c ä h
i
¹ ®
CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội
July 2009
1(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp
Chương 8
Nhập môn phương pháp phần tử hữu hạn
July 2009
2(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
NỘI DUNG
8.1. Mở đầu 8.1. Mở đầu
8.2. Khái niệm về Phương pháp PTHH 8.2. Khái niệm về Phương pháp PTHH
8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH 8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH
July 2009
3(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
8.1. Mở đầu
Trong chương trước, ta đã giải bài toán phẳng theo ứng suất với việc sử dụng hàm ứng suất Airy dạng đa thức hoặc chuỗi lượng giác – các lời giải này là lời giải giải tích. Số bài toán cho nghiệm giải tích là rất ít, đặc biệt là những bài toán không gian. Với các bài toán không thể cho nghiệm giải tích, người ta thường tìm cách giải gần đúng – kết quả không phải là hàm giải tích mà là giá trị của các đại lượng cần tìm tại một số điểm nhất định trong vật thể và trên biên => Phươngphápsố Phương pháp số: (cid:57)Giải các phương trình vi phân: tích phân số, sai phân hữu hạn (rời rạc hóa toán học, đưa các phương trình vi phân về các phương trình đại số)
(cid:57)Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH): rời rạc hoá mô hình vật thể - mô hình tương thích, mô hình cân bằng và mô hình hỗn hợp.
July 2009
4(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.1. Mở đầu 8.1. Mở đầu
8.1. Mở đầu
• Ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực • Cácứngdụng
(cid:137) Cơ học/Hàng không/Xây dựng/ Công nghiệp ô tô (cid:137) Phân tích kết cấu (tĩnh, động,tuyến tính/phi tuyến) (cid:137) Nhiệt/dòng chảy (cid:137) Điện từ (cid:137) Cơ học đất đá (cid:137) Sinh học (cid:137) ...
July 2009
5(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.1. Mở đầu
July 2009
6(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.2. Khái niệm về Phương pháp PTHH
Miền xác định V của vật thể chia thành một số hữu hạn các miền con - phầntửhữuhạn(finite element),liên kết với nhau tại các nút(node).
2
e
3
1
July 2009
7(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.2. Khái niệm về Phương pháp PTHH 8.2. Khái niệm về Phương pháp PTHH
8.2. Khái niệm về Phương pháp PTHH
Trong phạm vi mỗi phần tử, đại lượng cần tìm được lấy xấp xỉ bởi một hàm đơn giản nào đó gọi là hàmdạng(shape function) hoặc hàmnộisuy (interpolation function). Các hàm này được biểu diễn qua giá trị của hàm tại các điểm nút phần tử. Số lượng các giá trị này tại mỗi nút gọi là bậctự do củanút. Tổng số bậc tự do của các nút trong phần tử là số bậctựdo củaphầntửvà là ẩn số cần tìm của bài toán. Tùy theo ý nghĩa vật lý của hàm xấp xỉ mà người ta có thể phân tích bài toán theo các mô hình:
• Mô hình tương thích: ẩn số cơ bản là chuyển vị (được sử dụng rộng rãi hơn). • Mô hình cân bằng: ẩn số cơ bản là ứng suất. • Mô hình hỗn hợp: ẩn số vừa là ứng suất vừa là chuyển vị.
Giả thiết: Các phần tử chỉ liên kết với nhau tại các nút. Tại nút có chuyển vị nút và lực nút. Lực nút bao gồm lực tương tác giữa các phần tử và tải trọng nút (tải tập trung tại nút, tải trọng phân bố qui đổi về nút)
July 2009
8(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH
Bước1: Rời rạc hoá miền khảo sát Miền khảo sát V được chia thành các phần tử Ve có hình dạng thích hợp. Số phần tử, hình dạng hình học, kích thước phần tử được xác định. Số điểm nút từng phần tử được lất tùy thuộc vào dạng hàm xấp xỉ định chọn. Các phần tử thường có dạng hình học đơn giản.
July 2009
9(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH 8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH
Mesh
Elements
One-dimensional
Planar
Shell
Solid
July 2009
10(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
July 2009
11(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH
Bước2:Chọn hàm xấp xỉ thích hợp Giả thiết dạng hàm xấp xỉ sao cho đơn giản khi lập trình máy tính nhưng đồng thời phải thỏa mãn điều kiện hội tụ.
Bước 3: Xây dựng ma trận độ cứng phần tử [Ke] và vec tơ tải phần tử {Pe} bằng nhiều cách: trực tiếp, sử dụng nguyên lý biến phân,... Phương trình phần tử có thể biểu diễn dưới dạng
{ } P=
[
]{ } K q e
e
e
{ }e q - vec tơ các bậc tự do của phần tử.
K q
]{ } { } P=
[
Bước4:Ghép nối các phần tử để có hệ thống phương trình ]K [ - ma trận độ cứng tổng thể { }q - vec tơ chuyển vị nút tổng thể { }P - vec tơ tải tổng thể.
July 2009
12(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.3. Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH
*
*
*
(*)
K
P
Sử dụng các điều kiện biên để nhận được hệ phương trình để giải { } { q =
}
⎡ ⎣
⎤ ⎦
Bước 5: Giải hệ phương trình (*) để tìm các chuyển vị nút => Xác định ứng suất, biến dạng trong từng phần tử.
5 11
4
3
2
1 121314
July 2009
13(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị 8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
)
(
8.4.1. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị (mô hình tương thích)
• Các nút: i, j, k– đánh số theo chiều ngược chiều kim đồng hồ • Toạ độ các nút : x y x y , , i j
x y , k
k
j
i
) ( ) ( , , • Chiều dày phần tử: t
• Diện tích phần tử:
1
1
1
x
Δ =
j
1 2
y
x k y
Det x i y i
j
k
July 2009
14(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
• Vec tơ chuyển vị nút: mỗi nút có hai thành phần chuyển vị theo hai phương x, ylà u, v • Vec tơ chuyển vị nút phần tử
displacements at node i
u i v
⎫ ⎬ ⎭
j
displacements at node j
q i q
=
=
{ } q
j
e
i u v
j
⎫ ⎬ ⎭
q k
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
displacements at node k
u k v
k
⎧ ⎪ ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎩
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
⎫ ⎬ ⎭
q i
T
T
q
u
v
u
=
=
=
{ } q
{
}
j
v i
j
j
k
v k
q 1
q 2
q 3
q 4
q 5
q 6
{ u i
}
e
q
k
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ July 2009
15(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
Chuyển vị tại điểm bất kỳ bên trong phần tử: u, v
U
x y ( ,
N
=
{
} )
{ } x y q ( , )
e
Hàm dạng (shape function)
N
=
0 N
N 1 0
3
Hàm nội suy (interpolation function)
N 0 2 N 0 (cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:11)(cid:10) 2 Node 2
0 ⎡ ⎢ N ⎣ 1 (cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:11)(cid:10) Node 1
N ⎤ 3 ⎥ 0 ⎦ (cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:11)(cid:10) Node 3
July 2009
16(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
• Vec tơ lực tương tác tại nút phần tử : Tại các nút đều có lực tương tác giữa các phần tử ta gọi chúng là các lực nút. Tại mỗi nút có 2 thành phần lực nút theo hai phương x, y là U, V, chúng tạo thành vec tơ lực nút phần tử
R i
T
R
=
=
{ } R
k
i
j
i
j
{ U V U V U V j k
}
e
R k
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
July 2009
17(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
• Vec tơ tải trọng nút phần tử : tại các nút có tải trọng tác dụng (tải trọng tập trung hoặc tải trọng phân bố qui đổi về tải trọng tập trung tại nút) mà 2 thành phần theo hai phương là X và Y
T
T
Y
X
=
=
=
{ } F
{
}
X Y X i
i
j
j
k
Y k
j
F F F F F F 6
3
4
5
1
2
{
}
e
F i F F k
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
July 2009
18(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
Khi ghép các phần tử thành vật thể thì theo điều kiện cân bằng, tổng các lực tương tác phần tử tại mỗi nút sẽ triệt tiêu và chỉ còn tổng các tải trọng tại từng nút.
Cũng do vật thể ở trạng thái cân bằng nên tại các nút các lực cũng phải cân bằng, và do vậy tại nút thứ ita có (e là số phần tử tại nút i):
i
{ } { } F=∑ R i
e
Trên mỗi phần tử, các tải trọng nút phần tử có thể biểu diễn qua chuyển vị nút (từ điều kiện cân bằng phần tử):
- ma trận độ cứng phần tử
=
{ } F
[
]{ } K q e
e
e
]eK [ { }e q - vec tơ chuyển vị nút phần tử { }e F - vec tơ tải trọng nút phần tử.
ẩn số cần tìm
July 2009
19(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
8.4.2. Hàm xấp xỉ chuyển vị
1
Giả thiết chuyển vị tại điểm bất kỳ thuộc phần tử là hàm bậc nhất của toạ độ. y y
x x
+ +
+ +
( ) u x y , ) ( v x y ,
= α α α 2 3 = α α α 5 6
1
u i u
y i y
+ +
= =
+ +
4 Như vậy giá trị chuyển vị nút tại các đỉnh i, j, ksẽ là: x α α α i 2 3 x α α α 2 3
1
j
j
j
k
k
1
iα
4
u v i v
+ + +
+ + +
j
4
j y
=
+
+
v k
x y = α α α k 2 3 x y = α α α 5 i 6 i y x = α α α j 5 6 x α α α k 5 6
4
k
July 2009
20(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
Biểu thức của chuyển vị.
a
a
=
+
+
+
+
+
+
+
+
( u x y ,
)
[
a i
b x i
] c y u i i
j
b x j
j
j
k
b x k
] c y u k
k
}
{ [
⎡ ⎣
⎤ c y u ⎦
a
a
=
+
+
+
+
+
+
+
+
( , v x y
)
[
a i
b x i
] c y v i i
j
b x j
j
j
k
b x k
] c y v k k
}
{ [
⎡ ⎣
⎤ c y v ⎦
1 2 Δ 1 2 Δ
trong đó:
=
−
y
y
=
−
j
b i
j
k
a i a
=
−
b
y
=
−
j
x y j k x y k i
x y k x y i
k
j
k
y i
j
x k x i x
a
=
−
y
=
−
c i c c k
x + = − j x + = − k x = − + i
j
k
x y i
j
x y j i
b k
y i
j
(8.10)
July 2009
21(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
8.4.3. Biểu thức biến dạng
Theo quan hệ chuyển vị - biến dạng :
,
=
=
+
,
=
ε xx
γ xy
ε yy
u ∂ x ∂
v ∂ x ∂
u ∂ y ∂
v ∂ y ∂
T
0 c
v
u
v
u
b i 0
b j 0
b k 0
=
j
j
j
j
k
v k
{ u i
}
1 2 Δ
c
b
c i
0 c i b i
j
j
c k
0 c k b k
⎧ ε xx ⎪ ε ε = ⎨ yy ⎪ 2 ε ⎩ xy
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
{ } [ ε ⇒ =
]{ } B q
e
B
0 c
b i 0
b j 0
b k 0
=
[
]
j
1 2 Δ
Ma trận hình học
c
b
c i
0 c i b i
j
j
c k
0 c k b k
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
July 2009
22(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
8.4.4. Biểu thức ứng suất
Quan hệ ứng suất – biến dạng :
1
ν 1
=
=
[
]{ } ][ D B q
e
1
E 2 − ν
1
⎧ σ xx ⎪ = σ σ ⎨ yy ⎪ σ ⎩ xy
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
0 0
Ma trận đàn hồi
⎡ ⎢ ⎢ ν ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎧ 0 ε xx ⎥ ⎪ 0 ε ⎨ ⎥ yy ⎪ ⎥− ν ε ⎩ xy ⎥ 2 ⎦
1
0
D
− ν ν 1
0 0
ν
ν −
=
[
]
D
ν 1
=
[
]
(1
+
E )(1 2 ) − ν
ν
1
E 2 ν −
ν
1
0
0
0 0
1 2 − 2
⎡ ⎢ 1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ν ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥− ν ⎥ 2 ⎦
(biến dạng phẳng)
(ứng suất phẳng)
July 2009
23(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
8.4.5. Quan hệ lực nút - chuyển vị nút - Ma trận độ cứng phần tử
Nguyên lý chuyển vị khả dĩ Lagrange
Ởtrạngtháicânbằngnếuhệcó thêmcácchuyểnvịkhảdĩthì trịtuyệt đốicủacôngngoạilựcvà củacôngnộilựcbằngnhau: A U=
Ở trạng thái cân bằng phần tử có:
- vec tơ lực nút { }eF - vec tơ chuyển vị nút { }eq - vec tơ biến dạng { } [ ε = - vec tơ ứng suất { } [ σ =
]{ }e B q ][ D B q
]{ }e
Khi cho các nút phần tử một chuyển vị khả dĩ { }* eq phần tử có biến dạng khả dĩ là { } [ * ε =
]{ } * B q e
July 2009
24(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
Công của ngoại lực
trên các chuyển vị khả dĩ là:
{ }eF
A
=
* T { } { } F q e e
Công nội lực trên toàn bộ phàn tử:
T
T
T
*
t
dS
dS
U
=
=
=
][ ] [ B D B q dS
]{ }
e
T { } { } ε σ
]{ }
{ } [ * t q e
( [ * t B q e
) { } σ
∫
∫
∫
S
S
S
T
T
k
U t ⇒ = Δ
]{ }
][ ] [ B D B q e
{ } [ * q e
Cân bằng với công A, ta thu được biểu thức:
F = k.u
=
{ } F
T ] [ t B D B
][
[
]
[
]{ } K q e
e
e
e
( = Δ
){ } q
Độ cứng lò xo
Ma trận độ cứng phần tử [Ke]
July 2009
25(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
Ma trận độ cứng phần tử
= Δ
[
]
T ] [ t B D B
][
[
]
eK
T
K
dV
[
]
[
]
[
]
[
]
e
B e
D e
B e
Tổng quát:
6 6 ×
6 3 ×
3 3 ×
3 6 ×
= ∫
V
Với phần tử tam giác ma trận độ cứng phần tử là ma trận (6x6):
K
k
=
=
[
]
e
ij
⎡ ⎣
⎤ ⎦
k 11 k 21 (cid:35)
k 12 k 22 (cid:35)
k 13 k 23 (cid:35)
k 14 k 24 (cid:35)
k 15 k 25 (cid:35)
k 16 k 26 (cid:35)
k
k
k
k
k
k
61
62
63
64
65
66
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
6 6 ×
July 2009
26(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
8.4.6. Ma trận độ cứng tổng thể (kết cấu)
(cid:153) Thế năng biến dạng đàn hồi toàn kết cấu
(cid:34)
U
U
=
+
+
+
=
N
e
UUU 1
2
N ∑ e 1 =
U
U
=
=
=
]{ }uKu { } [ T
e
{ } [ T d k e
e
]{ } d e
1 2
1 2
(cid:153) Ghép nối N ∑ 1 e =
N ∑ 1 e =
Tăng kích thước ma trận
+
=
+
(cid:153) Ma trận độ cứng tổng thể [ K
]
]
[ kˆ
[ kˆ 1
] (cid:34)2 +
]Nkˆ [
Kích thước ma trận độ cứng tổng thể phụ thuộc vào kích thước của vec tơ chuyển vị nút tổng thể (DOF)
July 2009
27(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
8.4.6 Qui đổi tải trọng về các nút:
p
p
p
y
x
}T
T
p
dslà vi phân chiều dài biên của phần tử
p tds
N
] { }
eF
}
{
- Trong phương pháp phần tử hữu hạn người ta giả thiết các tải trọng đều đặt tại các nút để thuận tiện khi lập các phương trình cân bằng giữa ngoại lực và nội lực tại các nút. - Nếu trong phần tử có những tải trọng tập trung không đặt tại các nút, hoặc là tải trọng phân bố thì cần phải qui đổi chúng về nút một cách đơn giản theo nguyên lý tương đương tĩnh học. - Nếu trên biên của phần tử có lực phân bố bề mặt{ } { = thì vec tơ lực nút qui đổi sẽ là: [ = ∫
P
P y
P x
}
T
p
N
] { } P
eF
} [ =
{
- Nếu tại điểm bất kỳ có toạ độ (x, y) trong phần tử có tác dụng của lực tập trung { } { = vec tơ lực nút qui đổi:
July 2009
28(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
với [N] là ma trận các hàm dạng và tính theo:
N
=
+
+
Δ
)
i
b x i
c y i
j
N
[
]
N
a
/ 2
=
+
+
Δ
0 N
0 N
0 N
N i 0
N 0
N k 0
j
b x j
c y j
j
i
j
k
⎡ = ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
N
/ 2
=
+
+
Δ
( a i ( (
/ 2 ) )
k
a k
b x k
c y k
Tổng hợp vec tơ lực nút qui đổi và vec tơ tải trọng đặt tại các nút ta được vec tơ tải trọng nút phần tử
F e
{ } { } { F P + = e e
}p
July 2009
29(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
• Nguyên tắc chung để qui đổi dựa trên cơ sở tương đương về công: Công sinh ra bởi các lực đã cho trên các chuyển vị của điểm đặt của chúng theo phương, chiều đã cho bằng công sinh ra do các lực nút tương đương trên các thành phần chuyển vị nút có cùng phương, chiều đã chọn. • Trong thực hành tính các lực nút tương đương của PTHH do tải trọng phân bố ta có thể tiến hành như tính phản lực của một dầm tựa đơn, chịu tải trọng phân bố tương ứng.
q
q
L
L
VA=qL/6
VA=qL/2
VB=qL/2
VB=qL/3
July 2009
30(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
8.4.7. Phương trình chung toàn kết cấu
Sau khi rời rạc hoá kết cấu để thu được phương trình cho từng phần tử, bây giờ ta sẽ ghép nối các phần tử lại để có hệ phương trình chung cho toàn kết cấu.
T
(cid:34)
q
q
q
{ } { Q =
}
q 1
2
q 3
2
n
2
n
1 −
T
(cid:34)
{ } { P =
}
(cid:190) Các chuyển vị nút phải thoả mãn điều kiện liên tục của biến dạng: chuyển vị ở cùng một nút thuộc các phần tử khác nhau phải như nhau. Với bài toán phẳng, nếu hệ có n nút => 2n ẩn chuyển vị => Vec tơ chuyển vị nút tổng thể (toàn kết cấu):
P P 1 2
P 2
P 2
n
n
1 −
K
(cid:190) Các lực nút phải thỏa mãnđ iều kiện cân bằng => sau khi ghép các phần tử, các lực liên kết giữa các phần tử triệt tiêu nhau, ở nút chỉ còn tải trọng. Vec tơ tải trọng nút toàn kết cấu cũng có 2n số hạng: P 3
K Q
[
]{ } { } P=
]2
n
2n ×
July 2009
31(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
- ma trận độ cứng tổng thể toàn kết cấu (cid:190) Sau khi ghép nối ta nhận được hệ phương trình chung cho toàn kết cấu có dạng: [
8.4. Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị
8.4.8. Hệ phương trình để giải
Sau khi ghép nối để nhận được hệ phương trình (8.20), trước khi giải cần áp đặt các điều kiện biên theo chuyển vị để khử bớt các ẩn số và khử dạng suy biến của ma trận [K] - Nếu ẩn số chuyển vị qi = 0 bỏ dòng i của vec tơ {Q}, và {P}, đồng thời gạch bỏ dòng i và cột i của ma trận [K]
July 2009
32(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
Ví dụ 8.1
1. Thiết lập ma trận độ cứng của một PTHH tam giác phẳng ở trạng thái ứng suất phẳng có toạ độ các đỉnh là (1,2), (1,4), (3,3). Khi tính lấy hệ số Poisson ν=0.25.
Gợiý cácbướcthựchiện:
(cid:131) Biểu diễn toạ độ các đỉnh tam giác trong hệ trục vuông góc xy
(cid:131) Đánh số các nút theo thứ tự i, j, kngược chiều kim đồng hồ.
(cid:131) Xác định toạ độ các đỉnh, tính diện tích phần tử theo (6.1) (cid:131) Tính các hệ số a, b, ctheo (8.10) => Tính ma trận hình học [B] theo (8.12)
(cid:131) Xác định ma trận đàn hồi [D] theo (8.14)
(cid:131) Tính ma trận độ cứng phần tử [Ke] theo (8.15)
July 2009
33(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
Ví dụ 8.2
Cho tấm có hình dạng, kích thước, liên kết và chịu tải trọng như hình vẽ. Tính trường ứng suất phát sinh trong tấm. Khi tính lấy ν= 0,25
q
a
q
2a
2a
July 2009
34(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
Ví dụ 8.2
a
X4 X2
1 2
X1 X3
Bước 1: chia phần tử, đánh số phần tử, số nút, số ẩn số • Chia làm 3 phần tử tam giác: 1, 2. và 3 • Đánh số thứ tự các nút: 1, 2, 3, 4, 5 • Mỗi nút có 2 thành phần chuyển vị u, v Bảng định vị các phần tử:
2a
1
Bậc tự do
1
2
3
4
5
6
3 2
Phần tử
1
2
5
6
3
4
X10 X8 X6
1 4 3 5 X5 a X7 a X9
3
4
5
6
7
8
2
3
4
7
8
9
10
T
3
,
,
,
,
,
,
,
,
{ } { X =
}
X X X X X X X X X X , 5
8
9
6
7
4
2
3
1
10
July 2009
35(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
Vec tơ chuyển vị nút tổng thể:
Ví dụ 8.2
Bước 2: Xác định các ma trận độ cứng phần tử [Ke]
y
Phần tử 1:
a
X4 X2
X1 i k X3
xi = 0 xj = 0 xk = a
yi = 2a yj = 0 yk = 2a
2a
bi= -2a ci= a
bj= 0 cj= -a
bk= 2a ck= 0
1
x
Diện tích phần tử:
2aΔ =
a
=
−
b
y
y
=
−
i
j
i
j
k
i
j
a
=
−
b
y
y
=
−
j
x y j k x y k
i
x y k x y i
k
j
k
i
1 x
Δ =
j
k
i
j
1 2
c c c
x x x
x k x x
= − = − = −
+ + +
a
=
−
b
y
y
=
−
k
i
j
k
x y i
j
x y j
i
y
1 x k y
k
i
j
1 Det x i y i
j
k
July 2009
36(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
X6 j X5
Ví dụ 8.2
Ma trận hình học:
a
2
0
0
0
2
a
0
B
a
0
a
0
0
=
B
0 1
0 0
0 2 0 1 0 0
=
[
]
2
[
1
]1
1 a 2
1 a 2
a
2
a
a
− 0
0
2
a
−
−
1
0 2
− 0
2 −
1 −
−⎡ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
2 −⎡ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
Ma trận vật lý:
8 2 0
1
0, 25
0
D
=
D
=
[
]
[
]
E 16 15
E 2 15
0, 25 0
1 0
0 0,375
2 8 0 0 0 3
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
1
0
D
ν 1
=
[
]
B
0 c
b i 0
b j 0
b k 0
=
[
]
j
1
E 2 ν −
1 2 Δ
1
c
b
0 0
c i
0 c i b i
j
j
c k
0 c k b k
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ν ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥− ν ⎥ 2 ⎦
July 2009
37(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
Ví dụ 8.2
Ma trận độ cứng phần tử:
y
= Δ
[
]
T ] [ t B D B
][
[
]
eK
a
X4 X2
1 2 5 6 3 4 X1 i k X3
−
−
1 1
2a
2
K
=
[
e
]1
5
Et 30
x
6 X6 j X5
35 10 3 − 4 32
10 − 20 6 8 − 4
3 − 6 3 0 0
32 − 4 0 4 − 32
6 12 6 − 0 0
k61
− 6
12
4 8 − 0 8 4 − 0
0
12
−
6 −
3
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
k46
T
,
,
,
,
=
{ } X
{
}
4
X X X X X X , 5
3
6
1
2
4
1
July 2009
38(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
Vec tơ chuyển vị nút phần tử:
Ví dụ 8.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3 4 1 -10 -32 6 35
1 2 5 6 3 4 6 -8 -10 20 2
1 3 -32 4 0 -4
−
−
2 6 -12 4 -12 32 0 0 12 -6 0 4
5 0 5 -3 6 -6
6 6 -4 0 4 -12 3 0 0 8
3 7
35 10 3 − 4 32 − 6
10 − 20 6 8 − 4 12
4 8 − 0 8 4 − 0
32 − 4 0 4 − 32 0
6 12 6 − 0 0 12
−
3 − 6 3 0 0 6 −
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
4 8
9
July 2009
39(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
10
Ví dụ 8.2
Phần tử 2:
y
X4
i
yi = 2a yj = 0 yk = 0
xi = a xj = 0 xk = a
2a
X3
2
bi= 0 ci= a
bj= -2a cj= 0
bk= 2a ck= -a
X8
x
Diện tích phần tử:
X6 j X7
2aΔ =
a
=
−
b
y
y
=
−
i
j
i
j
k
i
j
a
=
−
b
y
y
=
−
j
x y j k x y k
i
x y k x y i
k
j
k
i
1 x
Δ =
j
i
j
1 2
c c c
x x k x
x k x x
= − = − = −
+ + +
a
=
−
b
y
y
=
−
k
i
j
k
x y i
j
x y j
i
y
1 x k y
k
i
j
1 Det x i y i
j
k
July 2009
40(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
X5 a k
Ví dụ 8.2
Ma trận hình học:
a
2
0 0
2
a
0
0
B
− 0
0
a
0
a
0
=
B
0 0 0 1
2 − 0
0 0
2 0
=
[
]
2
[
2
]2
1 a 2
1 a 2
a
0
− 2
a
0
2
a
a
−
−
1 0
0
− 2
2 −
1 −
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
0 ⎤ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎦
Ma trận vật lý:
8 2 0
1
0, 25
0
D
=
D
=
[
]
[
]
16 E 15
E 2 15
0, 25 0
1 0
0 0,375
2 8 0 0 0 3
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
1
0
D
ν 1
=
[
]
B
0 c
b i 0
b j 0
b k 0
=
[
]
j
1
E 2 ν −
1 2 Δ
1
c
b
0 0
c i
0 c i b i
j
j
c k
0 c k b k
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ν ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥− ν ⎥ 2 ⎦
July 2009
41(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
Ví dụ 8.2
Ma trận độ cứng phần tử:
= Δ
[
]
T ] [ t B D B
][
[
]
eK
y
X4 4 5
3
0 8
X3 3 3 0 6 6 − 0 7 3 − 4 4
K
=
[
e
]2
2a
5
Et 30
4 − 0 4
0 4 − 32 0 32
0 12 6
32 − 6 35
2 6
k63
x
8 6 8 − 4 12 10 X6 X8 7
0 6 − 3 − 6
− 4
12
10
− − 20
8 −
−
−
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
X7 8
k86
T
,
,
,
,
=
{ } X
{
}
X X X X X X , 5
7
6
4
3
8
2
X5 a
July 2009
42(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
Vec tơ chuyển vị nút phần tử:
Ví dụ 8.2
Phần tử 3:
y
X4
i
yi = 2a yj = 0 yk = 0
xi = a xj = a xk = 2a
2a
X3
3
bi= 0 ci= a
bj= -2a cj= -a
bk= 2a ck= 0
x
Diện tích phần tử:
X10 X8
a
2aΔ =
a
=
−
b
y
y
=
−
i
j
i
j
k
i
j
a
=
−
b
y
y
=
−
j
x y j k x y k
i
x y k x y i
k
j
k
i
1 x
Δ =
j
i
j
1 2
c c c
x x k x
x k x x
= − = − = −
+ + +
a
=
−
b
y
y
=
−
k
i
j
k
x y i
j
x y j
i
y
1 x k y
k
i
j
1 Det x i y i
j
k
July 2009
43(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
X7 a k X9 j
Ví dụ 8.2
Ma trận hình học: 0 0
a
2
0
2
a
0
B
0
− 0
a
0
a
0
=
B
0 0 0 1
2 − 0
0 2 0 1 0 0
=
−
[
]
2
[
3
]3
1 a 2
1 a 2
a
a
− 2
a
0
0
2
a
−
−
1 0
2 0 2
1 −
−
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
Ma trận vật lý:
8 2 0
1
0, 25
0
D
=
D
=
[
]
[
]
16 E 15
E 2 15
0, 25 0
1 0
0 0,375
2 8 0 0 0 3
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
1
0
D
ν 1
=
[
]
B
0 c
b i 0
b j 0
b k 0
=
[
]
j
1
E 2 ν −
1 2 Δ
1
c
b
0 0
c i
0 c i b i
j
j
c k
0 c k b k
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ν ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥− ν ⎥ 2 ⎦
July 2009
44(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
Ví dụ 8.2
Ma trận độ cứng phần tử:
= Δ
[
]
T ] [ t B D B
][
[
]
eK
y
X4 4 7 8 3 9 10
3
3 0
0 8
0 4
6 0
−
X3 4
2a
K
=
[
e
7
]3
Et 30
3 8
3 − 6 − 0
4 − 8 − 4
3 − 4 − 35 10 32
32 4 − 32
6 − 12 − 0
x
k83
X10 X8 9
6
0
0
12
− 6 −
6 − 8 − 10 20 4 − 12 −
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
10
a
K10,8
T
,
,
,
,
=
{ } X
{
}
X X X X X X , 7
9
8
4
3
10
2
X7 a X9
July 2009
45(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
Vec tơ chuyển vị nút phần tử:
Ví dụ 8.2
e
K
K
K
k
[
ij
ij
×
ij
Bước 3: Xác định ma trận độ cứng toàn kết cấu [K] ]10 10 = ∑
⎡ = ⎣
⎤ ⎦
35
-10 -32 6
-3
4
0
0
0
0
-10 20
4
-12 6
-8
0
0
0
0
-32 4
38
0
0
-10 -6
0
0
6
0
-12 0
28
-10 0
-16 4
0
6
0
-10 35
0
-32 4
0
0
-3
6
[K] =
-10 0
0
20
6
-12 0
0
4
-8
Et 30
0
0
-6
0
-32 6
70
0
-32 -6
0
0
0
-16 4
-12 -32 40
-4
-12
0
0
0
4
0
0
-32 -4
32
0
0
0
6
0
0
0
-6
-12 0
12
July 2009
46(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
Ví dụ 8.2
Bước 3: Xác định vec tơ tải trọng nút toàn kết cấu
T
,
,
,
,
,
,
,
,
{ } { P =
}
P P P P P P P P P P , 1 5 10
8
9
3
6
2
4
7
q
a
P2=qa/2 P4=qa/2 P4 P2
1 2
q
2a
P3=qa P1 P3
P10 P6 P8
July 2009
47(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
P9=qa 4 3 5 P5 a P7 a P9
Ví dụ 8.2
Ta có:
qa
= −
P = − 2
3P
P2=qa/2 P4=qa/2
qa
= −
P = − 4
9P
qa 2 qa 2
0
=
=
=
=
=
P P = 1 5
P 6
P 7
P 8
P 10
P3=qa
T
{ } P = −
{ } 0 1 2 1 0 0 0 0 2 0
qa 2
.K X
Phương trình viết cho kết cấu:
[
] { } { } P=
July 2009
48(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
P9=qa
Ví dụ 8.2
a
X4 X2
2 1
X
X
X
0
Bước 5: Áp đặt điều kiện biên Từ đặc điểm liên kết, ta có: X X = =
=
=
=
1
5
6
9
10
X1 X3
=> Loại bỏ
2a
1
,
,
,
,
trong vec tơ các ẩn số
X X X X X 6
1
5
9
10
3 2
=> Loại bỏ
X10 X6 X8
,
,
,
,
P P P P P trong vec tơ tải trọng 1
10
6
9
5
=> Loại bỏ các dòng, các cột 1, 5, 6, 9, 10 trong ma trận độ cứng [K]
X
2
X
3
−
=
20 4 12
4 38 0
12 − 0 28
0 6 − 0
0 0 16
4
qa 2
Et 30
X X
7
X
− 0 0
6 − 0
0 16
70 0
− 0 40
−
8
1 ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎧ ⎤ ⎪ ⎥ ⎪ ⎥ ⎪ ⎥ ⎨ ⎥ ⎪ ⎥ ⎪ ⎥ ⎪ ⎦ ⎩
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
July 2009
49(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
4 3 5 X5 a X7 a X9
Ví dụ 8.2
Loại bỏ các dòng, các cột 1, 5, 6, 9, 10 trong ma trận độ cứng [K]
35
-10
-32
6
-3
4
0
0
0
0
1
-10
20
6
-12
4
-8
0
0
0
0
2
-32
4
38
0
0
-10
-6
0
0
6
3
-10
28
0
6
-12
0
0
-16
4
0
4
0
-3
6
0
0
0
-10
35
-32
4
5
=
-10
4
-8
0
0
20
6
-12
0
0
6
Et 30
-6
0
0
0
70
0
-32
6
-32
-6
7
0
0
0
4
40
-4
-12
-16
-12
-32
8
0
0
0
4
0
0
-32
-4
32
0
P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9
9
6
0
0
0
0
0
-6
-12
0
12
P
1 0
X X X X X X X X X X
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
10
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
July 2009
50(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
Ví dụ 8.2
2
Phương trình để giải:
X X
3
−
=
20 4 12
4 38 0
12 − 0 28
0 6 − 0
0 0 16
4
qa 2
Et 30
X X
7
X
− 0 0
6 − 0
0 16
70 0
− 0 40
−
8
1 ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎧ ⎤ ⎪ ⎥ ⎪ ⎥ ⎪ ⎥ ⎨ ⎥ ⎪ ⎥ ⎪ ⎥ ⎪ ⎦ ⎩
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
Nghiệm của phương trình:
2
3
= −
4
qa 15 Et
7
X X X X X
0,104 0, 042 0,104 0, 004 0, 042
8
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
July 2009
51(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
Ví dụ 8.2
Ứng suất trong các phần tử:
T
X
X
X
X
X
X
=
}
[
][ D B
] { } X
[
][ D B
] {
σ = 1
1
2
5
6
3
4
1
1
1
0
0,104 0
16 4
2 8
0 0
2 16 0 0 4 8
0,884 1, 001
= −
= −
1
q t
q t
− − 3
6
3
0
6
− − 0
−
−
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ 0, 001 ⎭
⎧ σ xx ⎪ = σ σ ⎨ yy ⎪ σ ⎩ xy
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
0 0, 042
0,104
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
Phần tử 1
July 2009
52(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
Phần tử 2, 3
Ví dụ 8.2
Ứng suất tại các nút:
Ứng suất tại nút i
i
σ = ∑ σ r n
n - số phần tử có nút I, r – tên phần tử có nút i
July 2009
53(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
Ansys application
Example 1: Circular and circle Holes in a Plate Under Uniform Tension (
July 2009
54(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
FEM Mesh and load condition Distribution of x-stress
Example 2: Circular Disk Under Diametrical Compression
July 2009
55(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
FEM Mesh and load condition Distribution of x-stress
Abaqus application
Example 1: Circular and ellipse Holes in a Plate Under Uniform Tension
July 2009
56(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
FEM Mesh and load condition Distribution of x-stress
BÀI TẬP LỚN
Giải bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn đối với các tấm chịu lực cho trên các sơ đồ kèm theo.
Trìnhtựthựchiện 1. Vẽ lại tấm với các kích thước, liên kết và tải trọng theo các sơ đồ được
giao.
2. Chia tấm thành 4phần tử tam giác theo gợi ý trên sơ đồ. Đánh số tên các
phần tử, tên các nút.
3. Gọi tên các ẩn số chuyển vị nút, viết véc tơ chuyển vị nút. 4. Xác định ma trận độ cứng của từng phần tử, kèm theo ký hiệu của các
thành phần trong ma trận.
5. Tìm ma trận độ cứng chung cho toàn tấm. 6. Tìm véc tơ lực nút. 7. Theo điều kiện biên, khử dạng suy biến của ma trận độ cứng, thu gọn
dạng phương trình để giải.
July 2009
57(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
8. Giải phương trình. Viết lại các kết quả của véc tơ chuyển vị nút. 9. Tính các ứng suất trong từng phần tử 10. Tính ứng suất tại các nút theo các giá trị trung bình.
Sơ đồ liên kết
Số sơ đồ Điểm A Điểm B Điểm C Điểm D Điểm E
1 u=v=0 v=0 v=0 u=0
2 u=0 u=v=0 v=0 v=0
3 v=0 u=v=0 v=0 u=0
4 u=0 u=0 u=0 v=0 u=0
July 2009
58(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
5 u=0 v=0 u=v=0 u=0
Sơ đồ hình học Trong các sơ đồ dưới đây, các phần tử là những hình tam giác vuông cân có cạnh bên là a
A
B
C
A
B
A
B
C
D
E
C
D
E
D
E
I
II
III
July 2009
59(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
Sơ đồ tải trọng
q
2q
q
Sơ đồ tấm
Sơ đồ tấm
q
2q
q
q
2q
A
B
July 2009
60(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
July 2009
61(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
July 2009
62(53)
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com
![Bài giảng Chế biến khoáng sản vô cơ [Mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20251025/thanhvan173002/135x160/21521761538638.jpg)
