g
 
Đối với vật thể đồng chất dạng tấm vỏ
x
y
z
x
y
z
dA
A
111
, ,
GGG
AAA
x xdA y ydA z zdA
AAA



111
, ,
GGG
LLL
x xdL y ydL z zdL
LLL



x
y
z
dL
L
x
y
z
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -8-
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Trọng tâm của các vật rắn đồng chất
11
,
CC
LL
xxdsyyds
LL



Đối với vật thể dạng thanh (dây) diện
tích mặt cắt không đổi (phẳng)
11
,
CC
AA
xxdAyydA
AA



Đối với tấm phẳng (2D)
C
dA
Ox
y
y
C
y
x
C
x
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -9-
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Trọng tâm của các vật rắn đồng chất đối xứng
1. Nếu vật rắn có một mặt phẳng (trục hoặc điểm) đối
xứng, thì trọng tâm của vật nằm trên mặt phẳng (trục
hoặc điểm) đối xứng đó.
2. Nếu vật có một số mặt phẳng (trục) đối xứng, trọng
tâm của vật rắn nằm trên giao của các mặt phẳng
(trục) đối xứng đó.
Ox
y
4
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -10-
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Xác định trọng tâm bằng công thức tích phân
Ví dụ. Xác định trọng tâm của dây cung tròn bán
kính R, góc mở 2α.
Lời giải
Dựng hệ Oxy, x là trục đối xứng y
C
=0.
Chọn phân tố chiều dài dL (xác định bởi ,d)
Trường hợp nửa đường tròn α = π/2
dL
j
dj
x
x
O
y
R
A
B
a
a
x
L
O
y
R
A
B
C
,2dL Rd L Rd R
a
a
jja
-
===
ò
cos
11 sin
cos
C
xR
xxdLRRdR
LL
a
a
j
a
jj a
-
=
== =
òò
2/
C
xR Rp=<
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -11-
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Xác định trọng tâm bằng công thức tích phân
x
A
O
y
R
Ví dụ. Xác định trọng tâm của tấm hình quạt bán
kính R, góc mở 2α.
Lời giải
Dựng hệ Oxy, x là trục đối xứng y
C
= 0. Chọn
phân tố diện tích dA dạng tam giác, (xác định bởi
,d)
j
dj
x
O
y
R
A
dA
ax
2
11 2
22 3
,cosdA RRd R d x Rjj j== =
2
1
2
AdA RRd R
a
a
ja
-
== ⋅=
òò
21
32
2
3
11
cos
sin
C
x xdA R RRd
AA
R
a
a
jj
a
a
-
==
=
òò
Trh nửa đĩa tròn, α = π/2
4/3
C
xRp=
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -12-
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Xác định trọng tâm bằng công thức tích phân
x
y
x
1
y
Ox
2
x
y
2
= f
2
(x)
y
1
= f
1
(x)
dx
d
A
Trọng tâm của tấm phẳng xác định
bởi hai hàm y
1
(x) và y
2
(x)
1. Xác định miền giới hạn của tấm
y
1
(x) = y
2
(x) x
1
&x
2
2. Chọn phân tố diện tích dạng
hình chữ nhật ở vị trí x và có bề
rộng dx
3. Tính các tích phân
1
21 21
2
[() ()] , , [() ()]dA f x f x dx x x y f x f x=- == +

2
1
2
1
21
1
2121
2
[() ()]
[() ()][() ()]
x
x
x
x
xdA x f x f x dx
ydA f x f x f x f x dx
ò= -
ò= + -
ò
ò
2
1
21
[() ()]
x
x
AdA fxfxdx=ò = -
ò
1
1
C
C
xAxdA
yAydA
-
-
=ò
=ò
5
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -13-
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Xác định trọng tâm bằng công thức tích phân
y = 9– x
2
9 m
3 m x
y
O
x
y
y = 9– x
2
9 m
dx
x
y
C
O
dA
3
Ví dụ: Xác định diện tích và trọng tâm của tấm
phẳng cho trên hình bên.
HD
22
11
22
(9 ) , , (9 )dA x dx x x y y x=- = = = -

2
21
() 9 , () 0fx x fx=- =
322
0(9 ) 18 mAdA xdx=ò = - =
ò
32
0
322
1
2
0
11
(9 ) 1,125 m
11
(9 )(9 ) 5, 4 m
C
C
x xdA x x dx
AA
y ydA x x dx
AA




Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -14-
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Xác định trọng tâm bằng công thức tích phân
Ví dụ. Xác định vị trí trọng tâm tấm phẳng rộng 2a cao
h, đường bao là parabol.
HD.
Dựng hệ Oxy, với trục y là trục đối xứng: x
C
=0.
Chọn phân tố diện tích dA song song trục x,
dA = 2x dy.
Khoảng cách từ phân tố đến trục x xác định
từ phương trình của parabol
Chương 5. Trọng tâm vật rắn – Center of Gravity -15-
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Xác định trọng tâm bằng công thức tích phân
225
2
0
0
24
22
55
h
hay ay
ydA y dy ah
hh
==⋅=
òò
Cần tính y
C
theo công thức
223
0
0
24
22 2
33
h
hay ay
A dA xdy dy ah
hh
== = =⋅ =
òò ò
Thay vào công thức tính y
C
cho ta kết qủa
3
5
C
ydA
yh
dA
==
ò
ò
C
ydA
y
dA
=
ò
ò