Bài giảng Cơ học vật liệu: Chương 4

Uốn thuần túy

4

Nội dung

Uốn thuần túy Các dạng chịu tải khác Uốn thuần túy các dầm đối xứng Biến dạng uốn Biến dạng do uốn gây ra Các thuộc tính mặt cắt của dầm Các thông số thép hình tiêu chuẩn Mỹ Biến dạng trong mặt cắt ngang Bài tập ví dụ 4.2 Uốn dầm được làm từ nhiều vật liệu khác nhau Ví dụ 4.03 Dầm bê tông cốt thép Bài tập ví dụ 4.4

Tập trung ứng suất Biến dạng dẻo Dầm được tạo thành từ vật liệu đàn dẻo Biến dạng dẻo của dầm có một mặt phẳng đối xứng Ứng suất dư Ví dụ 4.05, 4.06 Kéo nén lệch tâm trong mặt phẳng đối xứng Ví dụ 4.07 Bài tập ví dụ 4.8 Uốn xiên Ví dụ 4.08 Trường hợp tổng quát của kéo nén lệch tâm

4 - 2

Uốn thuần túy

Uốn thuần túy: Dầm, đoạn dầm chịu tác

dụng bởi cặp mô men uốn nội lực ngược chiều, cùng độ lớn nằm trong mặt phẳng đối xứng (mặt phẳng quán tính chính trung tâm).

4 - 3

Các dạng chịu tải khác

• Kéo nén lệch tâm: Tải trọng dọc trục

không đi qua tâm của mặt cắt sẽ sinh ra một lực dọc và một mô men uốn.

• Tải trọng cắt ngang: Tải trọng ngang tập trung hoặc phân bố sẽ sinh ra lực cắt và mô men uốn.

• Nguyên lý xếp chồng: Ứng suất pháp do uốn thuần túy gây ra có thể được cộng gộp với ứng suất pháp do kéo nén gây ra để xác định được trạng thái ứng suất tổng.

4 - 4

Uốn thuần túy các dầm đối xứng

• Nội lực trên mặt cắt ngang bất kỳ tương đương với một ngẫu lực. Mô men của ngẫu lực này được gọi là mô men uốn.

• Theo tĩnh học, một ngẫu lực M bao gồm 2 lực

bằng nhau và ngược chiều.

• Tổng các thành phần lực theo một phương bất kỳ

phải bằng 0.

• Mô men đối với trục bất kỳ vuông góc với mặt phẳng tải trọng đều bằng nhau và bằng 0 đối với trục bất kỳ nằm trong mặt phẳng tải trọng.

• Các yêu cầu này được áp dụng để xác định các thành phần và mô men của nội lực phân tố chưa biết.

4 - 5

Biến dạng uốn

Uốn thuần túy dầm có một mặt phẳng đối

xứng:

• Dầm chịu uốn đều sẽ tạo thành một cung tròn

• Mặt cắt ngang sẽ đi qua tâm của cung tròn và

vẫn phẳng

• Chiều dài của phần đỉnh giảm và chiều dài của

phần đáy tăng

Mặt cắt thẳng đứng và dọc (mặt phẳng đối xứng) • Sẽ tồn tại một mặt trung hòa song song với các mặt

trên và dưới và chiều dài của nó không đổi

Mặt cắt nằm ngang và dọc

• Ứng suất và biến dạng có giá trị âm (nén) ở phía trên và dương (kéo) ở phía dưới mặt trung hòa

4 - 6

Biến dạng uốn

Sau khi biến dạng, chiều dài của thớ trung hòa vẫn duy trì là L. Tại các thớ khác, có:

Xét đoạn dầm chiều dài L.

4 - 7

Biến dạng uốn

• Đối với vật liệu đàn hồi tuyến tính,

• Điều kiện cân bằng,

 Mô men tĩnh đối với mặt trung hòa phải bằng 0. Do đó, mặt phẳng trung hòa phải đi qua trọng tâm của mặt cắt.

4 - 8

Các thuộc tính mặt cắt của dầm

• Ứng suất pháp lớn nhất do uốn gây ra,

 Dầm có mô đun chống uốn lớn sẽ có ứng suất nhỏ.

• Xét một mặt cắt ngang hình chữ nhật, có:

• Dầm kết cấu được chế tạo để có mô đun chống

Giữa 2 dầm có cùng diện tích mặt cắt ngang, dầm nào có chiều cao lớn hơn sẽ chịu uốn tốt hơn.

uốn lớn.

4 - 9

Các thông số của thép hình tiêu chuẩn Mỹ

4 - 10

Biến dạng ngang của mặt cắt

• Biến dạng do mô men uốn M gây ra được xác định

bởi độ cong của mặt trung hòa

• Mặc dù mặt cắt ngang vẫn phẳng khi chịu mô men uốn, nhưng biến dạng trong mặt cắt lại khác 0,

• Sự phình ra ở phía trên và co lại ở phía dưới tạo

ra độ cong trong mặt cắt,

4 - 11

Bài tập ví dụ 4.2

HƯỚNG GIẢI:

• Từ hình dáng của mặt cắt ngang, xác định vị trí trọng tâm và mô men quán tính.

• Áp dụng biểu thức uốn đàn hồi để tìm

các ứng suất kéo và nén lớn nhất.

• Tính độ cong

Dầm gang chịu mô men 3 kN-m như hình vẽ. Biết E = 165 GPa và bỏ qua ảnh hưởng của các góc lượn, xác định (a) ứng suất kéo và nén lớn nhất, (b) bán kính cong của dầm.

4 - 12

Bài tập ví dụ 4.2

LỜI GIẢI:

Từ hình dáng của mặt cắt ngang, xác định vị trí trọng tâm và mô men quán tính.

4 - 13

Bài tập ví dụ 4.2

• Áp dụng biểu thức uốn đàn hồi để tìm các

ứng suất kéo và nén lớn nhất.

• Tính bán kính cong

4 - 14

Uốn dầm composite

• Xét dầm composite được tạo bởi 2 lớp vật

liệu có E1 và E2.

• Ứng suất pháp biến thiên tuyến tính trên

• Biến dạng dọc biến thiên tuyến tính.

từng lớp.

Trục trung hòa không đi qua trọng tâm của mặt cắt.

• Các lực phân tố trên mặt cắt là

• Xác định một mặt cắt chuyển đổi

4 - 15

Ví dụ 4.03

HƯỚNG GIẢI:

• Chuyển đổi thanh thực thành thanh đồng

nhất tương đương được làm toàn bộ bằng đồng

• Xác định các thuộc tính của mặt cắt

chuyển đổi

• Tính ứng suất lớn nhất trong mặt cắt

chuyển đổi. Đây chính là ứng suất lớn nhất trong phần bằng đồng của thanh thực.

• Xác định ứng suất lớn nhất trong phần

thép của thanh thực bằng cách nhân ứng suất lớn nhất của mặt cắt chuyển đổi với tỉ lệ của mô đun đàn hồi.

Thanh được làm từ các vật liệu là thép (Ethép = 29x106 psi) và đồng (Eđồng = 15x106 psi) như hình vẽ. Xác định ứng suất lớn nhất trong thép và đồng khi có một mô men 40 kip*in tác dụng.

4 - 16

Ví dụ 4.03

LỜI GIẢI:

• Xác định các thuộc tính của mặt cắt chuyển đổi

• Chuyển đổi thanh thực thành thanh đồng nhất tương đương được làm toàn bộ bằng đồng.

• Tính ứng suất lớn nhất

4 - 17

Dầm bê tông cốt thép

• Dầm bê tông chịu uốn được gia cường bởi các

thanh thép.

• Các thanh thép phía dưới mặt trung hòa hoàn

toàn chịu kéo và phía trên sẽ chịu nén.

• Trong mặt cắt chuyển đổi, diện tích mặt cắt ngang của thép, Athép, được thay thế bởi diện tích tương đương nAthép với n = Ethép/Ebê tông.

• Xác định vị trí của trục trung hòa,

• Ứng suất pháp trong bê tông và thép là

4 - 18

Bài tập ví dụ 4.4

HƯỚNG GIẢI:

• Chuyển đổi thành một dầm được làm

hoàn toàn bằng bê tông.

• Xác định các thuộc tính của mặt cắt

chuyển đổi.

• Tìm ứng suất lớn nhất trong bê

tông và thép.

Một sàn bê tông được gia cường bởi các thanh thép có đường kính 5/8 in. Biết mô đun đàn hồi của thép là 29x106psi và của bê tông là 3.6x106psi. Mô men uốn tác dụng trên 1-ft chiều rộng của sàn là 40 kip*in, xác định ứng suất lớn nhất trong bê tông và thép.

4 - 19

Bài tập ví dụ 4.4

LỜI GIẢI: • Chuyển đổi thành dầm được làm bằng bê tông.

• Xác định các thuộc tính của mặt cắt chuyển đổi.

• Tìm ứng suất lớn nhất trong bê tông và thép.

4 - 20

Tập trung ứng suất

Tập trung ứng suất có thể xảy ra:

• Tại vùng lân cận của điểm đặt lực

• Tại vùng lân cận của mặt cắt thay

đổi đột ngột.

4 - 21

Biến dạng dẻo

• Uốn thuần túy thanh bất kỳ

• Nếu thanh được làm từ vật liệu đàn hồi tuyến tính, thì trục trung hòa sẽ đi qua trọng tâm của mặt cắt

biến dạng biến thiên tuyến tính

và

• Nếu vật liệu có quan hệ ứng suất-biến dạng là phi tuyến, thì vị trí của trục trung hòa phải thỏa mãn

• Với thanh có 2 mặt phẳng đối xứng và vật liệu có quan hệ ứng suất – biến dạng về kéo và nén tương tự nhau, thì trục trung hòa sẽ đi qua trọng tâm của mặt cắt và mối quan hệ ứng suất – biến dạng có thể được sử dụng để biểu diễn sự phân bố biến dạng từ sự phân bố ứng suất.

4 - 22

Biến dạng dẻo

• Khi ứng suất lớn nhất bằng độ bền tới hạn của vật liệu, phá hỏng sẽ xảy ra và mô men tương ứng Mu được xem như là mô men uốn tới hạn.

• Giới hạn bền uốn, RB, được xác định từ một giá trị thực nghiệm của Mu và giả thiết ứng suất phân bố tuyến tính.

• RB có thể được sử dụng để xác định Mu của

thanh bất kỳ được làm bằng cùng một loại vật liệu và có cùng hình dáng mặt cắt ngang nhưng kích thước khác nhau.

4 - 23

Các dầm làm từ vật liệu đàn dẻo

• Dầm chữ nhật được tạo thành từ vật liệu đàn dẻo

• Nếu mô men tăng vượt quá mô men đàn hồi lớn nhất, vùng dẻo sẽ phát triển xung quanh một lõi đàn hồi.

• Khi mô men uốn tăng thêm nữa, thì bề dày của lõi đàn hồi sẽ tiến dần tới 0, tương ứng với biến dạng dẻo hoàn toàn.

4 - 24

Biến dạng dẻo của thanh chỉ có một mặt đối xứng

• Biến dạng dẻo hoàn toàn của một dầm chỉ có một

mặt phẳng đối xứng.

• Trục trung hòa không thể coi là đi qua trọng tâm

của mặt cắt.

• Hợp lực R1 và R2 của các lực phân tố chịu kéo và

nén tạo thành một ngẫu lực.

Trục trung hòa chia mặt cắt thành 2 phần có diện tích bằng nhau.

• Mô men dẻo của thanh,

4 - 25

Ứng suất dư

liệu đàn dẻo nếu mô men uốn đủ lớn.

• Vùng dẻo sẽ phát triển trong dầm làm bằng vật

• Do quan hệ tuyến tính giữa ứng suất pháp và biến dạng tại mọi điểm trong suốt quá trình nhả tải, nên nó có thể được sử dụng bằng cách giả thiết dầm đàn hồi hoàn toàn.

• Ứng suất dư đạt được bằng cách áp dụng nguyên lý xếp chồng để xác định các ứng suất do chất tải bởi mô men M gây nên (biến dạng đàn dẻo) và nhả tải bởi mô men -M (biến dạng đàn hồi).

• Giá trị cuối của ứng suất tại một điểm trong

trường hợp tổng quát sẽ không bằng 0.

4 - 26

Ví dụ 4.05, 4.06

Một dầm mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu mô men uốn M = 36.8 kN-m như hình vẽ. Biết dầm được tạo thành từ vật liệu đàn dẻo có giới hạn bền là 240 MPa và mô đun đàn hồi là 200 GPa.

Xác định (a) bề dày của lõi đàn hồi, (b) bán kính

cong của mặt trung hòa.

Sau khi tải trọng được giảm về 0, xác định (c) sự phân bố của ứng suất dư, (d) bán kính cong.

4 - 27

Ví dụ 4.05, 4.06

• Bán kính cong:

• Bề dày của lõi đàn hồi:

• Mô men đàn hồi lớn nhất:

4 - 28

Ví dụ 4.05, 4.06

• M = 36.8 kN-m • M = -36.8 kN-m • M = 0

4 - 29

Kéo nén lệch tâm trong mặt phẳng đối xứng

• Ứng suất do kéo nén lệch tâm gây ra được xác

định bằng cách xếp chồng ứng suất phân bố đều do kéo nén đúng tâm gây ra và ứng suất phân bố tuyến tính do uốn thuần túy gây ra

• Kéo nén lệch tâm

• Nhận xét: Để sử dụng được biểu thức trên, ứng suất phải nhỏ hơn giới hạn đàn hồi, biến dạng ảnh hưởng không đáng kể đến hình dáng, và không xác định ứng suất ở gần điểm đặt tải.

4 - 30

Ví dụ 4.07

HƯỚNG GIẢI:

• Xác định tải trọng dọc trục và mô

• Xếp chồng ứng suất phân bố đều do kéo đúng tâm gây ra và ứng suất phân bố tuyến tính do uốn gây ra.

men uốn tương đương.

• Tính ứng suất kéo và nén lớn nhất tại các cạnh trong và ngoài theo nguyên lý xếp chồng.

• Xác định trục trung hòa bằng cách tìm vị trí có ứng suất pháp bằng 0.

Một mắt xích hở được tạo thành bằng cách uốn các thanh thép thành hình dạng như hình vẽ. Với tải trọng 160 lb, xác định (a) ứng suất kéo và nén lớn nhất, (b) khoảng cách giữa tâm mặt cắt với trục trung hòa.

4 - 31

Ví dụ 4.07

• Ứng suất pháp do kéo

đúng tâm gây ra

• Tải trọng đúng tâm và mô men uốn tương đương

• Ứng suất pháp do mô

men uốn gây ra

4 - 32

Ví dụ 4.07

• Vị trí trục trung hòa • Ứng suất kéo và nén lớn nhất

4 - 33

Bài tập ví dụ 4.8

Ứng suất cho phép lớn nhất về kéo và nén của thanh gang lần lượt là 30 MPa và 120 MPa. Xác định tải trọng lớn nhất P tác dụng lên thanh.

HƯỚNG GIẢI:

• Xác định tải trọng dọc trục và mô men

uốn tương đương.

• Xếp chồng các ứng suất do kéo đúng

tâm và uốn gây ra.

• Xác định tải trọng tới hạn theo ứng suất

Từ bài tập mẫu 4.2, cho phép về kéo và nén.

• Tải trọng lớn nhất cho phép là giá trị nhỏ

hơn trong số các tải trọng tới hạn.

4 - 34

Bài tập ví dụ 4.8

• Xác định tải trọng đúng tâm và mô men uốn tương

đương.

• Xếp chồng các ứng suất do kéo đúng tâm và uốn

gây ra

• Tính tải trọng tới hạn theo ứng suất cho phép.

• Tải trọng cho phép lớn nhất

4 - 35

Uốn xiên

• Phân tích uốn thuần túy mới chỉ giới hạn cho các dầm chịu các ngẫu lực nằm trong mặt phẳng đối xứng.

• Các dầm vẫn đối xứng và uốn trong mặt

phẳng đối xứng.

• Trục trung hòa của mặt cắt ngang luôn

vuông góc với mặt phẳng chứa ngẫu lực (mặt phẳng tải trọng)

• Ta sẽ xét trường hợp mô men uốn không

nằm trong mặt phẳng đối xứng.

• Ta không thể giả thiết rằng dầm sẽ bị uốn

trong mặt phẳng tải trọng.

• Trong trường hợp tổng quát, trục trung hòa của mặt cắt sẽ không vuông góc với mặt phẳng tải trọng.

4 - 36

Uốn xiên

Các điều kiện cân bằng:

•

 trục trung hòa đi qua trọng tâm

Ta đề xuất xác định được điều kiện để trục trung hòa của mặt cắt có hình dạng bất kỳ luôn vuông góc với mặt phẳng tải trọng như hình vẽ.

•

 xác định sự phân bố ứng suất

•

• Hợp lực và mô men từ sự phân bố lực phân tố trên mặt cắt ngang phải thỏa mãn:

 véc tơ mô men phải trùng với trục quán tính chính trung tâm.

4 - 37

Uốn xiên

Nguyên lý xếp chồng được sử dụng để xác định ứng suất trong hầu hết các bài toán uốn xiên.

• Phân tích véc tơ ngẫu lực thành 2 thành phần theo

các trục quán tính chính trung tâm.

• Xếp chồng các thành phần ứng suất phân bố

• Trên trục trung hòa,

4 - 38

Ví dụ 4.08

HƯỚNG GIẢI:

• Phân tích véc tơ mô men thành các thành phần theo các trục quán tính chính trung tâm và tính các ứng suất tương ứng.

• Kết hợp các ứng suất từ các ứng suất

thành phần.

• Xác định góc của trục trung hòa.

Dầm gỗ hình chữ nhật chịu mô men uốn 1600 lb-in trong mặt phẳng tạo một góc 30° so với phương thẳng đứng. Xác định (a) ứng suất lớn nhất trong dầm, (b) góc hợp bởi trục trung hòa với mặt phẳng ngang.