c ä h

i

¹ ®

CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội

Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp

July 2009

1(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Chương 6

Lý thuyết đàn hồi tuyến tính

July 2009

2(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

NỘI DUNG

6.1. Định luật Hooke 6.1. Định luật Hooke

6.2. Biểu thức nội năng 6.2. Biểu thức nội năng

6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi 6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi

6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng 6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng

July 2009

3(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi 6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi

6.1. Định luật Hooke

6.1. Định luật Hooke 6.1. Định luật Hooke

Chương 3:

Tĩnh học: trạng thái ứng suất Tĩnh học: trạng thái ứng suất

Chương 4:

Hình học: trạng thái biến dạng Hình học: trạng thái biến dạng

July 2009

4(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Tính chất vật lý: Quan hệ ứng suất - Tính chất vật lý: Quan hệ ứng suất - biến dạng ??? biến dạng ???

6.1. Định luật Hooke

)

fσ ij

ε= ( ij

=

Tổng quát: các ứng suất có thể biểu diễn bằng hàm của các biến dạng

C 11 C

C 12 C

C 13 C

C 14 C

C 15 C

C 16 C

21

22

23

24

25

26

.

C

C

C

C

C

C

31

32

33

34

35

36

=

C

C

C

C

C

C

41

42

43

44

45

46

Đối với vật liệu đàn hồi tuyến tính khi bỏ qua những mất mát nhiệt năng, quan hệ ứng suất – biến dạng là các quan hệ thuần nhất tuyến tính

C

C

C

C

C

C

51

52

53

45

55

56

C

C

C

C

C

C

61

62

63

64

65

66

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

σ ⎧ 11 ⎪ σ ⎪ 22 ⎪ σ ⎪ 33 ⎨ σ ⎪ 12 ⎪ σ 23 ⎪ σ ⎪ ⎩ 13

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

ε ⎧ 11 ⎪ ε ⎪ 22 ⎪ ε ⎪ 33 ⎨ ε ⎪ 12 ⎪ ε 23 ⎪ ε ⎪ ⎩ 13

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

July 2009

5(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

[Cij]6x6 - trận các ma hằng số đàn hồi – 36 phần tử

6.1. Định luật Hooke

2

1 11

3

2

21

22

4

32

31

5

= σ σ 1 11 = σ σ 22 σ σ = 33 σ σ = 23 σ σ = 13 σ σ = 12

6

σ ⎡ 1 ⎢ 6 5 σ ⎢ 2 σ σ σ ⎡ ⎤ 12 13 ⎢ σ ⎢ ⎥ ⇒ ⎢ 4 3 σ σ σ ⎢ ⎥ 23 σ ⎢ 3 4 ⎢ ⎥ σ σ σ ⎣ ⎦ ⎢ 33 σ 5 ⎢ σ ⎢ ⎣ 6

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

July 2009

6(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

6.1. Định luật Hooke

1

2

3

γ = 2ε

2

⇒

21

31

5 6 1 εεε ⎤ ⎡ 12 13 11 ⎥ ⎢ 4 εεε ⎥ ⎢ 22 23 3 ⎥ ⎢ εεε ⎦ ⎣ 33 32

= =

= εε 11 = εε 22 = εε 33 2 = γ ε 4 23 2 γ ε 5 13 2 γ ε 6 12

ε ⎡ 1 ⎢ ε ⎢ 2 ⎢ ε 3 ⎢ γ ⎢ 4 ⎢ γ 5 ⎢ γ ⎢ ⎣ 6

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

July 2009

7(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

6.1. Định luật Hooke

C

C

C

C

C

C

11

12

13

14

15

16

C

C

C

C

C

C

21

22

23

24

25

26

31

32

33

34

35

36

=

C C

C C

C C

C C

C C

C C

41

42

43

44

45

46

51

52

53

54

55

56

C C

C C

C C

C C

C C

C C

61

62

63

64

65

66

σ ⎛ 1 ⎜ σ ⎜ 2 ⎜ σ 3 ⎜ σ ⎜ 4 ⎜ σ ⎜ 5 ⎜ σ ⎝ 6

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

ε ⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ ε ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ε 3 ⎟ ⎜ ε ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ ε ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜ ε ⎠ ⎝ 6

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Tương tác kéo - cắt

Tương tác cắt - cắt

Tương tác kéo - kéo

July 2009

8(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Dị hướng: ứng suất đơn có thể gây nên biến dạng dài và biến dạng góc

July 2009

9(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Vật liệu dị hướng: (a) vật liệu cán, (b) gỗ, (c) sợi thủy tinh trong nền epoxy, và (d) a tinh thể khối lập phương.

6.2. Biểu thức nội năng

6.2. Biểu thức nội năng 6.2. Biểu thức nội năng

A W=

⇒ =A W δ δ

Khi phân tố biến dạng, các nội lực (ứng suất) trên các mặt của phân tố sẽ thực hiện các công (A) trên các chuyển vị đường và chuyển vị góc tương ứng của phân tố. Vật thể đàn hồi lý tưởng: năng lượng sinh ra khi biến dạng được bảo toàn do vậy công của nội lực trên phân tố sẽ hoàn toàn chuyển hoá thành thế năng biến dạng đàn hồi (W) tích lũy trong trong phân tố:

+

=

+

+

=

Aδ σ δε σ δε σ δε σ δε σ δε σ δε σδε + ij

33

13

13

13

33

13

11

11

22

12

12

22

ij

Mà: +

Wδ ⇒ =

(

W W ε=

δε ij

)ij

W ∂ ∂ ε ij

July 2009

10(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Mặt khác thế năng biến dạng đàn hồi là hàm của các thành phần biến dạng

6.2. Biểu thức nội năng

Định lý Green: cácthànhphầnnộilực(ứngsuất) bằngđạohàmriêngcủa thếnăngbiếndạngđànhồiđốivớibiếndạngtươngứng

=

σ ij

∂ W ∂ ε ij

(5.5)

=

Công thức Clapeyron xác định thế năng biến dạng đàn hồi

1 W σ ε 2 ij ij

(5.6)

=

ε ij

Định lý Castigliano

∂ W ∂ σ ij

July 2009

11(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

(5.7)

6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi

6.3.1. Vật liệu đàn hồi dị hướng

6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi 6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi

C 11

C 12 C

C 13 C

C 14 C

C 15 C

C 16 C

22

23

24

25

26

C

C

C

C

33

34

35

36

C

Phần lớn các vật liệu dị hướng đều có cấu trúc đối xứng, các tính chất đối xứng hình học làm giảm đi số lượng các hằng số độc lập của ma trận độ cứng hay ma trận độ mềm. => 21 hằng số

[

]

C

C

C

44

45

46

C

C

§

X

55

56

C

66

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

July 2009

12(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi

Trục đối xứng đàn hồi:

Trong hệ trục toạ độ Ox1x2x3 và Ox’1x’2x’3 (x3≡x’3) tại 1 điểm xác định nếu các hằng số đàn hồi Cij không thay đổi khi chuyển từ hệ trục này sang hệ trục khác bằng phép quay => x3 (x’3) là trục đối xứng đàn hồi

Mặt phẳng đối xứng đàn hồi:

July 2009

13(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Nếu phép biến đổi là đối xứng gương của các trục đối với một mặt phẳng nào đó thì mặt phẳng này gọi là mặt phẳng đối xứng đàn hồi (mặt phẳng x1x2)

6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi

Ma trận biến đổi hệ trục toạ độ:

July 2009

14(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Mặt phẳng đối xứng đàn hồi:

6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi

6.3.2. Vật liệu đơn nghiêng (monoclinic)

a

b c

e2

e’2

e1

e’3 e’1

e3

15(39)

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Nếu tồn tại một mặt phẳng đối xứng đàn hồi (mặt phẳng vuông góc với e3) thì gọi là vật liệu đơn nghiêng, khi đó số các hằng số độc lập trong ma trận độ cứng và độ mềm là 13.

6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi

6.3.3. Vật liệu trực hướng (orthotropic)

001

0

0

0

01 10

0 0

01 − 0 1

10 00

⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 − ⎦

01 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡− ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎣

b

c

a

July 2009

16(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Vật liệu có 3 mặt phẳng đối xứng đàn hồi vuông góc với nhau từng đôi một, khi đó ma trận độ cứng và ma trận độ mềm chỉ còn 9 hằng số độc lập.

6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi

6.3.4. Vật liệu đẳng hướng ngang

Nếu một trong các mặt phẳng đối xứng đàn hồi của vật liệu trực hướng là đẳng hướng thì gọi là vật liệu đẳng hướng ngang.

cos

sin

0

θ

θ

0

0

0

12

11

12

]

[ Q

θ

θ

0

0

0

sin 0

cos 0

0 1

23

12

22

⎡ ⎢ −= ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

0

0

0

22

12

23

0

0

0

0

0

−

C

( C

)

22

23

1 2

0

66

0 0

0 0

0 0

0 0

C 0

C

66

CCC ⎡ ⎢ CCC ⎢ ⎢ CCC ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

July 2009

17(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Ma trận độ cứng và ma trận độ mềm chỉ còn lại 5 hằng số độc lập.

6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi

6.3.5. Vật liệu đẳng hướng

C

C

C

0

0

0

11

12

12

12C λ=

12

11

12

C

−

=

μ

)

12

( 11 C

C C

C C

C C

0 0

0 0

0 0

12

12

11

1 2

C

C

0

0

0

0

0

−

)

11

12

(

λ, μ - hằng số Lamé

1 2

C

C

0

0

0

0

0

−

)

11

12

(

1 2

0

0

0

0

0

C

C

−

)

11

12

(

1 2

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

July 2009

18(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Nếu mọi mặt phẳng đối xứng vật liệu trong vật liệu trực hướng đều là đẳng hướng thì gọi là vật liệu đẳng hướng. Tính chất của vật liệu theo mọi phương là như nhau, lúc này số các hằng số độc lập chỉ còn 2

6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi

2

=

+

2σ με λθ

=

+

σ με δ λθ ij

ij

ij

11

11

2σ 12

με= 12

λ- hằng số Lamé

Định luật Hooke cho vật thể đàn hồi đẳng hướng có thể viết dưới dạng sau:

+ με λθ

2σ 13

με= 13

2σ = 22

22

μ – modul đàn hồi trượt

2σ 23

με= 23

+ με λθ

2σ = 33

33

+

2

0

0

0

=

μ

+

0 0

λ

=

=

0 0 0

(5.13a)

( 1

0 0 0 0

1 2 − +

) ν +

=

E ) ( 2 1 + ν Eν )( + ν = iiθ ε ε ε ε

11

22

33

μλλ 0 0 0

λ 0 0 0

μ 0 0

μ 0

λμλ λ ⎡ ⎢ + 2 λμλλ ⎢ ⎢ 2 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ μ ⎥ ⎦

σ ⎡ 1 ⎢ σ ⎢ 2 ⎢ σ 3 ⎢ τ ⎢ 4 ⎢ τ 5 ⎢ τ ⎢ ⎣ 6

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

ε ⎡ 1 ⎢ ε ⎢ 2 ⎢ ε 3 ⎢ γ ⎢ 4 ⎢ γ 5 ⎢ γ ⎢ ⎣ 6

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

July 2009

19(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi

1

1

=

−

ε ij

σ ij

δσ ij kk

=

=

−

+

ε 12

σ 12

)

ε 11

11

22

( σ ν σ σ ⎡ ⎣ 33

⎤ ⎦

+ ν E

ν E

1 E

1

ν - hệ số Poisson

=

ε 13

σ 13

=

−

+

)

ε 22

11

22

( σ ν σ σ ⎡ ⎣ 33

⎤ ⎦

ν + E ν + E

1

=

=

−

+

ε 23

σ 23

)

μ

=

ε 33

33

11

( σ ν σ σ ⎡ ⎣ 22

⎤ ⎦

ν + E

1 E 1 E

E ) ( 2 1 + ν

E/

E/

E/

0

0

0

G (Sức bền Vật liệu)

E/ E/

− ν − E/ ν E/ 1

0 0

0 0

0 0

=

− ν E/ 1 − E/ ν 0

0

1

/

0

0

0

0

0

μ 0

1

/

0

0

0

0

0

μ 0

1

/

1 ⎡ ⎢ − ν ⎢ ⎢ − ν ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ μ ⎥ ⎦

ε ⎡ 1 ⎢ ε ⎢ 2 ⎢ ε 3 ⎢ γ ⎢ 4 ⎢ γ 5 ⎢ γ ⎢ ⎣ 6

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

σ ⎡ 1 ⎢ σ ⎢ 2 ⎢ σ 3 ⎢ τ ⎢ 4 ⎢ τ 5 ⎢ τ ⎢ ⎣ 6

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

July 2009

20(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Dạng biểu diễn biến dạng qua ứng suất của định luật Hooke

6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản

6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng 6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng

S1

V

6.4.1. Các phương trình cơ bản Vật thể đàn hồi tuyến tính có thể tích V, mật độ vật chất ρ bề mặt giới hạn S, nằm cân bằng dưới tác động của ngoại lực thể tích có cường độ f trong toàn bộ hay một phần thể tích V, của ngoại lực bề mặt có cường độ f* trên phần S1 của mặt giới hạn, và của các chuyển vị cưỡng bức cho trước u0 trên phần S2 của mặt giới hạn. Mục đích: Xác định ứng suất, chuyển vị và biến dạng của vật thể đàn hồi • Bài toán tĩnh: gia tốc các chuyển vị bằng không • Bài toán động: gia tốc các chuyển vị khác không

July 2009

21(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

S2

6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản

Phương hướng giải quyết: • Các phương trình cân bằng: quan hệ giữa các ứng suất với nhau, giữa các ứng suất và các ngoại lực. • Các phương trình hình học: quan hệ giữa các biến dạng và chuyển vị, các quan hệ giữa các biến dạng với nhau. • Các phương trình vật lý: quan hệ giữa các ứng suất và các biến dạng (định luật Hooke). • Tìm cách giải hệ thống các phương trình kể trên.

July 2009

22(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Các phương trình cơ bản

6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản

+

+

=

0

f 1

σ ∂ 31 x ∂

+

+

+

f

=

0

2

(5.16)

2 σ ∂ 22 x ∂

3 σ ∂ 32 x ∂

+

+

+

=

0

f 3

2 σ ∂ 32 x ∂

3 σ ∂ 33 x ∂

σ σ ∂ ∂ 11 21 + x ∂ x ∂ 1 σ ∂ 12 x ∂ 1 σ ∂ 31 x ∂ 1

2

3

a. Hệ phương trình cân bằng Navier-Cauchy (3.7)

=

=

+

b. Hệ phương trình hình học Cauchy (4.15)

γ γ = 21

12

2 ε 12

=

ε 11

u ∂ 1 x ∂

u ∂ 2 x ∂ 1

2

+

=

=

=

=

γ 23

γ 32

2 ε 23

ε 22

(5.17)

=

=

+

=

= γ γ 31

13

2 ε 13

ε 33

u ∂ 2 x ∂ 3 u ∂ 1 x ∂

u ∂ 1 x ∂ 1 u ∂ 2 x ∂ 2 u ∂ 3 x ∂

u ∂ 3 x ∂ 2 u ∂ 3 x ∂ 1

3

3

July 2009

23(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản

c. Hệ phương trình tương thích Saint-Venant (4.33-4.34)

2

+

=

=

∂ ∂

2 ε 11 2 x 2

2

2

2

=

=

3

3

2

+

=

=

2 ∂ ε 22 2 x ∂ 1 2 2 ε ∂ ε ∂ 33 11 + 2 2 x x ∂ ∂ 1 3 2 2 ∂ ε ∂ ε 33 22 2 2 x x ∂ ∂ 2 3

2 ∂ ε 12 x x ∂ ∂ 1 2 ∂ ε 13 x x ∂ ∂ 1 2 ∂ ε 23 x x ∂ ∂ 2

3

2 ∂ γ 12 x x ∂ ∂ 1 2 ∂ γ 13 x x ∂ ∂ 1 2 ∂ γ 23 x x ∂ ∂ 2

3

(5.18)

=

−

+

+

∂ ε 31 x ∂

ε ∂ 12 x ∂

2 ε ∂ 11 x x ∂ ∂ 2

3

∂ x ∂ 1

∂ ε 23 x ∂ 1

2

3

=

−

+

+

∂ x ∂

∂ ε 31 x ∂

∂ ε 12 x ∂

2 ∂ ε 22 x x ∂ ∂ 3 1

2

2

3

∂ ε 23 x ∂ 1

=

+

+

∂ x ∂

ε ∂ 31 x ∂

2 ε ∂ 33 x x ∂ ∂ 1

2

3

3

ε ∂ 23 x ∂ 1

2

⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ ε⎛ ∂ 12 − ⎜ x ∂ ⎝

⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠

July 2009

24(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản

2σ με λθ

+

=

11

11

2σ 12

με= 12

d. Hệ phương trình vật lý (Định luật Hooke) (5.13a-5.13b)

+ με λθ

2σ 13

με= 13

• 3 phương trình (5.16)

2σ = 22

22

2σ 23

με= 23

+ με λθ

• 6 phương trình (5.17) hoặc (5.18)

2σ = 33

33

(5.19a)

• 6 phương trình (5.19a) hoặc (5.19b)

1

=

=

−

+

ε 12

σ 12

)

ε 11

22

11

( σ ν σ σ ⎡ ⎣ 33

⎤ ⎦

1 E

1

=

ε 13

σ 13

=

+

−

)

ε 22

11

22

( σ ν σ σ ⎡ ⎣ 33

⎤ ⎦

ν + E ν + E

Hệ gồm 15 phương trình vi phân và đại số:

1

=

15 hàm ẩn: 6 ứng suất + 6 biến dạng + 3 chuyển vị

=

−

+

ε 23

σ 23

)

ε 33

11

33

( σ ν σ σ ⎡ ⎣ 22

⎤ ⎦

ν + E

1 E 1 E

(5.19b)

July 2009

25(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Điều kiện biên ???

6.4.2. Điều kiện biên

6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản

*

a. Điều kiện biên theo ứng suất (điều kiện biên tĩnh học) a. Điều kiện biên theo ứng suất (điều kiện biên tĩnh học)

σ σ σ

+

+

l 21 2

l 11 1

l 31 3

= * f 1

σ σ σ

+

+

l 22 2

l 12 1

l 32 3

= * f 2

σ σ σ

+

+

l 23 2

l 13 1

l 33 3

= * f 3

July 2009

26(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Trên bề mặt S1 của vật thể if chịu lực bề mặt cường độ

theo chuy chuyểểnn vvịị ((điđiềềuu kikiệệnn biênbiên đđộộngng hhọọcc)) b. b. ĐiĐiềềuu kikiệệnn biênbiên theo b. Điều kiện biên theo chuyển vị (điều kiện biên động học)

usi= u0i ; vsi= v0i(hoặc các đạo hàm của chuyển vị)

Trên phần bề mặt S2 chịu các chuyển vị hoặc các đạo hàm của chuyển vị cưỡng bức

July 2009

27(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

u0, v0 là các thành phần chuyển vị đã biết trên bề mặt.

6.4. Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản

c. Nguyên lý Saint-Venant c. Nguyên lý Saint-Venant

Khi giải các bài toán biên, để giảm bớt khó khănkhi tính toán người ta thường sử dụng một nguyên lý nổi tiếng là nguyên lý Saint-Venant:

Nếutrênmộtmiềnnhỏcủavậtthểđànhồicó tácdụngmộthệlựctrongtrạngtháicânbằng, thì ởnhữngnơiđủxamiềnđặtlựcđó, trạngthái ứngsuấtvà biếndạngchỉphụthuộcvàohợp lựcđặtvào, mà khôngphụthuộcvàohìnhthức phânbốcủacáclựcđó.

July 2009

28(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Áp dụng nguyên lý này, ta có thể thay thế các điều kiện biên vi phân viết theo ứng suất bằng các điều kiện biên tích phân viết theo hợp lực.

Saint-Venant’s Principle

July 2009

29(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi

6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi 6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi

Nếu giải cùng lúc 15 phương trình trên để nhận được 15 ẩn số: cồng kềnh về mặt toán học

Thu gọn về một số phương trình để tìm một số hàm ẩn chính - các phương trình để giải của bài toán

(cid:131) Cách giải theo chuyển vị: chọn các ẩn cơ bản là các thành phần chuyển vị

(cid:131) Cách giải theo ứng suất: chọn các ẩn cơ bản là các thành phần ứng suất

(cid:131) Cách giải hỗn hợp: Chọn một phần ẩn chuyển vị, một phần ẩn ứng suất

July 2009

30(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Các ẩn số còn lại sẽ tìm được sau khi đã xác định được cácẩn s ố chính.

6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi

6.5.1. Cách giải theo chuyển vị

Ẩn số là các thành phần chuyển vị ui , để xác định chúng cần 3 phương trình

2

θ

=

+

+

μ

( ) μ λ +

+

2 u ∇ + 1

f 1

u ∂ 1 x ∂ 1

u ∂ x ∂ 2

u ∂ 3 x ∂ 3

2

2

2

∂

∂

∂

2 ∇ =

+

+

f

+

μ

( ) + μ λ

2 u ∇ + 2

2

2 d u 1 2 dt 2 d u 2 2 dt

θ ∂ x ∂ 1 ∂ θ x ∂ 2

2 x ∂ 1

2 x ∂ 2

2 x ∂ 3

f

μ

( ) μ λ +

+

2 u ∇ + 3

3

Từ 3 phương trình cân bằng, biểu diễn ứng suất qua biến dạng, rồi biến dạng qua chuyển vị ta nhận được hệphương trình Lamê.

2 d u 3 2 dt

θ ∂ x ∂ 3

⎛ 0 = ⎜ ⎝ ⎛ 0 = ⎜ ⎝ ⎛ 0 = ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠

(5.21)

Pt quan hệ cvị-bdạng

Định luật Hooke

Nabla kép

u i

εi

σi

July 2009

31(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Giải (5.21)

6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi

6.5.2. Cách giải theo ứng suất

Sáu ẩn ứng suất cần 6 phương trình. Ba phương trình cân bằng (hoặc chuyển động) và điều kiện biên không đủ xác định trạng thái ứng suất một cách duy nhất => Bài toán siêu tĩnh => Cần bổ sung phương trình : biến đổi phương trình tương thich biến dạng

2

2

(1

0

) v + ∇

+

=

+

=

(1

0

v ) + ∇

+

=

2 σ 12

2 σ 11

S σ σ σ + 33

22

11

là hàm tổng ứng suất

2

(1

0

) v + ∇

+

=

(1

0

) v + ∇

+

=

2 σ 13

2 σ 22

∂ 2 ∂ ∂ 2 ∂

S ∂ x x ∂ ∂ 1 2 S ∂ x x ∂ ∂ 1 3

S x 1 2 S x 2

2

2

0

(1

=

) v + ∇

+

2 σ 23

(1

0

v ) + ∇

+

=

2 σ 33

(5.22)

S ∂ x x ∂ ∂ 2 3

∂ 2 ∂

S x 3

July 2009

32(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Từ các pt tương thích, biểu diễn biến dạng qua ứng suất nhờ các pt định luật Hooke, chú ý đến 3 pt cân bằng ta nhận đượchệ pt Beltrami-Michel

6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi

6.5.3. Các phương pháp giải - Lời giải giải tích và lời giải số

Bài toán thuận: xác định ứng suất, biến dạng xuất hiện trong vật thể có hình dáng cho trước, chịu tác dụng của lực ngoài cho trứơc => Tích phân phương trình vi phân cân bằng hay chuyển động với điều kiện biên và điều kiện ban đầu

(cid:190) Phương pháp thuận: Tích phân trực tiếp các phương trình, các hằng số xác định theo điều kiện biên. Khó khăn về mặt toán học.

Bài toán ngược: cho biết trước biến dạng hay ứng suất, cần phải xác định lực ngoài tác dụng lên vật thể để sinh ra biến dạng đó

July 2009

33(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

(cid:190) Phương pháp ngược: Cho nghiệm, thử các điều kiện của bài toán. Nếu đúng thì nghiệm ban đầu cho là đúng, nếu sai thì chọn lại nghiệm khác. Khó khăn về mặt thời gian (chỉ dùng trong một số bài toán đơn giản).

6.5. Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi

34(39)

July 2009

• Lời giải giải tích: cho kết quả nghiệm là những hàm số giải tích - biết nghiệm tại mọi điểm của vật thể => Phương pháp giải tích. • Lời giải số: cho kết quả nghiệm bằng số tại một số điểm của vật thể. => Phương pháp số. • Cùng với sự phát triển của công cụ tính toán, phương pháp số ngày càng được ứng dụng rộng rãi và tỏ ra rất hữu hiệu trong việc giải quyết các bài toán thực tế kỹ thuật (phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn...) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

(cid:190) Phương pháp nửa ngược (Saint-Venant): Cho dạng nghiệm, dạng này có thể đã thoả mãn một vài điều kiện nào đó của bài toán nhưng dạng nghiệm còn chứa một số hằng số hoặc hàm số chưa xác định. Những hàm số, hằng số này có thể tìm được từ những điều kiện còn lại của bài toán. (đa số các bài toán sử dụng phương pháp này) Phần lớn các bài toán quan trọng của kỹ thuật đều giải bằng phương pháp nửa ngược (cid:153)Cácdạnglờigiải:

p0 Bài toán phẳng p(x)

x

β

m l

f f

+ +

( τ ( τ

= =

l ( ) σ x s ( m ) σ y s

) xy s ) xy s

* x * y

B A

h

y

Ví dụ (điều kiện biênứ ng suất ) C

AB（y = 0）：

1

l

−=

f

0,

f

p x ( )

=

= −

= −

* x

* y

p 0

= m ,0 x l

0

=

0 +⋅

0)1( =−⋅

xyτ

0

=y

xp )(

τ xy )1( +−⋅

0 −=⋅

σ x σ y

τ yx

xp )(

p

σ

=

=

0

yy

0

=

x l

July 2009

35(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

l

p0 Biên AC p(x)

(cid:68)

N x , )

cos(90

l

=

+

) β

x

β

B A

h

cos( sin cos(

β yN ,

)

= = − m =

=

βcos

y

C

sin

cos

0

( −⋅

β =

σ x

sin

⋅

β

0) =

) τβ ⋅+ xy cos ( τβσ −⋅+ yx

y

July 2009

36(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

l

Điều kiện biên chuyển vị

p0 p(x)

x

β

u

u

=

s

B A

s

h

y

C

v w

v w

= =

s

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

u

|

,0

v

|

0

=

=

lx =

lx =

l

,0

0

=

=

u ∂ y ∂

v ∂ x ∂

lx =

lx =

July 2009

37(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

BC（x = l）：

July 2009

38(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com