Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi chương 9: PGS. TS. Trần Minh Tú

CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƢỜNG LIÊN TỤC VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI

Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội

Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp

July 2009 1(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Chƣơng 9

Bài toán phẳng trong hệ toạ độ độc cực

July 2009 2(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

NỘI DUNG

9.1. Các phƣơng trình cơ bản

9.2. Hàm ứng suất

9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán chêm chịu lực tập trung

9.4. Bài toán đối xứng trục

9.5. Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên

( Bài toán Flamant)

9.6. Bài toán Boussinesq

July 2009 3(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.1. Các phƣơng trình cơ bản

• Trong nhiều trường hợp giải bài toán phẳng, sử dụng toạ độ độc cực thuận lợi hơn hệ toạ độ vuông góc. Chẳng hạn khi nghiên cứu trạng thái ứng suất và biến dạng trong các ống dày, các đĩa quay, …

Động cơ máy bay và hệ thống rôtor

July 2009 4(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.1. Các phƣơng trình cơ bản

9.1.1. Liên hệ giữa hệ toạ độ vuông góc và hệ toạ độ cực

July 2009 5(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.1. Các phƣơng trình cơ bản

July 2009 6(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.1. Các phƣơng trình cơ bản

9.1.2. Phân tố trong hệ toạ độ cực

Phân tố vật chất vô cùng bé lấy tại K(r, ) là hình phẳng giới hạn bởi tia  và +d và các bán kính r và r+dr

- r : trục theo hướng bán kính -  : trục đi qua K và vuông góc với r - u : chuyển vị theo phương r

- v : chuyển vị theo phương 

r – thành phần ứng suất pháp theo phương bán kính r – thành phần ứng suất tiếp trên mặt có pháp tuyến theo phương bán kính r – thành phần ứng suất tiếp trên mặt có pháp tuyến theo phương tiếp

tuyến (phương vòng)

er – độ dãn dài tỉ đối theo phương bán kính, …

July 2009 7(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.1. Các phƣơng trình cơ bản

9.1.3. Các phương trình cân bằng

(9.1)

- các thành phần lực thể tích theo hai phương r, 

9.1.4. Các phương trình hình học Cauchy

(9.2)

July 2009 8(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.1. Các phƣơng trình cơ bản

9.1.4. Các phương trình vật lý

Ứng suất phẳng

Biến dạng phẳng

July 2009 9(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.1. Các phƣơng trình cơ bản

9.1.6. Quan hệ giữa các thành phần ứng suất viết trong hai hệ trục

• Để có các quan hệ giữa các thành phần ứng suất viết trong hai hệ trục ta có thể dùng ma trận biến đổi hệ trục toạ độ hoặc có thể xét cân bằng các phân tố tam giác chứa điểm K, với hai mặt có pháp tuyến trùng với trục r, trục  và một mặt có pháp tuyến trùng với phương trục x (nếu tính

) , hoặc trùng với trục y (nếu tính

)

July 2009 10(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.1. Các phƣơng trình cơ bản

Toạ độ cực  Toạ độ vuông góc

Toạ độ vuông góc  Toạ độ cực

July 2009 11(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.2. Hàm ứng suất

Ứng suất

Toán tử Laplace

Toán tử bi-điều hoà

July 2009 12(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.2. Hàm ứng suất

Điều kiện biên

l r

July 2009 13(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung

- Xét đoạn nêm phẳng có chiều dày 1 đ.v, góc chắn đỉnh 2 (sơ đồ đập chắn, chi tiết hình nêm, thanh có tiết diện thay đổi theo qui luật bậc nhất, ...)

P

b

Chiều dài nêm là lớn, nêm chịu lực tập trung ở đỉnh.

Xác định các thành phần ứng suất tại điểm K(r, )

sr

r : khoảng cách từ K đến đỉnh nêm.

: góc hợp bởi r và trục x

K

x : trục nêm (trục đối xứng)

a

2 : góc mở (góc đỉnh) nêm.

Phương pháp giải: Phương pháp nửa ngược- cho trước dạng hàm và làm chính xác hàm khi cho thỏa mãn đầy đủ các điều kiện của bài toán.

July 2009 14(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung

Nhận xét: Ứng suất tại điểm K phụ thuộc vào các trị số P, r, , , . Ứng suất này càng nhỏ khi r càng lớn do đó có thể giả thiết dạng của hàm ứng suất:

k là hệ số

là hàm của q

Theo tính chất hàm Airy thì:

=> giả thiết hàm ứng suất Airy dạng:

(*)

Thay (*) vào phương trình bi-điều hoà ta nhận được phương trình vi phân:

Nghiệm của phương trình này là:

July 2009 15(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung

Do đó chọn dạng hàm ứng suất

P

b

a

Điều kiện biên:  = ±  =>

Các hằng số C3 ,C4 xác định bằng cách xét cân bằng phần nêm phía trên mặt trụ bán kính r

July 2009 16(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung

Các trường hợp riêng:

• Nêm chịu nén

Ứng suất tại các điểm nằm trên đường x=L hoặc

Ứng suất trên mặt cắt ngang vuông góc với trục x theo công thức (9.4):

biểu đồ phân bố của thành phần ứng suất sxx

July 2009 17(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung

• Nêm chịu uốn

Ứng suất trên mặt cắt ngang vuông góc với trục x theo công thức (9.4):

biểu đồ phân bố của thành phần ứng suất sxx

July 2009 18(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.4. Bài toán đối xứng trục

Bài toán đối xứng trục: Các đại lượng là hằng số đối với biến số góc 

√

X

July 2009 19(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.4. Bài toán đối xứng trục

Đối xứng trục

-Chuyển vị u = u(r); v = 0.

C Ụ R T G N Ứ X

Đối xứng trục

Ố Đ N Á O T

Đối xứng trục

À B M Ể Đ C Ặ Đ

July 2009 20(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.4. Bài toán đối xứng trục

Phƣơng trình cân bằng

Phƣơng trình hình học

C Ụ R T G N Ứ X

Ố Đ N Á O T

Phƣơng trình vật lý

À B M Ể Đ C Ặ Đ

July 2009 21(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.4. Bài toán đối xứng trục

Phương trình và nghiệm bài toán theo chuyển vị

Khi thay giá trị của ứng suất trong phương trình vật lý vào phương trình cân bằng ta nhận được phương trình:

Giải phương trình trên, nghiệm tổng quát có dạng:

Thay chuyển vị vào phương trình định luật Hooke:

Các hằng số xác định điều theo biên kiện tuỳ từng bài toán cụ thể.

July 2009 22(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.4. Bài toán đối xứng trục

Ví dụ1: Ống dày có bán kính trong a, bán kính ngoài b, chịu áp lực trong pa, áp lực ngoài pb

Điều kiện biên:

July 2009 23(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.4. Bài toán đối xứng trục

Chú ý: Trong các công thức trên cần phân biệt rõ bài toán ứng suất phẳng hay biến dạng phẳng. Chẳng hạn nếu ống dày chịu áp lực vuông góc thành ống, khi hai đầu chiều dài ống để tự do thì đây là bài toán ứng suất phẳng; khi hai đầu chiều dài ống bị ngàm chặt hoặc ống có chiều dài lớn thì đây là bài tóan biến dạng phẳng.

July 2009 24(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.5. Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant)

Nửa mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng, gọi là biên, chịu lực tập trung P vuông góc với đường biên

Đây là trường hợp riêng của bài toán nêm với 2 =  và  = /2

1. Ứng suất tại điểm K(r, ) sẽ là

d - đường kính đường tròn đi qua điểm đặt lực và điểm tính ứng suất => những điểm nằm trên cùng đường tròn, có giá trị ứng suất srr như nhau => Những đường tròn đồng ứng suất, d càng bé thì ứng suất càng lớn

Tuy nhiên chỉ có thể cho nghiệm chính xác khi d đủ lớn (xa miền đặt lực – nguyên lý Saint-Venant)

July 2009 25(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Thí nghiệm quang đàn hồi - những đường vân đẳng ứng suất chính

July 2009 26(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.5. Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant)

• Trong nhiều trường hợp ta cần phải xác định các thành phần ứng suất trong hệ toạ độ vuông góc (áp lực theo phương thẳng đứng và nằm ngang khi tính toán nền móng)

• Dùng công thức chuyển hệ trục toạ độ. Ứng suất trong hệ toạ độ vuông góc xy

• Trị số của các thành phần ứng suất theo phương thẳng đứng sxx và ứng suất trượt sxy ở khoảng cách x = H kể từ biên của bán phẳng:

July 2009 27(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.5. Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant)

Biểu đồ áp lực theo phương thẳng đứng, phương nằm ngang và áp lực trượt

July 2009 28(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.5. Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant)

2. Chuyển vị tại các điểm trong bán phẳng

- u - chuyển vị theo phương bán kính r - v - chuyển vị theo phương vòng q

Các hằng số B, C, D xác định từ điều kiện biên

- Chuyển vị u đối xứng qua trục x, chuyển vị v trên trục đối xứng x phải bằng 0 - Giả thiết trên trục x (q = 00) ở khoảng cách x=H nào đó không có chuyển vị theo phương thẳng đứng (thích hợp với bài toán nền móng)

July 2009 29(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.5. Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant)

3. Chuyển vị tại các điểm trên biên

Các chuyển vị tại các điểm trên biên suy ra từ công thức trên với q=p/2 và q =-p/2

Độ lún

July 2009 30(31)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

9.6. Bài toán Boussinesq

k Vật thể đàn hồi chiếm phần tr hông gian z>=0 chịu lực tập ung P vuông góc với mặt giới h ạn z=0

Là bài toán đối xứng trục nên:

July 2009 31(31)