Chương 5

TRỌNG TÂM CỦA VẬT RẮN

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

1/34

Chương 5

1.TÂM CỦA HỆ LỰC SONG SONG.

0

1.1. Định nghĩa

  F F , 1 2

 ,... n F

 kF 

Cho hệ lực song song bất kỳ với

k

,

(hệ có hợp lực) có các điểm đặt tương ứng là

  kr OM

1

n

,... ký hiệu .Ta có định nghĩa M M M 2

Điểm hình học C gọi là tâm của hệ lực song

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

2/34

song được xác định bởi công thức:

Chương 5

n

 F r k k

k

 r C

1 n

F

k

k

1

kF

trong đó, là thành phần hình chiếu của lực

 kF

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

3/34

trên trục ∆ song song với các lực.

Chương 5

1.2. Tính chất

Hợp lực của hệ lực song song đi qua điểm C

và nếu quay các thành phần quanh các điểm

đặt của chúng một góc α trong điều kiện giữ

nguyên điểm đặt và giá trị của các lực thành

phần thì hợp lực của chúng cũng quay quanh

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

4/34

tâm C một góc α.

Chương 5

 R

M1

 1F

 1F

 R

M2

α

 2F

α M3

α

M4

 2F

α α  nF

C   nF 3F  3F

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

5/34

Chương 5

2. ĐỊNH NGHĨA TRỌNG TÂM CỦA VẬT RẮN.

Khảo sát vật rắn nằm gần trái đất. Vật chịu tác

dụng của lực hấp dẫn của trái đất, gọi là trọng

lực P của vật đó. Tâm C của hệ trọng lực được xác định bởi

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

6/34

công thức:

Chương 5

C

 P r k k

M2

Mk

M1  1P

 r C

P

 P r k k P k

  

 kP

 2P

 P

Điểm C (có vị trí cố định đối với vật) gọi là

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

7/34

trọng tâm của vật rắn.

Chương 5

Công thức xác định các tọa độ trọng tâm

P r k k

 rdP .

  

 r   C

 r C

của vật rắn:

1 P

P

V (

)

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

8/34

Dạng hình chiếu trong hệ tọa độ Descarte:

Chương 5

P x k k

P y k

k

P z k

k

;

;

z

.

x C

y C

C

P

P

P

ydP z ;

zdP .

x C

xdP y ; C

C

1 P

1 P

1 P

V (

)

V (

)

V (

)

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

9/34

Chương 5

3.CÁC ĐỊNH LÝ VỀ

TRỌNG TÂM CỦA VẬT RẮN ĐỒNG CHẤT

3.1. Định lý 1:

Nếu vật rắn đồng chất có tâm (trục, mặt

phẳng) đối xứng thì trọng tâm của nó nằm tại

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

10/34

tâm (trên trục, mặt phẳng) đối xứng.

Chương 5

3.2. Định lý 2:

Nếu vật rắn gồm các phần mà trọng tâm của

các phần đó nằm trên một đường thẳng (mặt

phẳng) thì trọng tâm của vật cũng nằm trên

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

11/34

đường thẳng (mặt phẳng) đó.

Chương 5

3.3. Định lý 3 (định lý Guynđanh 1)

Diện tích S của mặt tròn xoay sinh ra do một

đường cong phẳng AB khi quay quanh trục

đồng phẳng , nhưng không cắt nó, được xác

S

Ld 2

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

12/34

định bởi công thức:

Chương 5

S

Ld 2

B

dl

ds

trong đó, L là độ dài

C

x

của đường cong AB,

A

còn d là khoảng

cách từ trọng tâm C

xc

của đường cong

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

13/34

đến trục .

Chương 5

3.4. Định lý 4 (định lý Guynđanh 2)

Thể tích V của một vật tròn xoay sinh ra bởi

một tấm phẳng khi quay quanh trục ∆ và không

Sd

cắt nó, được xác định bởi công thức: 2V

trong đó, S là diện tích tấm phẳng; d là khoảng

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

14/34

cách từ trọng tâm của tấm đến trục ∆.

Chương 5

3.5. Các phương pháp tìm trọng tâm của vật rắn.

3.5.1. Phương pháp đối xứng.

Áp dụng định lý 1.

Ví dụ

Thanh thẳng, vành tròn, mặt tròn, mặt

hình chữ nhật, hình hộp chữ nhật, hình cầu

đồng chất đều có trọng tâm tại tâm đối xứng

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

15/34

của vật đó.

Chương 5

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

16/34

Chương 5

3.5.2. Phương pháp phân chia

Chia vật thành các phần đã biết trọng tâm, rồi

P r k k

  

 r C

P

 kr

áp dụng CT:

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

17/34

Với là véc tơ định vị trọng tâm của phần thứ k.

Chương 5

d

y A

B

Ví dụ: Tìm trọng tâm

b

D

C

O1

của một tấm phẳng

O2

d

đồng chất, hình chữ

H

E

G

X

a

L, với các kích thước

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

18/34

như hình vẽ.

Chương 5

P r k k

  

 r C

 S 1  S

P 1 P 2

2

d

P y A

B

x c

 Px P x 1 1 2 2  P P 1 2

  S x S x 2 2 1 1    S S 2 1

b

D

C

O1

O2

d

x C

H

E

G

 

S x 2 2 S

X

S x 1 1 S 1

2

a

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

19/34

Chương 5

d

y A

B

b

D

x C

C

O1

 

S x 2 2 S

S x 1 1 S 1

2

O2

d

H

E

G

X

a

b d S ; .

a d d . ;

S 1

2

;

  d

.

x 1

x 2

d 2

 a d 2

  a d 2

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

20/34

Chương 5

3.5.3. Phương pháp khối lượng âm

(phương pháp bù).

Khi vật bị khoét nhiều lỗ có hình thù khác nhau

mà trọng tâm của các lỗ khoét có thể tìm

được, thì ta có thể áp dụng phương pháp phân

chia ở trên, với điều kiện là các lỗ khoét đi có

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

21/34

khối lượng mang dấu âm.

Chương 5

y

Ví dụ: Tìm trọng tâm

R

của một tấm tròn

b/2

O

đồng chất, có bán

x

b/2

kính R, bên trong

tấm bị cắt đi một

a

miếng hình chữ nhật

có hai cạnh a, b ở vị

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

22/34

trí như hình vẽ.

Chương 5

3.5.4. Phương pháp tích phân.

Nếu vật là một khối đồng chất có thể tích V:

 rdP

;

V P .

 rdV

;

 r C

 r C

1 P

1 V

V (

)

V (

)

 rdS

;

 r C

Nếu vật là một mặt đồng chất có diện tích S:

1 S

S

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

23/34

Chương 5

Nếu vật là một thanh đồng chất, có chiều dài L:

 rdL

;

 r C

1 L

L

(

)

Ví dụ

Tìm trọng tâm của nửa đĩa tròn đồng

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

24/34

chất, có bán kính R

Chương 5

y

y

d

x

x

O

O

R

R

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

25/34

Chương 5

3.5.4. Phương pháp áp dụng các định lý

Guynđanh.

Ví dụ

Tìm trọng tâm của cung tròn đồng chất bán

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

26/34

kính R, với góc ở tâm là 2

Chương 5

y

B

R

h/2

C

O

x

α α xc

h/2

A

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

27/34

Chương 5

4.TRỌNG TÂM CỦA MỘT SỐ VẬT RẮN ĐỒNG CHẤT

 Trọng tâm của một thanh đồng chất là

A

C

B

a

a

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

28/34

điểm giữa của thanh.

Chương 5

 Trọng tâm của các hình bình hành, hình chữ

nhật, hình vuông,đường tròn, mặt tròn, khối hộp

chữ nhật, khối lập phương đồng chất là tâm của

C

C r

r

C C

C

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

29/34

chúng.

Chương 5

Trọng tâm của tam giác đồng chất là giao

C

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

30/34

của các đường trung tuyến

Chương 5

AOB 

2

B

R

C

O

R

Cx

x

sin 

α α xc

A

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

31/34

Trọng tâm của cung tròn đồng chất AB có bán kính R và góc tại tâm: (cid:0) y

Chương 5

AOB 

2

y

B

R

R

x C

2 3

sin 

C

O

α α

x

xc

A

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

32/34

Trọng tâm của quạt tròn đồng chất AOB có bán kính R và góc tại tâm (cid:0)

Chương 5

Trọng tâm của khối hình chóp, khối hình

nón đồng chất

Trọng tâm của khối hình chóp, khối hình nón

đều nằm trên đoạn thẳng nối từ đỉnh S đến

trọng tâm O của đáy, và chia đoạn đó theo tỷ

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

33/34

lệ:

Chương 5

S

S

CO

SO

1 4

C

C

O

O

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

34/34

Ví dụ 1

Tìm trọng tâm của tấm tròn đồng chất O,

bán kính R, bị khuyết lỗ tròn A, bán kính r.

O

X

A

Biết OA = a, a + r < R.

Bài giải

Tấm khuyết do tấm nguyên O ghép với phần

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

35/34

khuyết A mang trọng lượng âm.

Ví dụ 1

2

S

 

 r

Vì đồng chất nên trọng lượng tỉ lệ với diện tích,

0

2 R S ; A

tức là:

Vì đối xứng nên trọng tâm G nằm trên trục x

(qua O, A).

2

2

 

x G

S x . 0 0

S x . A

A

2

1 S

2  r a . R .0 2 2   r R

 

a r . 2 

r

R

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

36/34

Chúng ta có x0 = 0, xA = a và

O

X

A

G

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

37/34

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Hãy xác định trọng tâm C của diện tích giới

hạn bởi nữa đường tròn AOB bán kính R và

A

hai đoạn thẳng AD và DB dài bằng nhau,

O

D

B

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

38/34

trong đó OD = 3R.

Ví dụ 2

2

y

A

x C

S x . i i

1   S  1 i

x

O

2

D

R

2

R

 R 2

2 3

  

 2 R R  

  

x C

   2

B

2

2

R

R 4 3   R 2

R

x C

R

1,19

R

Cx

2 3

sin 

 3  3

 

16 12

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

39/34

Bài giải

D

B

Ví dụ 3

d

Hãy tìm trọng tâm các tiết

b

diện ngang hình thước

C

d

thợ có chiều dài OA = a,

A

a

O

OB = b, và độ dày AC =

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

40/34

BD = d.

y

2

Ví dụ 3

x C

S x . i i

D

B

d

y

C

S y . i

i

b

1   S  1 i 2 1   S  1 i

C

2

2

a d .

.

.

 b d d .

d

x

a 2

x C

A

a

O

a d .

.

a 2

  d b d .   a b d

d 2  d b d

.

a d .

.

 b d d d .

2

2

d 2

y

C

   a d .

b 2

ad   d   a b d

 b d   2    . b d d

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

41/34

Bài giải

Ví dụ 4

b D

Hãy tìm khoảng cách từ

h

trọng tâm tiết diện ABCD

hình chữ T đến cạnh AC,

d

A

C

B

biết rằng chiều cao BD =

a

h, chiều rộng của cạnh AC

= a, độ dày cánh bằng d,

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

42/34

và độ dày thành bằng b

0

Cx 

y

d

a d .

.

 b h d .

b

d 2

  

D

y

C

a d .

2

2

2

a d .

d

h

2

a d .

 b h .  b h d

 

 h d  2     b h d .   

d

x

A

C

B

a

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

43/34

Ví dụ 4

20 cm

m c

0 2

m c 5 1

2 cm

2 cm

2 cm

Ví dụ 5

Hãy tìm trọng tâm của tiết diện hai chữ T,

kích thước được cho như hình vẽ.

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

44/34

ĐS: xc = 9cm

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

45/34

Ví dụ 5

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

46/34

Ví dụ 5

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

47/34

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

48/34

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

49/34

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

50/34