Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh

Khoa Công nghệ Cơ khí

CHƯƠNG I.2:

Tổng quan về Véctơ

Thời lượng: 2 tiết

2

Các vấn đề cần hiểu trong bài học

3

Giới thiệu về véctơ

4

Đại lượng vô hướng

Đại lượng vô hướng là một đại lượng được miêu tả bằng một số cụ thể, không hướng, không chiều.

5

Đại lượng có hướng (Véctơ)

Hướng

• Điểm đặt (gốc) • Phương • Chiều • Độ lớn (chiều

dài véctơ)

6

Đại lượng có hướng (Véctơ)

7

Nhân - chia vecto với 1 số thực

2A

A

   A

1

A

A

A 2

1 2

   

  

8

Cộng véctơ

 b

a

 c

d

9

Cộng véctơ

10

Cộng véctơ

11

Cộng véctơ

12

Cộng véctơ

13

Hiệu của 2 Véctơ

14

Véctơ đơn vị của 1 véctơ

U U e

e

U U

15

Các phép tính véctơ. Ví dụ 1

Cho 2 véctơ như hình vẽ với |U|=8 và |V|=3. Bằng pháp phương dựng hình, đo đạc, tính độ lớn của véctơ (U + 2V)

16

Các phép tính véctơ. Ví dụ 2

Chân trụ của mái nhà sân động vận được kéo giữ bởi 2 cáp AB, AC. Lực căng của các dây cáp đo được có độ lớn |FAB|=100 kN, |FAC|=60 kN. Xác định hướng và độ lớn của tổng lực căng mà các dây cáp tác dụng vào bục giữ A bằng phương pháp dựng hình, đo đạc.

155 kN

17

Tách vecto lực ra các thành phần

18

Định lý sin – cos của tam giác

19

Tổng lực – ví dụ

Tìm véctơ tổng lực của 2 lực sau

Phân tách lực trong hình thành 2 thành phần theo phương u và v

20

Các thành phần véctơ trong mặt phẳng

21

Các thành phần LỰC trong mặt phẳng

22

Các thành phần LỰC trong mặt phẳng

Viết biểu thức xác định hình chiếu của lực F trên các trục tọa độ Đề Các

Viết biểu thức xác định hình chiếu của lực F trên các trục tọa độ Đề Các

23

Các thành phần LỰC trong mặt phẳng y

v

1F

1r

2r

2F

3r

x

Xác định hình chiếu của các véctơ trên các trục tọa độ ĐềCác

24

Tổng hình chiếu của 2 véctơ trong mp

25

Tổng hình chiếu của 2 véctơ trong mp y

1r

1F

2r

2F

x

Xác định tọa độ véctơ tổng của các véctơ trong 2 hình.

26

Tổng hình chiếu hệ lực phẳng

Viết biểu thức xác định tọa độ của véctơ tổng lực

Viết biểu thức xác định các véc tơ lực phía dưới

27

Tổng hình chiếu hệ lực phẳng

28

Tổng hình chiếu hệ lực phẳng

Xác định độ lớn tổng lực FR và góc θ ?

Xác định độ lớn tổng lực FR và góc θ ?

29

Tổng hình chiếu hệ lực phẳng

30

Tọa độ của véctơ bán kính trong mp

ABre

F

F

x

- Véctơ bán kính AB

r AB

B

A

j y

 

y B x

i  x

y

j

B

A

A

B

e

r AB

2

2

x r AB r AB

- Véctơ đơn vị của véctơ bán kính AB

x

x

y

y

B

A

F



   y A    i     B A F F e    

e

r AB

r AB

r AB

  - Véctơ lực cùng hướng véctơ bán kính AB

31

Viết biểu thức véctơ của lực

O

Hãy xác định biểu thức véctơ của lực căng dây cáp FAB, biết độ lớn của lực căng đo được là 900 N bằng 2 cách: 1. Xác định hình chiếu Fx và Fy 2. Sử dụng công thức F = |F|* eAB

32

Các thành phần véctơ trong không gian

x

y

z

33

Các thành phần véctơ trong không gian

34

Miêu tả véctơ trong không gian Đề-các

35

Tọa độ góc chỉ phương của véc tơ

e

u

A

A

e

cos

i  

cos

j  

cos

k

A

cos



cos

 

cos



xA A

zA A

yA A

e

i  

j  

k

2

2

2

A

A x A

A y A

A z A

   

1

A x A

A y A

A z A

A A e

A

2

2

2

    

    cos

    

A

cos

i A  

cos

j A  

cos

k

2

2

2

e

  1

1

i  

j  

k

    cos 

 

      

    cos 

 

1 

A

e A

e A

e A

A x

A y

A z

x

y

z

36

Tọa độ góc chỉ phương của lực

  

x

  

y   

z

37

Tọa độ lực trong không gian HÌNH TRỤ

F

Tọa độ Trụ

Tọa độ ĐềCác F  cos

    F F F F , y z cos  sin    

, x F

F x

  , , cos

sin

  cos

F

cos

F

sin

  sin

cos

sin

  sin

F y

cos

cos

F

cos

F

cos

F z

38

Tổng các véctơ lực không gian Đề-các

39

Tổng các véctơ lực không gian Đề-các

Để giải được bài tập, cần trả lời các câu hỏi: lực F1 hợp với trục Ox góc α = bao nhiêu độ? hợp với Oy góc β = bao nhiêu độ, hợp với Oz góc γ = bao nhiêu độ? Nếu chưa thấy được thì trả lời tiếp: lực F1 hợp với mặt phẳng xOy góc μ = bao nhiêu độ (chú ý [góc μ thực chất = 90 độ - góc γ], hợp với măt phẳng yOz góc ξ = bao nhiêu độ (chú ý [góc ξ thực chất = 90 độ - góc α]), hợp với mặt phẳng zOx góc λ = bao nhiêu độ (chú ý [góc λ thực chất = 90 độ - góc β]. Tóm lại lực đề cho hợp với 3 trục tọa độ hoặc 3 mặt phẳng tọa độ các góc bao nhiêu? Chỉ cần biết được các góc đó (hoặc theo trục, hoặc theo mp) là có thể lập được tọa độ các lực. Tương tự với lực F2, F3, v.v... như vậy. Sau đó, nếu cần tính các phép tổng, hiệu, hay tích có hướng, vô hướng gì giữa các véc tơ lực này thì chúng ta làm việc với các tọa độ Fx, Fy, Fz của chúng.

40

Tổng các véctơ lực không gian Đề-các

F

RF 

F

F R 

F

F

Fe

R

e

Tính các biểu thức véctơ tổng lực và véctơ chỉ phương của nó

41

Tổng các véctơ lực không gian Đề-các

Biết rằng FR nằm dọc chiều dương trục y và có giá trị 800 N. Tìm độ lớn và tọa độ góc chỉ phương của lực F2

42

Tọa độ điểm trong không gian

A

B

43

Véctơ vị trí trong không gian

44

Tọa độ của véctơ bán kính trong KG F

ABre

ABre

ABr

ABr

F

x

x

i

y

y

j

z

z

k

r AB

B

A

B

A

B

A

x

x

i

y

y

j

z

z

k

 

 

B

A

B

A

B

A

e

r AB

2

2

2

r AB r AB

x

x

y

y

z

z

B

A

B

A

B

A

F



  

F F e

e

r AB

r AB

r AB

45

Tọa độ của véctơ bán kính trong KG

Xác định chiều dài và các góc chỉ phương của véctơ AB

46-1

Tọa độ của véctơ lực trong KG

e

e

x

x

i

y

y

j

z

z

k

B

A

B

A

A

B

F F e F

 

F

2

2

2

r r

   

   

x

x

y

y

z

z

B

A

B

A

A

B

   

   

46-2

Tọa độ của véctơ lực trong KG

i  

j  

k

F F F x y

F z

F x

F y

F z

46-3

Tọa độ của véctơ lực trong KG

e

cos

i  

cos

j  

cos

k

F u

F

  

F

F

F

cos

i  

cos

j  

cos

k

F e  

F

F

cos

i F  

cos

j F  

cos

k

F

i  

k

j  

F z

F y  cos

F

F x F x

F

cos

F y

F

cos

F z

46-4

Tọa độ của véctơ lực trong KG

Cho β, γ, thiếu α

Cho α, β, thiếu γ

Cho γ, α, thiếu β

2

2

2

  1

cos

cos

cos

1

Fe

2

2

2

2

2

2

cos

 

 1 cos

cos

cos

 

 1 cos

cos

cos

 

 1 cos

cos

2

2

2

cos

1 cos 45

 

2 cos 60

cos

  

1 cos 30

 

2 cos 70

cos

 

1 cos 60

 

2 cos 45

    

 0.5

 

0.364722115

0.5

 

111.3904822

60 

 

120

46-5

Tọa độ của véctơ lực trong KG

 

cos

 

F

F x

cos

 

F

F y

cos

 

F

F z

cos cos cos cos sin cos

F  sin 40 sin 25    F    cos 40  F    sin 40 cos 25   

 

   cos    sin    P    P   P

cos

cos

        

   cos   cos  cos55 cos30        cos sin  sin 55  sin     cos55 sin 30

cos

cos  cos Q  cos Q  Q

46-6

Tọa độ của véctơ lực trong KG

cos

 

Az

cos

 

24 3  25 5 24 4  25 5

Ay

Ax

cos

  

7 25

46-7

Tọa độ của véctơ lực trong KG

cos

CD  

2

3 2

2 3

12

cos

CD  

2

2

4 4 2

3

12

cos

CD  

2

2

4 12 2

3

12

4

cos

CE  

2

2

8 2

8

12

cos

CE  

2

9 9 2

2 8

12

9

cos

CE  

2

2

12 2

8

12

9

46-8

Tọa độ của véctơ lực trong KG

z

  0

cos

0

xF

1

 1

b

cos

 

 1

1F

cos

 

 1

4 5 3 5

A

5

  0

cos

0

zF

2

 2

3

4

cos

 

sin

3F

cos

 

cos

 2  2

y

O

  0

cos

yF

3

 3

cos

 

 3

0 a 2

2

a

b

2F

a

x

cos

 

 3

 b 2

2

a

b

46-9

Tọa độ của véctơ lực trong KG

z

cos

  1

3F

i

cos

0

F 1

    F 1

cos

0

 1  1  1

    

cos

0

 

j  

cos

  1

F 2

F 2

cos

0

 2  2  2

    

2F

cos

0

y

k

cos

0

F 3

    F 3

cos

  1

 3  3  3

    

1F

x

46-10

Tọa độ của véctơ lực trong KG

j

i

F 1 F 2

1F 2F

G

G  

k

S

k

2

2S  

S

k

4

4S  

S

6

6S  

i  

k

S 1

   S 1

S 1

k c 2

a 2

2

2

a

c

a

c

c

S

j  

S

k

3

   S 3

3

b 2

2

2

2

b

c

b

c

S

j  

S

k

5

   S 5

5

b 2

2

c 2

2

b

c

b

c

46-11

Tọa độ của véctơ lực trong KG

x

,

y

,

z

B

B

B

x

x

A

cos

 B r AB

z

z

B

A

y

y

x

,

y

,

z

A

A

A

A

cos

 B r AB

z

z

A

cos

B r AB

F

cos

F x

x

x

B

A

y

y

B

A

F

cos

F y

F

cos

2

2

2

F z

              

x

x

y

y

z

z

r AB

B

A

B

A

B

A

46-12

Tọa độ của véctơ lực trong KG

 300 cos 30

 

300 sin 30 cos 60

 

300 sin 30 cos 30

 

F y F x F z

46-13

Tọa độ của véctơ lực trong KG

T

T

e

T

AB

AB

AB

r AB

C

r AB r AB

O

O

D

 AB

r AB

  CB CA     OB OC CA

   AB OB OA

r AB 

 CA r

e

  6

e

     CA CA

r CD

r CD

47

Tọa độ của véctơ lực trong KG

Dây thừng buộc vào móc B của cánh cửa, luồn qua 1 móc kim loại trên tường tại A rồi buộc vào chốt C của cánh cửa. Cho biết lực căng của 2 dây AB và AC đều bằng 200 lb. Hãy xác định độ lớn của véc tơ tổng lực tác dụng vào móc kim loại A trên tường.

48

Tọa độ của véctơ lực trong KG

Cho biết lực căng dây TAB có độ lớn 50 N. Hãy viết biểu thức xác định véctơ lực TAB.

49

Tích vô hướng của 2 véctơ – định nghĩa

Giao hoán:

Nhân với hằng số:

U V 

U V 

U V V U   

 

Phân phối:

50

Tích vô hướng – Các véctơ đơn vị Decac

51

Tích vô hướng của 2 véctơ – tọa độ

52

Thành phần ǁ và ∟với 1 đường thằng của 1 véctơ

A

A

A

 1 cos

A u 

O cos

a

a

A

A

 

a

A u . a

a

A u u . a

a

a

  A u u  a  1

2

A

A A

A

A

  a

2 A a

53

Thành phần ǁ và ∟với 1 đường thằng của 1 véctơ

54

Thành phần ǁ và ∟với 1 đường thằng của 1 véctơ – ví dụ thực tế

55

Thành phần ǁ và ∟với 1 đường thằng của 1 véctơ – ví dụ thực tế Dữ kiện: Tọa độ A (175, 0, 0) m; Tọa độ B (39, 70, 29) m; các lực F1 = (– 943.7i – 221.7j + 245.4k) N; F1 = (– 919.4i – 216.0j – 328.6k) N Tính ΣF//A→B ?

56

Thành phần ǁ và ∟với 1 đường thằng của 1 véctơ – ví dụ thực tế

F u  T

AB

F T //

u

F u  T

AB

AB

F T //

57

Thành phần ǁ và ∟với 1 đường thằng của 1 véctơ

Xác định góc θ hợp bởi lực F với khúc AB và thành phần hình chiếu của lực đó trên khúc AB.

58

Tích có hướng của 2 véctơ – định nghĩa

• Nếu A // B  C = 0 • A x A = 0

59

Tích có hướng – Các phép tính

60

Tích có hướng – Các phép tính

61

Tích có hướng – Các véctơ đơn vị Decac

62

Tích có hướng – Công thức định thức

63

Ứng dụng của tích có hướng

n

C C n A B

  

B

Area 

C A B

A

Area 

A B

1. Tính diện tích của hình bình hành hợp bởi 2 véctơ A và B

n

2. Tìm véctơ pháp tuyến n của mặt phẳng tạo bởi 2 véctơ A và B

A B  A B 

64

A

A B C   ||

Tích tam hợp vô hướng A B C   ||

C

B

 A B C

 A B C

y

A A y x B B x C C

A z B z C

x

y

z

||

||

||

y

B B x C C

B z C

 B C A

 B C A

x A x

y A y

z A z

||

||

||

 C A B

 C A B

C C x y A A y x B B x

y

C z A z B z

65

Tích có hướng – tam hợp vô hướng

Cho 2 véc tơ A và B như hình vẽ. Yêu cầu: 1. Tìm tích có hướng của A x B 2. Tìm tích tam hợp vô hướng (A x B)·A

66

Tích có hướng

Tìm khoảng cách ngắn nhất từ A đến OB bằng 2 cách: 1. Chỉ sử dụng tích vô hướng của các véctơ 2. Chỉ sử dụng tích có hướng của các véctơ

67

Tích có hướng

Một ngôi nhà khối lượng 95 tấn xây trên 1 dốc nghiêng, được xác định bởi 3 điểm A, B, C. Để đánh giá khả năng dốc bị lở (hoặc trượt bùn) cần thiết phải: 1. Xác định các giá trị thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến đối với

mặt phẳng dốc của trọng lực nhà

2. Xác định các véctơ thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến đối với

mặt phẳng dốc của trọng lực nhà

3. Xác định khoảng cách từ điểm ) đến mặt phẳng dốc

68

Cách tìm bộ 3 Pitago trong mặt phẳng

Chọn 2 số nguyên dương x, y bất kỳ

A

2

2

x

y

c

b

2

xy

2

2

C

B

x

y

a

2

2

  a   b   c  2   a

b

c

69

Cách tìm bộ 4 Pitago trong không gian Chọn 3 số nguyên dương x, y, z sao cho x2 > (y2 + z2)

A

2

2

2

x

y

z

d

2

xy

a

D

2

xz

2

2

2

c

x

y

z

  a   b   c   d 

B

C

b

2

2

2

2   a

b

c

d