Bài giảng Cơ học vật liệu Chương 3: Dương Phạm Tường Minh (Full)

Xoắn thuần túy

3

Nội dung

Trục siêu tĩnh Giới thiệu

Bài tập ví dụ 3.4 Tải trọng xoắn trong các trục tròn

Tập trung ứng suất

Thiết kế trục truyền Ứng suất tiếp do mô men xoắn gây ra

Các thành phần ứng suất tiếp dọc trục

Biến dạng của trục

Biến dạng dẻo

Vật liệu đàn dẻo Biến dạng trượt

Ứng suất dư Ứng suất trong miền đàn hồi

Ví dụ 3.08/3.09 Ứng suất pháp

Xoắn các trục không tròn Các dạng phá hỏng do xoắn

Trục rỗng thành mỏng Bài tập ví dụ 3.1

Ví dụ 3.10 Góc xoắn trong miền đàn hồi

3 - 2

Tải trọng xoắn trong các trục tròn

• Nghiên cứu các ứng suất và biến

dạng của trục tròn chịu các ngẫu lực xoắn hoặc mô men xoắn.

• Động cơ tác dụng mô men xoắn T

lên trục.

• Trục truyền mô men xoắn đến tua-

bin.

• Tua-bin tạo một mô men xoắn bằng

và ngược chiều T’

3 - 3

Ứng suất tiếp do mô men xoắn gây ra

• Hợp lực của ứng suất là mô men xoắn nội

lực, bằng và ngược chiều với mô men xoắn ngoại lực,

• Mặc dù ứng suất tiếp do mô men xoắn gây ra có thể xác định được nhưng sự phân bố của ứng suất thì không.

• Sự phân bố ứng suất tiếp không thể xác định được bằng tĩnh học đơn thuần – cần phải xét đến các biến dạng của trục.

• Không giống như ứng suất pháp do tải trọng dọc trục gây ra, sự phân bố ứng suất tiếp do mô men xoắn gây ra không thể giả thiết là đều.

3 - 4

Các thành phần ứng suất tiếp dọc trục

• Mô men xoắn tác dụng lên trục gây ra

• Các điều kiện cân bằng đòi hỏi phải tồn tại các ứng suất có cùng giá trị trên 2 mặt chứa đường tâm trục.

ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang.

• Sự tồn tại ứng suất tiếp theo phương dọc trục được biểu thị bằng cách coi trục được tạo thành từ các thanh dọc trục.

Các thanh sẽ trượt với nhau khi có mô men xoắn cùng giá trị và ngược chiều tác dụng tại 2 đầu. Nhưng trục đồng chất thì không  có xu hướng trượt  phải tồn tại ứng suất tiếp.

3 - 5

Biến dạng của trục

• Theo quan sát, góc xoắn của trục tỉ lệ với mô

men xoắn tác dụng và chiều dài của trục.

• Khi chịu xoắn, mọi mặt cắt ngang của trục tròn

vẫn phẳng và không biến dạng.

• Các mặt cắt ngang của trục tròn rỗng và đặc

vẫn phẳng và không biến dạng bởi vì trục tròn có tính chất đối xứng trục.

• Các trục có mặt cắt ngang không tròn (không đối xứng trục) sẽ bị biến dạng (vênh) khi chịu xoắn.

3 - 6

Biến dạng trượt

• Xét một mặt cắt trên trục. Khi tác dụng mô

men xoắn, phân tố hình lập phương trên chu vi sẽ biến dạng thành hình thoi.

• Vì các mặt bên của phân tố vẫn phẳng, nên

biến dạng trượt sẽ bằng góc xoắn.

• Theo đó có

• Biến dạng trượt tỉ lệ với góc xoắn và bán kính

3 - 7

Ứng suất trong miền đàn hồi

• Nhân biểu thức trên với mô đun đàn hồi trượt,

Theo định luật Húc, , ta có

Ta thấy ứng suất tiếp biến thiên tuyến tính với bán kính trên mặt cắt ngang.

• Nhớ rằng tổng mô men của sự phân bố ứng suất có giá trị bằng mô men xoắn trên mặt cắt ngang,

thức xoắn đàn hồi,

• Các kết quả này được xem như là các biểu

3 - 8

Ứng suất pháp

• Các phân tố có các mặt song song và vuông

góc với đường tâm của trục chỉ chịu ứng suất tiếp. Ứng suất pháp, ứng suất tiếp hoặc kết hợp cả 2 có thể được xác định theo các định hướng khác.

• Xét một phân tố hợp với đường tâm trục một

góc 45o,

• Phân tố a chịu cắt (trượt) thuần túy.

suất nén trên 2 mặt còn lại.

• Phân tố c chịu ứng suất kéo trên 2 mặt và ứng

• Lưu ý rằng tất cả các ứng suất cho các phân tố

a và c đều có cùng độ lớn.

3 - 9

Các dạng phá hỏng do xoắn

• Các vật liệu dẻo thường bị phá

hỏng do cắt. Vật liệu dòn chịu kéo kém hơn cắt.

• Khi chịu xoắn, vật liệu dẻo sẽ bị phá hỏng theo mặt phẳng có ứng suất tiếp lớn nhất, tức là mặt cắt ngang.

• Khi chịu xoắn, vật liệu dòn sẽ bị phá hỏng theo mặt phẳng vuông góc với phương có ứng suất kéo lớn nhất, tức là theo mặt hợp với đường tâm của trục một góc 45o.

3 - 10

Bài tập ví dụ 3.1

HƯỚNG GIẢI:

• Dùng các mặt phẳng cắt qua các đoạn trục AB, BC và CD để xác định mô men xoắn nội lực cho từng đoạn.

• Áp dụng các công thức cho xoắn đàn hồi để tìm ứng suất lớn nhất và nhỏ nhất trên trục BC

• Từ biểu thức xoắn đàn hồi và ứng suất tiếp cho phép, tìm đường kính cho phép.

Trục truyền ABCD chịu lực như hình vẽ. Biết đoạn BC rỗng có đường kính trong và ngoài lần lượt là 90 mm và 120 mm. Các đoạn trục AB và CD đặc có đường kính d. Xác định (a) ứng suất tiếp lớn nhất và nhỏ nhất trong trục BC, (b) đường kính cho phép d của trục AB và CD nếu ứng suất tiếp cho phép trong các đoạn trục là 65 MPa.

3 - 11

Bài tập ví dụ 3.1 LỜI GIẢI:

• Dùng các mặt phẳng cắt trục qua các

đoạn AB và BC và áp dụng các phương trình cân bằng tĩnh học để tìm mô men xoắn nội lực.

3 - 12

Bài tập ví dụ 3.1 • Áp dụng các biểu thức xoắn đàn hồi để tìm ứng suất lớn nhất và nhỏ nhất trong trục BC

• Từ giá trị ứng suất tiếp cho phép và mô men xoắn, xác định đường kính cho phép của trục.

3 - 13

Góc xoắn trong miền đàn hồi

• Ta đã có mối quan hệ giữa góc xoắn và biến dạng

trượt lớn nhất là,

• Trong miền đàn hồi, biến dạng trượt và ứng suất

tiếp liên hệ với nhau bởi định luật Húc,

• Cân bằng 2 biểu thức trên ta có,

• Nếu tải trọng xoắn hoặc mặt cắt ngang của trục thay đổi theo chiều dài, thì góc xoắn được xác định là tổng góc xoắn của từng đoạn:

3 - 14

Bài toán xoắn siêu tĩnh

• Cho trục chịu mô men xoắn và kích thước như hình

vẽ, xác định mô men xoắn phản lực tại A và B.

ta thấy phương trình này không đủ để tìm 2 mô men phản lực tại 2 đầu. Bài toán này được gọi là bài toán siêu tĩnh.

• Từ phương trình cân bằng tĩnh học ta có:

• Chia trục thành 2 phần, chúng phải có các biến

dạng thích hợp, tức là:

• Thay vào phương trình cân bằng ở trên ta có:

3 - 15

Bài tập ví dụ 3.4

HƯỚNG GIẢI:

• Áp dụng các phân tích động học để

• Áp dụng phân tích cân bằng tĩnh trên 2 trục để tìm ra mối liên hệ giữa TCD và T0

liên hệ các góc xoay của 2 bánh răng.

• Tìm mô men xoắn cho phép tác dụng lên mỗi trục – chọn giá trị nhỏ nhất.

• Tìm góc xoắn tương ứng cho mỗi trục

và góc xoắn thực của đầu A

Hai trục thép truyền chuyển động cho nhau thông qua các bánh răng. Biết rằng mỗi trục có G = 11.2 x 106 psi và ứng suất tiếp cho phép là 8 ksi, xác định (a) mô men xoắn lớn nhất T0 có thể tác dụng lên trục AB, (b) góc xoắn tại đầu A của trục AB.

3 - 16

Bài tập ví dụ 3.4

LỜI GIẢI:

• Áp dụng phân tích động học để liên hệ

các góc xoay của bánh răng.

• Áp dụng phân tích cân bằng tĩnh trên 2 trục để tìm mối liên hệ giữa TCD và T0

3 - 17

• Tìm góc xoắn cho mỗi trục và góc xoắn

thực của đầu A

Bài tập ví dụ 3.4 • Tìm T0 theo mô men lớn nhất cho phép tác dụng lên mỗi trục – chọn giá trị nhỏ hơn

3 - 18

Thiết kế các trục truyền

• Xác định mô men xoắn tác dụng lên trục

• Các đặc tính kỹ thuật chủ yếu theo tốc độ và công suất danh nghĩa,

của trục truyền là: Công suất Tốc độ

• Thực tế hay dùng công suất truyền của động cơ P(kW) và tốc độ vòng quay của trục n(vòng/phút), nên:

• Người thiết kế phải chọn vật liệu chế tạo và mặt cắt ngang của trục để thỏa mãn các đặc tính kỹ thuật mà không vượt quá ứng suất tiếp cho phép.

• Tìm mặt cắt ngang của trục để ứng suất không vượt quá ứng suất tiếp cho phép,

3 - 19

Tập trung ứng suất

áp dụng cho một trục tròn có mặt cắt ngang không đổi chịu tải trọng thông qua tấm tuyệt đối cứng đặt ở đầu trục.

• Công thức xoắn,

• Việc sử dụng các mặt bích, bánh răng và pu- ly để lắp lên trục thông qua then, rãnh then, và mặt cắt ngang không liên tục có thể gây ra tập trung ứng suất.

Hệ số tập trung ứng suất tại vị trí bo tròn của trục tròn chịu xoắn

• Hệ số tập trung ứng suất được xác định bằng thí nghiệm hoặc mô phỏng số.

3 - 20

Biến dạng dẻo

• Với giả thuyết vật liệu đàn hồi tuyến tính, ta có:

• Nếu giới hạn bền bị vượt quá hoặc vật liệu có

đường cong ứng suất-biến dạng trượt phi tuyến, thì biểu thức này không còn đúng nữa.

• Biến dạng trượt biến thiên tuyến tính không phụ

thuộc vào các thuộc tính của vật liệu. Việc áp dụng đường cong ứng suất-biến dạng trượt cho phép xác định sự phân bố ứng suất.

• Tích phân các mô men từ sự phân bố ứng suất sẽ cân

bằng với mô men xoắn trên mặt cắt,

3 - 21

Vật liệu đàn dẻo (Elastoplastic)

• Tại giá trị mô men xoắn đàn hồi lớn nhất, có

• Khi mô men xoắn được tăng lên, một vùng dẻo ( ) sẽ phát triển xung quanh một lõi đàn hồi ( )

• Khi , mô men xoắn sẽ tiến tới một giá trị tới

hạn,

3 - 22

Ứng suất dư

• Vùng dẻo sẽ phát triển trong trục khi nó chịu một mô

• Khi thôi tác dụng mô men xoắn, sự giảm ứng suất và

men xoắn đủ lớn.

• Trên đường cong T-, trục sẽ hạ tải theo một đường

biến dạng tại mỗi điểm sẽ xảy ra theo đường thẳng đến một giá trị ứng suất dư khác không.

thẳng đến một góc lớn hơn 0.

• Ứng suất dư được xác định từ nguyên lý độc lập cộng

tác dụng.

3 - 23

Ví dụ 3.08/3.09

LỜI GIẢI:

• Giải công thức (3.32) để tìm Y/c và

xác định bán kính lõi đàn hồi.

• Giải công thức (3.36) để tìm góc xoắn

• Giải công thức (3.16) để tìm góc

xoắn sau khi thôi tác dụng mô men xoắn. Biến dạng dư là sự khác nhau giữa các góc khi xoắn và thôi xoắn.

• Tìm sự phân bố ứng suất dư bằng sự xếp chồng ứng suất do xoắn và thôi xoắn gây ra. Một trục tròn đặc chịu mô men xoắn tại 2 đầu. Giả thiết rằng trục được làm bằng vật liệu đàn dẻo với và Xác định (a) bán kính của lõi đàn hồi, (b) góc xoắn của trục. Khi mô men xoắn thôi tác dụng, hãy xác định (c) biến dạng xoắn vĩnh cửu, (d) sự phân bố ứng suất dư.

3 - 24

Ví dụ 3.08/3.09 LỜI GIẢI:

• Giải công thức (3.36) để tìm góc xoắn

• Giải công thức (3.32) để tìm Y/c và xác định bán kính lõi đàn hồi.

3 - 25

Ví dụ 3.08/3.09

• Tìm sự phân bố ứng suất dư bằng sự xếp chồng ứng suất do xoắn và thôi xoắn gây ra.

• Giải công thức (3.16) để tìm góc xoắn sau khi thôi tác dụng mô men xoắn. Biến dạng dư là sự khác nhau giữa các góc khi xoắn và thôi xoắn.

3 - 26

Xoắn thanh mặt cắt không tròn

các trục tròn.

• Các công thức xoắn đã học chỉ đúng cho

• Mặt cắt ngang phẳng của các trục không tròn sẽ không còn phẳng và sự phân bố ứng suất-biến dạng sẽ không còn tuyến tính.

• Đối với các mặt cắt ngang hình chữ nhật,

Các hệ số cho thanh chữ nhật chịu xoắn

• Với giá trị lớn của a/b, ứng suất tiếp lớn nhất và góc xoắn của các mặt cắt hở được tính giống như thanh mặt cắt chữ nhật.

3 - 27

Trục rỗng thành mỏng

• Hợp lực theo phương x trên phân tố AB,

ứng suất tiếp biến thiên tỉ lệ nghịch với bề dày

• Xác định mô men xoắn từ tích phân mô

men do ứng suất tiếp gây ra.

• Góc xoắn

3 - 28

Ví dụ 3.10

Một ống nhôm có mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu mô men xoắn 24 kip-in. Xác định ứng suất tiếp trong mỗi vách của mặt cắt nếu (a) bề dày của vách không đổi và bằng 0.160 in. và (b) các bề dày là 0.120 in. trên AB và CD và 0.200 in. trên CD và BD.

• Xác định luồng cắt trong thành ống.

HƯỚNG GIẢI:

• Tìm ứng suất tiếp tương ứng trên mỗi

bề dày thành.