c ä h
i
¹ ®
CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội
Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp
July 2009 1(39)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
Chương 7
Bài toán đàn hồi phẳng trong hệ toạ độ vuông góc
July 2009 2(39)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
NỘI DUNG
7.1. Bài toán ứng suất phẳng 7.1. Bài toán ứng suất phẳng
7.2. Bài toán biến dạng phẳng 7.2. Bài toán biến dạng phẳng
7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy 7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy
July 2009 3(39)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
Mở đầu
Bài toán không gian: là bài toán tổng quát, các đại lượng tính toán như ứng suất, biến dạng, chuyển vị phụ thuộc vào ba biến số trong toạ độ không gian ba chiều.
Bài toán phẳng: Các đại lượng cần xác định chỉ phụ thuộc vào hai trong ba biến số toạ độ. Loại bài toán này chia làm hai nhóm: bài toán ứng suất phẳng và bài toán biến dạng phẳng. Bài toán ứng suất phẳng: vật thể chịu lực chỉ gây nên ứng suất trong một mặt phẳng. Chẳng hạn tấm tường mỏng chịu lực phân bố đều trên chiều dày tấm và song song với mặt trung bình. Bài toán biến dạng phẳng: vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng trong một mặt phẳng. Các loại tường chắn, đập nước, vỏ hầm chịu tải trọng không đổi theo chiều dài thuộc lớp bài toán này.
Để thuận tiện khi sử dụng đối với bài toán phẳng ta kí hiệu hệ trục trong mặt phẳng trung bình tấm là x, y thay cho x1, x2 và trục vuông góc với mặt trung bình theo phương chiều dày tấm là z.
July 2009 4(39)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
7.1. Bài toán ứng suất phẳng
7.1. Bài toán ứng suất phẳng 7.1. Bài toán ứng suất phẳng
Giả thiết:
- Tải trọng nằm trong mặt phẳng tấm (xy)
- Chiều dày tấm là bé so với các kích thước
còn lại (h< - Ví dụ: tấm mỏng yσ xyτ ) z 0=±= h xyτ xσ z 0=±= h yσ xyτ 0= xyτ )
) (
zσ
(
zxτ
(
zyτ z ±= h xσ ,
τσσ ,
xy y x July 2009 5(39) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com 7.1. Bài toán ứng suất phẳng 1. Đặc điểm: (mặt trên và dưới không có tải trọng)=> (cid:131) Giả thiết: 0 = zy zx σ σ σ
=
zz
γ γ=
zy zx ;
; (cid:131) Các ẩn số biến dạng: =
0
=
;
σ σ σ
(cid:131) Các ẩn số ứng suất:
xy
xx
yy
;
ε ε ε
xy yy xx 0 = − + = ≠ ε
zz xx ( ) ⎡
ε ε
+
⎣
yy ⎤
⎦ ⎡
μ σ σ
⎣
xx
yy ⎤
⎦ 1 1
E μ μ
− ⎛
⎜
⎝ ⎞
⎟
⎠ 2. Phương trình cân bằng: 0 + = xf σ ∂
σ
∂
yx
xx
+
y
x
∂
∂ 0 + + = yf ∂
σ
xy
x
∂ ∂
σ
yy
y
∂ July 2009 6(39) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com 7.1. Bài toán ứng suất phẳng 3. Phương trình động hình học Cauchy ( ) = + = ε
xy = ε
yy ε
xx 1
2 u
∂
y
∂ v
∂
x
∂ u
∂
x
∂ v
∂
y
∂
4. Phương trình tương thích: ∂ ∂ 2 + = 2
ε
yy
2 2
ε
xy
yx
∂∂ x
∂ 2
ε
∂
xx
2
y
∂
5. Phương trình định luật Hooke: = ε
xx xx ⎡
σ νσ
−
⎣
yy ⎤
⎦ 1 ν
1 = ε
x
ε
y = 1 E
2
−
ν ε
yy yy 1 ⎡
σ νσ
−
⎣
xx ⎤
⎦ 1
E
1
E 00 ⎧
σ
x
⎪
σ
⎨
y
⎪
τ
⎩
xy ⎫
⎪
⎬
⎪
⎭ ⎧
⎪
⎨
⎪
γ
⎩
xy ⎫
⎪
⎬
⎪
⎭ ⎡
⎢
⎢
ν
⎢
⎢
⎣ ⎤
0
⎥
⎥
0
⎥
−
ν
⎥
2
⎦ 1 = = ε
xy σ
xy σ
xy +
ν
E 1
2
μ ε = − zz ε + ε
xx yy ( ) 1 ν
− ν July 2009 7(39) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com 7.2. Bài toán biến dạng phẳng 7.2. Bài toán biến dạng phẳng
7.2. Bài toán biến dạng phẳng yε xyγ xyγ Chỉ tồn tại biến dạng trong một mặt phẳng , , γεε
y
xy x xε Đập nước Đoạn chiều dài 1 đ.v 1 yσ xyτ y xyτ xσ zσ x z Ống trụ chịu áp lực trong hoặc ngoài,
hai đầu bị ngàm chặt July 2009 8(39) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com July 2009 9(39) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com 7.2. Bài toán biến dạng phẳng 1. Đặc điểm: 0; = = (cid:131) Giả thiết: σ σ
zy ⇒ =
zx )0 (
zz ≠σ ε ε ε
zy
zz zx (cid:131) Các ẩn số ứng suất: (cid:131) Các ẩn số biến dạng: xx 2. Phương trình cân bằng: 0 + = xf 0 + + = yf 0
=
=
;
;
σ σ σ
xy
xx
yy
;
;
ε ε ε
xy
yy
σ ∂
σ
∂
yx
xx
+
x
y
∂
∂
∂
σ
∂
σ
yy
xy
y
x
∂
∂ 3. Phương trình động hình học Cauchy ( ) = + = ε
xy = ε
yy ε
xx 1
2 u
∂
y
∂ v
∂
x
∂ v
∂
y
∂ u
∂
x
∂ ∂ ∂ 4. Phương trình tương thích: 2 + = 2
ε
yy
2 2
ε
xy
yx
∂∂ 2
ε
∂
xx
2
y
∂ x
∂ July 2009 10(39) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com 7.2. Bài toán biến dạng phẳng Vì: + 0 = − + = ⇒ =
zz xx (
σ ν σ σ
yy ) ε
zz xx zz ) (
⎡
σ ν σ σ
⎣
yy ⎤
⎦ 1
E 1 = E
1 Mà: = + − = − ε
xx xx yy σ
yy 1 E
2
−
ν ) (
⎡
σ ν σ σ
⎣
zz ⎤
⎦ 1
E 2
−
ν
E ν
1
−
ν ⎛
σ
⎜
xx
⎝ ⎞
⎟
⎠ 5. Phương trình định luật Hooke: = ν
1 ν1 1/E1 ν
1
−
ν = ε
xx xx 1 ⎡
σ νσ
−
⎣
yy ⎤
⎦ 0 νν
1 −
ν ν − = ε
x
ε
y = ε
yy yy 1 ⎡
−
σ νσ
⎣
xx ⎤
⎦ + E
)(
21
ν
− )
ν (
1 1
E
1
1
E
1 0 0 ⎧
⎪
⎨
⎪
γ
⎩
xy ⎫
⎪
⎬
⎪
⎭ ⎧
σ
x
⎪
σ
⎨
y
⎪
τ
⎩
xy ⎫
⎪
⎬
⎪
⎭ 0
21
−
2 ⎤
⎥
⎥
⎥
ν
⎥
⎦ ⎡
1
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣ 1 = = ε
xy σ
xy σ
xy + = 1
2
μ xx zz ν
+
1
E
1 July 2009 11(39) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com 7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy 7.3.1. Nhận xét chung về các bài toán phẳng:
(cid:190) Các phương trình cơ bản của bài toán biến dạng phẳng và ứng suất
phẳng về mặt toán học là hoàn toàn giống nhau, chỉ khác nhau ở
phương trình vật lý (E và E1, ν và ν1) => Phương pháp giải giống nhau.
(cid:190) Bài toán phẳng có 8 ẩn số (3 ứng suất, 3 biến dạng và 2 chuyển vị).
Ta có 8 phương trình để tìm các nghiệm trên (2 pt cân bằng, 3 pt động
hình học và 3 pt vật lý) xy xx (cid:190) Các điều kiện biên tĩnh học để xác định các hằng số tích phân:
m f
=
m f
= l
σ + σ
l
σ + σ yy xy 2 0 = ∇ xx *
x
*
y
(cid:190) Có cùng phương trình tương thích
) (Biểu diễn biến dạng qua ứng suất kết hợp với
phương trình cân bằng, lực thể tích =const) July 2009 12(39) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com 7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy 7.3.2. Hàm ứng suất Airy cho bài toán phẳng Airy đề xuất cách giải bài toán đàn hồi phẳng: Thay cho việc xác định
ba ẩn ứng suất dựa vào 3 pt, chỉ cần xác định một hàm duy nhất- hàm
ứng suất Airy ϕ(x, y) thỏa mãn: - Là hàm hai biến độc lập (x, y)
- Là hàm hai biến độc lập (x, y) −= σ
xy = = σ
xx σ
yy 2
∂
ϕ
yx
∂∂ - Khi bỏ qua lực thể tích:
- Khi bỏ qua lực thể tích:
2
∂
ϕ
2
y
∂ 2
ϕ
∂
2
x
∂ Do giải theo ứng suất nên phải thoả mãn phương trình tương thích =>
Pt điều hoà Levy có dạng: 2 0 + + = 4
∇ =
ϕ 2 Phương trình
điều hoà kép 4
∂
ϕ
4
x
∂ 4
∂
ϕ
2
x y
∂ ∂ 4
∂
ϕ
4
y
∂ July 2009 13(39) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com 7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy 7.3.4. Đường lối giải bài toán LTĐH
Thông thường hàm ứng suất được chọn: dạng đa thức, chuỗi lượng giác
(khi tải trọng tác dụng lên biên không liên tục). a. Đường lối thuận: Từ điều kiện tải trọng và chuyển vị đã cho, giải trực
tiếp pt bi điều hòa, từ đó xác định các thành phần ứng suất => Khó
khăn khi muốn có lời giải chính xác.
b. Đường lối ngược: Giả thiết trước hàm ϕ, từ đó tìm ngược lại tải trọng
từ đk bề mặt. => Chỉ giải quyết được một số bài toán đơn giản. VD: Khảo sát tấm chữ nhật, tấm tam giác. Cho trước đầy đủ dạng hàm ϕ và
suy ngược lại tải trọng đặt lên biên của tấm. y y a c b x x b July 2009 14(39) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com 7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy Cácbướcgiải: • Kiểm tra điều kiện: 2 0 4
∇ ϕ = + + = 2 4
∂ φ
4
x
∂ 4
∂ φ
2
x y
∂ ∂ 4
∂ φ
4
y
∂ • Xác định các thành phần ứng suất −= = = σ
xy σ
yy σ
xx 2
ϕ
∂
yx
∂∂ 2
ϕ
∂
2
x
∂ •Tìm tải trọng theo điều kiện biên Trên mỗi biên xác định các cosin chỉ phương của pháp tuyến ngoài n với hai trục x, y: l = cos(n,x) ; m = cos(n, y) σxxl + σyxm = fx*
σxyl + σyym = fy* • Biểu diễn tải trọng trên biên (phương, chiều và độ lớn) 2
∂
ϕ
2
y
∂ July 2009 15(39) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com c. Đường lối nửa ngược: Chọn hàm ϕ chứa một số hệ số dưới dạng ẩn,
sau đó tìm biểu thức ứng suất, rồi buộc những biểu thức này thỏa mãn
đk biên, từ đó xác định được các hệ số và các số hạng chưa biết. July 2009 16(39) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com July 2009 17(39) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com(
σ ν σ σ
yy
)
(
+
σ σ
yy
![Bài giảng Chế biến khoáng sản vô cơ [Mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20251025/thanhvan173002/135x160/21521761538638.jpg)
