Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi Chương 4: PGS. TS. Trần Minh Tú

c ä h

¹ ®

CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội

Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp

July 2009 1(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Chương 4

Lý thuyết về chuyển vị và biến dạng

July 2009 2(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

NỘI DUNG

4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động 4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động

4.2. Vận tốc và gia tốc chuyển động 4.2. Vận tốc và gia tốc chuyển động

4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé 4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé

4.4. Biến dạng chính – Phương của biến dạng chính 4.4. Biến dạng chính – Phương của biến dạng chính

4.5. Cường độ biến dạng 4.5. Cường độ biến dạng

4.6. Ten-xơ quay 4.6. Ten-xơ quay

4.7. Vận tốc – Gia tốc biến dạng – Tenxơ vận tốc xoáy 4.7. Vận tốc – Gia tốc biến dạng – Tenxơ vận tốc xoáy

4.8. Điều kiện tương thích của các biến dạng 4.8. Điều kiện tương thích của các biến dạng

4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn 4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn

July 2009 3(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động

4.1.1 Ký hiệu hệ trục toạ độ - Hệ toạ độ đồng hành và hệ toạ độ qui chiếu

t=0

r x1

Xi - tọa độ điểm vật chất ban đầu, Xi ∉ t M - điểm vật chất (t=0)

M1- điểm vật chất (t≠0)

• Hệ trục toạ độ vuông góc Descrates x, y, z có thể biểu diễn dạng x1, x2, x3 hoặc xi với i=1, 2, 3 • X1 X2 X3 gắn với môi trường vật chất liên tục gọi là hệtrục toạ độ đồng hành (t=0) • x1x2x3 (xi) – hệ toạ độ qui chiếu (t≠0)

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)

(cid:71)

(cid:71) (cid:71) u MM r b R

= + −

- Vec tơ chuyển vị của điểm M:

July 2009 4(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động

4.1.2 Chuyển vị

Sự thay đổi vị trí của các phần tử vật chất trong môi trường khi môi trường chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác gọi là chuyển vị

(cid:131) Chuyển vị cứng (cid:131) Chuyển vị cứng

•• Chuyển vị cứng: môi trường chuyển động như vật thể cứng sang trạng thái mới, khoảng cách giữa các phần tử vật chất không thay đổi

ChuyChuyểểnn vvịị

(cid:131) Chuyển vị gây biến dạng (cid:131) Chuyển vị gây biến dạng

•• KKhohoảảngng ccááchch gigiữữaa ccáácc phphầầnn ttửử vvậậtt chchấấtt thay đđổổii thay

July 2009 5(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động

-Chọn 2 hệ trục toạ độ đồng hành và qui chiếu cùng gốc, phương và chiều

u

R

- Vec tơ chuyển vị của điểm M: (cid:74)(cid:71) (cid:71) (cid:71) u r R = −

r

- Hình chiếu các thành phần chuyển vị lên 3 trục:

u = x - X i i

• Lagrange • Lagrange

Mô tả chuyển động

• Euler • Euler

July 2009 6(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động

• Mô tả Lagrange • Mô tả Lagrange

u

MôMô ttảả ccáácc phphầầnn ttửử vvậậtt chchấấtt ttạạii ccáácc ththờờii điđiểểmm t t khkháácc nhau nhau

R

(

,

r

x 1

x X X X t , ) 1

2

3

1 x

x X X X t , )

(

,

2

1

2

3

(4.1)

x

x X X X t , )

(

,

3

1

2

3

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

(

xi - vị trí điểm vật chất tại thời điểm t đang xét

x i

x X X X t , ) i

x X t , ) i

(cid:71) (cid:71) ),i ( u u X t

- Xi - vị trí điểm vật chất tại thời điểm t=0 - toạ độ (biến số) Lagrange

July 2009 7(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động

• Cố định Xi thì phương trình (4.1) mô tả vị trí liên tiếp của điểm vật chất M (quĩ đạo chuyển động). • Cố định thời gian tthì (4.1) cho hình ảnh phân bố vật chất trong môi trường tại thời điểm t • Nếu cả Xi và tcùng thay đổi thì (4.1) xác định qui luật chuyển động của môi trường .

July 2009 8(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động

• Mô tả Euler • Mô tả Euler

m không i điểểm không

u

y ra tạại đi i điểểm tm t

Mô tMô tảả hihiệện tưn tượợng xng xảảy ra t gian Mgian M11 ởở ththờời đi

R

r

X

X x x x t , ) ,

(

,

1

2

3

(4.2)

X

X x x x t , ) ,

(

,

2

1

2

3 X

X x x x t , ) ,

(

,

3

1

2

3

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

X

X x x x t , ) ,

(

,

X x t ( , )

i

1

2

3 i

xi - vị trí điểm vật chất tại thời điểm t đang xét - toạ độ (biến số) Euler

(cid:71) (cid:71) ), ( u u x t

i

xi = xi (t)

- Xi - vị trí điểm vật chất tại thời điểm t=0 -

July 2009 9(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động

• Nếu cố định M1, thì phương trình (4.2) xác định dòng phần tử vật chất lần lượt chuyển tới M1 theo thời gian t.

• mô tả Euler phù hợp với việc nghiên cứu dòng chảy của chất lỏng, chất khí (áp lực, vật tốc dòng chảy, tại các điểm khác nhau của thành ống)

• mô tả Lagrange phù hợp với việc nghiên cứu quĩ đạo chuyển động

July 2009 10(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động

4.1.5 Quan hệ giữa hai biến số Euler và Lagrange

MMôô ttảả Lagrange Lagrange

BiBiếếnn Lagrange

Lagrange XXii

Chuyển động

J J ≠≠ 00

MMôô ttảả Euler Euler

BiBiếếnn Euler

Euler xxii

Đại lượng nghiên cứu A

x ∂ 1 X ∂

1

2

3 i

J

0

≠

A X X X t , )

(

,

A i

i

1

3

2 dx dX

x ∂ 2 X ∂

1

2

3 j

x ∂ 3 X ∂

1

2

3 A x x x t , ) ,

(

,

A i

i

1

3

2

July 2009 11(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.2. Vận tốc và gia tốc chuyển động

4.2.1. Đạo hàm vật chất:

Vận tốc thay đổi theo thời gian t của một đại lượng của phần tử vật chất gọi là đạo hàm vật chất của đại lượng đó

Lagrange Lagrange

)tXAA (

i ,

ĐĐạạii lưlượợngng AA Đại lượng A

dA =→ dt

A ∂ t ∂

dA dt

Euler Euler

)txAA (

i ,

dA dt

A ∂ t ∂

A ∂ i x ∂

3 ∑ 1i =

July 2009 12(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.2. Vận tốc và gia tốc chuyển động

4.2.2. Vận tốc

Vận tốc chuyển động tức thời của các phần tử vật chất là đạo hàm của các chuyển vị theo thời gian.

(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:71) i v u =

(cid:74)(cid:71) v e i

i

(cid:71) d u dt

Euler Euler

( ),

t

)

u i

( A x t i

;

t

∉

(

Lagrange Lagrange u = i

), u X t X i

i

∂

)

i

1 i

v

v 1

2

3 du 1 dt

t

( u X t , 1 ∂

( u X t , ∂

( u X t , 1 ∂

du 1 dt

u ∂ 1 t ∂

∂ ∂

u ∂ 1 x ∂

u 1 x 1

2

3

∂

i

j

i

j

i

)

v

i

i u i

k

i

i u i

t

x

( u x t , ∂

du i dt

t

( u X t j, ∂

k

July 2009 13(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.2. Vận tốc và gia tốc chuyển động

4.2.3. Gia tốc

Là đạo hàm theo thời gian của vec tơ vận tốc

(cid:71) a

(cid:74)(cid:71) i v

(cid:74)(cid:71) a e i

i

(cid:71) d v dt

Euler Euler

( ),

t

)

u i

( A x t i

;

x

t

∉

( ), u X t

Lagrange Lagrange u = i

i

∂

)

1

2

3 a

a 1

2

3 dv 1 dt

t

( v X t , 1 ∂

dv 1 dt

v ∂ 1 t ∂

v ∂ 1 x ∂

v ∂ 1 x ∂ 1

2

3

∂

i

j

i

j

)

a

v

a

i

k

i

( dv x t , dt

t

x

( v x t , i ∂

( dv X t , dt

t

( v X t , i ∂

k

July 2009 14(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé

x 2

n * u2

4.3.1. Chuyển vị ở lân cận điểm đã cho Xét hai điểm vật chất M, Nlân cận nhau M(x1,x2,x3)và N(x1+dx1,x2+dx2,x3+dx3) Ngoại lực => Biến dạng: M=>M1 và N=> N1

u 1

* u 1 u3 *

e 2

du 1

* u 1

u 1

,

2

2u u3 1e

* 2

,

* 2

1 Các thành phần của vec tơ chuyển vị (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ) ( MM u u u 1 3 1 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ) ( * * NN u u u 3 1

* 3

khai triển Taylor

= = =

) ) )

u 1 u 2 u 3

( u x 1 i ( u x 2 i ( u x 3 i

July 2009 15(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé

x 2

* u 1

u 1

dx 1

dx 2

dx 3

u ∂ 1 x ∂ 1

u ∂ 1 x ∂ 2

u ∂ 1 x ∂ 3

n * u2

* 2

dx 1

dx 2

dx 3

u 1

* u 1 u3 *

e 2

* u 3

u 3

dx 1

dx 2

dx 3

u ∂ 2 x ∂ 1 u ∂ 3 x ∂ 1

u ∂ x ∂ 2 u ∂ 3 x ∂ 2

u ∂ x ∂ 3 u ∂ 3 x ∂ 3

2u u3 1e

trong hai

* u 1

u 1

dx 1

* 2

dx 2

dx= 3

Nếu hai điểm khảo sát nằm trong một mặt phẳng song song với một mặt toạ độ, đồng thời song song trục của mặt với một phẳng toạ độ thì các phương trình trên có dạng đơn giản hơn MN//Ox1x2x3, và MN//Ox1 =>

dx 1

* u 3

u ∂ 1 x ∂ 1 u ∂ 2 x ∂ 1 u ∂ 3 x ∂ 1

July 2009 16(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé

M

4.3.2. Liên hệ vi phân giữa các thành phần chuyển vị và biến dạng bé Xét biến dạng của phân tố vật chất chứa điểm M(xi) Quan sát biến dạng của hình chiếu phân tố trên mặt phẳng toạ độ Ox1x2 M => M1: chuyển vị MM1:

u1(x1,x2), u2(x1,x2)

x2

dx1

u1+

∂u2 ∂x1

Điểm lân cận N => N1: chuyển vị NN1:

dx2

u2+

∂u2 ∂x2

P1

dx 1

u 1

dx 1

u ∂ 2 x ∂ 1

u ∂ 1 x ∂ 1

P

N1 N2

Điểm lân cận P => P1: chuyển vị PP1:

2 x d

dx1

u2+

M1

2 u

∂u2 ∂x1

N

M u1

u 1

dx 2

dx1

dx 2

u1+

∂u1 ∂x1

u ∂ 1 x ∂ 2

u ∂ x ∂ 2

x1

17(39) July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé

,ε ε 22

x2

dx1

- Biến dạng dài tỉ đối theo các phương x1, x2 là 11

u1+

∂u2 ∂x1

dx2

u2+

MN dx= 1

∂u2 ∂x2

P1

ε 11

M N MN − 1 MN

(cid:17)

M N 1 1

M N 1

P

N1 N2

M N 2 1 cos α (Biến dạng bé)

2 x d

dx1

u2+

M1

2 u

∂u2 ∂x1

N

;

ε 22

ε 11

M u1

u ∂ x ∂ 2

u ∂ 1 x ∂ 1

dx1

u1+

∂u1 ∂x1

- Biến dạng góc trong mặt phẳng x1x2 là 12γ

γ γ = 21

12 2 ε 12

ε 11

x1 u ∂ 1 x ∂

2 u ∂ 2 x ∂ 1

(cid:17) (cid:17)

(cid:17) tgβ β (cid:17) tgα α

sin β sin ; α

12γ α β= + Biến dạng bé:

γ 23

γ 32

2 ε 23

ε 22

(4.15)

γ 12

u

∂

j

u ∂ 2 x ∂ 1

u ∂ 1 x ∂ 2

ε ij

= γ γ 31

13 2 ε 13

ε 33

1 2

x

u ∂ i x ∂

∂

u ∂ 2 x ∂ 3 u ∂ 1 x ∂

j

i

u ∂ 1 x ∂ 1 u ∂ 2 x ∂ 2 u ∂ 3 x ∂

3 u ∂ 3 x ∂ 2 u ∂ 3 x ∂ 1

3

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

18(39) July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé

x2

4.3.3 Ten xơ biến dạng bé

x2+dx2

K1

ds1

M1

x2

K

M

ds

x1

x1+dx1

)

1. Biếndạngdàitheophươngbấtkỳ Khảo sát một vi phân chiều dài ds= MK theo phương ν bất kỳ - Toạ độ ban đầu: ) ( ) ( M x x x M x , , 1 3 i 2 ( dx x , dx x K x , + 2 3 1 1 2

( K x i

dx 3

dx i

x1

x3

x3+dx3

Khi biến dạng MK => M1K1=ds1 chuyển vị của M là ui )

x3

ds

−

Biếndạngdàitheophươngν

)

2 2 + ε ε νν νν

1( M x u+ i i K x 1( dx + i i

u + + i

du i

ds 2

ds

2 li=dxi/ds

( ε

)

2 l 11 1

2 l 22 2

2 l 33 3

l l 12 1 2

l l 13 1 3

l l 23 2 3

= ννε ε

July 2009 19(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé

2. Ten xơbiếndạngbé – Tenxơlệchvà tenxơcầubiếndạng

Biến dạng dài theo phương bất kỳ, hoặc trạng thái biến dạng tại một điểm của môi trường dặc trưng bởi 9 thành phần: 3 biến dạng dài theo ba phương trục toạ độ và 6 biến dạng góc trong ba mặt phẳng vuông góc với trục toạ độ => tenxơ biến dạng

••TTenxơenxơ llệệchch bibiếếnn ddạạngng •Tenxơ lệch biến dạng

ε 11

γ 12

γ 13

1 2

11 Dε

γ 21

ε 22

22

21 γ 23

Tε

(4.19)

ε 13 ε 23 ε ε − tb

11 ε 21 ε 31

ε 12 − ε ε tb 22 ε 32

33 − ε ε ⎡ tb ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

1 2 1 2

32

31 ⎡ ε ε ε 12 13 ⎢ ⎢ ε ε ε 23 ⎢ ⎢ ε ε ε ⎣ 33

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

γ 31

γ 32

ε 33

1 2 1 2

1 2

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

••TTenxơenxơ ccầầuu bibiếếnn ddạạngng:: •Tenxơ cầu biến dạng:

0

)

tbε

( ε ε ε 22 33

11 1 3

T ε

D T + 0 ε ε

0 0

0 Tε

ε tb 0

ε tb

ε ⎡ tb ⎢ 0 = ⎢ ⎢ 0 ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

July 2009 20(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.4. Biến dạng chính – Phương của biến dạng chính

• Tại một điểm luôn tồn tại ba phương vuông góc với nhau, trên ba phương đó biến dạng trượt bằng không - gọi là phương biến dạng chính

ε ε ε 22 33

• Các biến dạng tương ứng theo các phương này gọi là biến dạng chính, ký hiệu là 11 •Các biến dạng chính được xác định từ phương trình:

(4.23)

ε3 - J1ε2 + J2ε - J3 = 0

J ε ε ε + 33

22

11

1 ε ε ε 12 13

11 J

3 ε ε ε 23

22

21

22

11 J

2 ε ε ε 33

31

32 ε ε 23 ε ε 33

32 ε ε 13 ε ε 33

31 ε ε 12 ε ε 22

21

July 2009 21(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.5. Cường độ biến dạng

Cường độ biến dạng là một trị số tỉ lệ với căn bậc hai của bất biến thứ hai của ten-xơ lệch biến dạng

2

(4.25)

6

)

iε

( − ε ε 22

11 ( − ε ε 33

22 ( − ε ε 11

33 2 12

( 2 2 ε ε ε 31 23

)

2 3

4.6. Ten-xơ quay

Ngoài biến dạng dài và biến dạng góc, phân tố còn bị quay. Sự quay này được đặc trưng bởi góc quay của đường chéo phân tố.

July 2009 22(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.6. Ten-xơ quay

12ω

• Xét góc quay của đường chéo MQ của hình chiếu phân tố hình lập phương trên mặt Ox1x2 quay quanh trục x3, ta ký hiệu là

α/2

α/2 – MN quay góc α α/2 – MN quay góc α

N 1

ω12

−

ω 12

α β − 2 2

1 2

u ∂ 2 x ∂ 1

u ∂ 1 x ∂ 2

β/2 – MP quay góc β β/2 – MP quay góc β ⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

•Nếu qui ước góc quay là dương, khi đường chéo quay ngược chiều kim đồng hồ ta có:

P 1

−

ω 12

1 2

u ∂ 1 x ∂

2

(4.26)

β/2

−

ω 23

1 2

u ∂ 3 x ∂

u ∂ 2 x ∂

2

3

−

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

ω 13

1 2

u ∂ 2 x ∂ 1 u ∂ 2 x ∂

3 u ∂ 3 x ∂ 1

⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠

23(39) July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.6. Ten-xơ quay

u ∂

u

∂

j

γ ij

ω ij

ε ij

−

= −

ω ji

ω ij

1 2

u ∂ i x ∂

x ∂ i

1 2

x

u ∂ i x ∂

∂

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

j

i

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Ten xơ biến dạng có thể biểu diễn

u ∂ 1 x ∂ 3

ω 12 0

ω 12

T ε

− ω 31 ω 23 0

−

ω ω 23

⎡ ⎢ + − ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ε ε ε 12 13 ⎢ ⎢ ε ε ε 22 23 ⎢ ⎢ ε ε ε ⎣ 32 33

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

u ∂ 1 x ∂ 1 u ∂ 2 x ∂ 1 u ∂ 3 x ∂ 1

u ∂ 1 x ∂ 2 u ∂ x ∂ 2 u ∂ 3 x ∂ 2

u ∂ 12 x ∂ 3 u ∂ 3 x ∂ 3

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

0

Ten xơ quay

ω 12 0

ω 12

Tω

− ω 31 ω 23 0

ω − 23

⎡ ⎢ = −⎢ ⎢ ω ⎣ 31

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(4.30)

July 2009 24(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.7. Vận tốc – Gia tốc biến dạng – Tenxơ vận tốc xoáy

• Vận tốc và gia tốc biến dạng là các đạo hàm bậc nhất và bậc hai của biến dạng theo thời gian •• tenxơ tenxơ vvậậnn ttốốcc bibiếếnn ddạạngng bbéé • tenxơ vận tốc biến dạng bé

i ε 11

i γ 12

i γ 13

1 2

i 11

i 21

i γ 21

i ε 22

i γ 23

T i ε

1 2 1 2

i 31

i γ 31

i γ 32

i ε 33

⎡ i i ε ε ε ⎢ 13 12 ⎢ i i ε ε ε ⎢ 23 22 ⎢ ⎢ i i ε ε ε ⎢ 33 32 ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

1 2 1 2

1 2

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

0 i − ω 31

i ω 12

0 Tω

i ω 12

i ω 23

•• tenxơ tenxơ vvậậnn ttốốcc xoxoááyy • tenxơ vận tốc xoáy (đạo hàm bậc nhất của các thành phần tenxơ quay theo thời gian)

0 i ω 31

i − ω 23

⎡ ⎢ ⎢ = − ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

July 2009 25(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.8. Điều kiện tương thích của các biến dạng

Hệ phương trình hình học Navier-Cauchy

γ γ = 21

12 2 ε 12

ε 11

•• BBààii totoáánn thuthuậậnn: : bibiếếtt 3 3 ththàànhnh • Bài toán thuận: biết 3 thành => 6 ththàànhnh chuyểểnn vvịị => 6 phphầầnn chuy phần chuyển vị => 6 thành : OK !!! phphầầnn bibiếếnn ddạạngng: OK !!! phần biến dạng: OK !!!

u ∂ 1 x ∂

u ∂ 2 x ∂ 1

2 γ 23

γ 32

2 ε 23

ε 22

= γ γ 31

13 2 ε 13

ε 33

u ∂ 2 x ∂ 3 u ∂ 1 x ∂

•• BBààii totoáánn ngưngượợcc: : BiBiếếtt 6 6 ththàànhnh • Bài toán ngược: Biết 6 thành => 3 ththàànhnh phphầầnn bibiếếnn ddạạngng => 3 phần biến dạng => 3 thành chuyểểnn vvịị ?????? phphầầnn chuy phần chuyển vị ???

u ∂ 1 x ∂ 1 u ∂ 2 x ∂ 2 u ∂ 3 x ∂

u ∂ 3 x ∂ 2 u ∂ 3 x ∂ 1

3 f*

3 ẩn, 6 phương trình => giữa 3 ẩn, 6 phương trình => giữa các thành phần biến dạng phải các thành phần biến dạng phải có ràng buộc có ràng buộc

f

tương ththííchch ĐiĐiềềuu kikiệệnn tương Điều kiện tương thích

July 2009 26(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Các phân tố hình hộp đứng Các phân tố hình hộp đứng cạnh nhau trước biến dạng, cạnh nhau trước biến dạng, giữa chúng không có khe hở. giữa chúng không có khe hở. Nếu sự biến dạng của các Nếu sự biến dạng của các phân tố này là tùy ý thì giữa phân tố này là tùy ý thì giữa chúng có khe hở chúng có khe hở

4.8. Điều kiện tương thích của các biến dạng

Phương trình tương thích biến dạng

2

∂ ∂

2 ε 11 2 x 2

2

Nhóm1: Quan hệ giữa các thành phần biến dạng trong một mặt phẳng

3

2 2 ε ∂ 22 2 x ∂ 1 2 2 ε ε ∂ ∂ 33 11 + 2 2 x x ∂ ∂ 1 3 2 2 ε ∂ ε ∂ 33 22 2 2 x x ∂ ∂ 2 3

2 ∂ ε 12 x x ∂ ∂ 1 2 ∂ ε 13 x x ∂ ∂ 1 2 ∂ ε 23 x x ∂ ∂ 2

3 2 ∂ γ 12 x x ∂ ∂ 1 2 ∂ γ 13 x x ∂ ∂ 1 2 ∂ γ 23 x x ∂ ∂ 2

3

−

∂ ε 31 x ∂

ε ∂ 12 x ∂

Nhóm2: Quan hệ giữa các thành phần biến dạng trong các mặt phẳng khác nhau

2 ε ∂ 11 x x ∂ ∂ 2

3 ∂ x ∂ 1

∂ ε 23 x ∂ 1

2

3

−

∂ x ∂

∂ ε 31 x ∂

∂ ε 12 x ∂

2 ∂ ε 22 x x ∂ ∂ 3 1

2

3 ∂ ε 23 x ∂ 1

∂ x ∂

ε ∂ 31 x ∂

2 ε ∂ 33 x x ∂ ∂ 1

2

3 ε ∂ 23 x ∂ 1

2 ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ ε⎛ ∂ 12 − ⎜ x ∂ ⎝

⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠

July 2009 27(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn

4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn 4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn

- Khi xác định tenxơ biến dạng bé ta đã bỏ qua bình phương của biến dạng bé trong biểu thức

ds

−

2 2 + ε ε νν νν

ds 2

ds

2 không thể bỏ qua, nghiệm

- Biến dạng là lớn (hữu hạn) thì biến dạng dài ενν của phương trình (*) phụ thuộc vào

ds

ds−

Tenxơ biến dạng Green

2 ds

−

2 ds 1

G dX dX ij2

i

j

Toạ độ vật chất Toạ độ vật chất Lagrange Lagrange

ds

ds−

2 ds

−

j

2 ds 1

A dx dx ij2 i

Toạ độ không gian Toạ độ không gian Euler Euler

Tenxơ biến dạng Almansi

July 2009 28(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn

Toạ độ vật chất Lagrange Toạ độ vật chất Lagrange

G

11

12

13

Tenxơ biến dạng Green

G

T G

21

22

23

u ∂

G

31

32

33

⎡ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

G G =

1 2

X ∂

u ∂ i X ∂

u u ∂ ∂ X X ∂ ∂ i

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2 G

11 1 2

u ∂ 1 X ∂

u ∂ 2 X ∂

u ∂ 3 X ∂

1

2 G

22 1 2

u ∂ 2 X ∂

1 u ∂ 1 X ∂

1 u ∂ 2 X ∂

1 u ∂ 3 X ∂

2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

G

33 1 2

u ∂ 2 X ∂

u ∂ 3 X ∂

3

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

G

12 1 2

⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ 2 ⎞ ⎟ ⎠ 1 2

3 u ∂ 1 X ∂

⎡ ⎛ ⎢ ⎜ ⎢ ⎝ ⎣ ⎡ ⎛ ⎢ ⎜ ⎢ ⎝ ⎣ ⎡ ⎛ ⎢ ⎜ ⎢ ⎝ ⎣ u ∂ 2 X ∂

2

1 G

13 1 2

u ∂ 3 X ∂

u ∂ 1 X ∂

1

3 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 2 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ 3 u u ∂ ∂ 1 1 X X ∂ ∂ 2 1 u u ∂ ∂ 1 1 X X ∂ ∂ 3

⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 2 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 3 u u ∂ ∂ 2 2 X X ∂ ∂ 1 2 u u ∂ ∂ 2 2 X X ∂ ∂ 3

G

12 1 2

u ∂ 2 X ∂

u ∂ 3 X ∂

Các thành phần trên đường chéo của tenxơ biến dạng Green đặc trưng cho biến dạng dài theo phương các trục toạ độ, các thành phần còn lại dặc trưng cho biến dạng góc trong các mặt phẳng vuông góc với trục toạ độ.

3

2 1 u u ∂ ∂ 1 1 X X ∂ ∂ 2

3 1 u u ∂ ∂ 2 2 X X ∂ ∂ 2

3 u u ∂ ∂ 3 3 X X ∂ ∂ 2 1 u u ∂ ∂ 3 3 X X ∂ ∂ 3 1 u u ∂ ∂ 3 3 X X ∂ ∂ 2

3 u ∂ 3 X ∂ ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣

u ∂ 1 X ∂ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦

July 2009 29(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn

Toạ độ không gian Euler Toạ độ không gian Euler

Tenxơ biến dạng Almansi

T A

21

22

23

u ∂

A 11 A A

A 12 A A

A 13 A A

31

32

33

⎡ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

A ij

1 2

u ∂ i x ∂

u ∂ x ∂

x ∂ i

u ∂ k x ∂ i

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

−

A 11

1 2

u ∂ 1 x ∂ 1

u ∂ 2 x ∂ 1

u ∂ 3 x ∂ 1

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

2 ⎞ ⎟ ⎠ 2

A

−

22 1 2

u ∂ 1 x ∂

u ∂ 2 x ∂

u ∂ 3 x ∂

2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎠ 2

2 A

−

33 1 2

u ∂ 3 x ∂

u ∂ 1 x ∂

u ∂ 2 x ∂

u ∂ 3 x ∂

3

⎞ ⎟ ⎠

−

A 12

1 2

u ∂ 1 x ∂

⎛ ⎜ ⎝ u ∂ 2 x ∂

u ∂ 3 x ∂

2 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎛ ⎢ ⎜ ⎢ ⎝ ⎣ ⎡ ⎛ ⎢ ⎜ ⎢ ⎝ ⎣ u ∂ 2 x ∂ 1

⎛ ⎜ ⎝ u u ∂ ∂ 1 1 x x ∂ ∂ 1

2 u ∂ 2 x ∂ 1

2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ u ∂ 3 x ∂ 1

2

⎤ ⎥ ⎦

−

A 13

Các thành phần trên đường chéo của tenxơ biến dạng Almansi đặc trưng cho biến dạng dài theo phương các trục toạ độ, các thành phần còn lại dặc trưng cho biến dạng góc trong các mặt phẳng vuông góc với trục toạ độ.

u 3 x

1 2

u ∂ 1 x ∂

u ∂ 2 x ∂

∂ ∂

A

−

23 1 2

u ∂ 3 x ∂ 1 u ∂ 2 x ∂

3 u ∂ 3 x ∂

u u ∂ ∂ 1 1 x x ∂ ∂ 1 u ∂ 1 x ∂

3 u ∂ 1 x ∂

3 u ∂ 2 x ∂

u ∂ 2 x ∂ 1 u ∂ 2 x ∂

3 u ∂ 3 x ∂

u ∂ 3 x ∂ 1 u ∂ 3 x ∂

3

2

3

2

3

2

3

⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦

⎞ ⎟ ⎠ ⎡ 1 ⎢ 2 ⎣ ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦

July 2009 30(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn

4.9.3. Trường hợp biến dạng bé

- Tenxơ biến dạng Green và tenxơ biến dạng Almansi là hai cách mô tả trạng thái biến dạng tại một điểm của môi trường, chúng gồm hai thành phần: tuyến tính và phi tuyến của đạo hàm bậc nhất các thành phần chuyển vị.

- Trong trường hợp biến dạng bé, các thành phần phi tuyến trong tenxơ biến dạng Green và Almansi có thể bỏ qua

u

∂

j

Tenxơ biến dạng bé Green Tenxơ biến dạng bé Green

L ij

1 2

X

∂

u ∂ i X ∂

i

j

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

u

∂

j

E

Tenxơ biến dạng bé Euler Tenxơ biến dạng bé Euler

ij

x

1 2

u ∂ i x ∂

∂

j

i

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

- So sánh hai trường hợp, ta thấy khi xét biến dạng bé thì đạo hàm theo biến Lagrange và Euler là như nhau, do vậy lúc này không cần phân biệt cách mô tả. Như vậy: