intTypePromotion=1
ADSENSE

Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 - Nguyễn Thị Xuân Anh

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:56

203
lượt xem
29
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 có nội dung trình bày về tích phân mặt loại 1, tích phân mặt loại 2 bao gồm định nghĩa, tính chất, cách tính và các ví dụ cụ thể áp dụng cho từng nội dung trên.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 - Nguyễn Thị Xuân Anh

  1. CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT §1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1 §1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2
  2. Tích phân mặt loại 1 Định nghĩa : Cho hàm f(x,y,z) trên mặt S. Chia S thành n phần tùy ý không dẫm lên nhau. Gọi tên và diện tích của mỗi mặt đó là ΔSk, k=1, 2, .. , n . Trên mỗi mảnh đó ta lấy 1 điểm Mk tùy ý và lập tổng n Sn = ¥ f (Mk )D Sk k =1 Cho max(dΔSk) → 0 (dΔSk là đường kính của mảnh Sk), nếu tổng trên dần đến 1 giới hạn hửu hạn thì ta gọi đó là tp mặt loại 1 của hàm f(x,y,z) trên mặt S, kí hiệu là n � f ( x, y , z )ds = max(d D S � lim ¥ f (Mk )D Sk )¥ 0 k =1 S k
  3. Tích phân mặt loại 1 Tính chất : Diện tích mặt S được tính bởi S = � ds � S � (l f + m )ds = l � fds + m � � g � � gds S S S Nếu mặt S được chia thành 2 mặt không dẫm lên nhau là S1 và S2 thì � fds = � fds + � fds � � � S S1 S2
  4. Tích phân mặt loại 1 Cách tính: � � f ( x, y , z )ds = � f ( x, y , z( x, y )) 1 + z x2 + zy2dxdy � ¥ ¥ S Dxy Trong đó : Dxy là hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy (z=0) Từ pt mặt S là F(x,y,z)=0 ta rút ra z theo x, y để được z=z(x,y) Biểu thức 1+ zx2 + zy2 dxdy = ds được gọi là vi ¥ ¥ phân của mặt S
  5. Tích phân mặt loại 1 Ví dụ 1: Tính tích phân I1 trên mặt S là phần mặt nón z2=x2+y2 với 0≤z≤1 của hàm f(x,y,z)=x+y+z Hình chiếu của S xuống mp z=0 là Dxy : 0≤x2+y2≤1 ¥ x ¥ zx = ¥ ¥ 2 2 ¥ ¥ x2 + y 2 Pt mặt S (z dương) z = x + y → ¥ ¥ ¥ z¥ = y ¥ y ¥ 2 2 ¥ ¥ x +y Suy ra: ds = 2dxdy Vậy: I1 = � ( x + y + z )ds = � ( x + y + x 2 + y 2 ) 2dxdy � � S Dxy
  6. Tích phân mặt loại 1 Đổi tp sang tọa độ cực: 2p 1 I1 = � j �cos j + sin j + r ) rdr d ( 0 0 2p I1 = 3
  7. Tích phân mặt loại 1 Ví dụ 2: Tính tích phân I2 của hàm f(x,y,z)=x+2y+3z trên mặt S là mặt xung quanh tứ diện x=0, y=0, z=0, x+2y+3z=6 C Mặt S gồm 4 mặt nên tp I2 cũng được chia làm 4 tp Vì mặt x=0 nên x’y=x’z=0 → ds=dydz, chiếu xuống mp x=0 ta được Dyz: ΔOBC B O I21 = � fds = � (2y + 3z )dydz � � A ( x =0) D OBC
  8. Tích phân mặt loại 1 C Tương tự, tp trên 2 mặt tọa độ còn lại I22 = � fds = � ( x + 3z )dxdz � � ( y =0) D OAC B O I23 = � fds = � ( x + 2y )dxdy � � ( z=0) D OAB A Cuối cùng, trên mặt x+2y+3z=6 (mp(ABC)). Ta chiếu xuống mp z=0 thì Dxy: ΔOAB , vi phân mặt : 2 1 z = 2 - y - x � ds = 1+ 4 + 1dxdy = 14 dxdy 3 3 9 9 3
  9. Tích phân mặt loại 1 14 Do đó: I24 = � � fds = � 6. 3 dxdy � ( x +2 y +3 z=6) D OAB I2 = I21 + I22 + I23 + I24
  10. Tích phân mặt loại 1 Ví dụ 3: Tính tp I3 của hàm f(x,y,z)=x2+y2+2z trên mặt S là phần hình trụ x2+y2=1 nằm trong hình cầu x2+y2+z2=2 Chú ý: Ta không thể chiếu S xuống mp z=0 được vì cả mặt trụ x2+y2=1 có hình chiếu xuống mp z=0 chỉ là 1 đường tròn x2+y2=1 Chiếu S xuống mp x=0 hay y=0 đều như nhau. Ta sẽ tìm hình chiếu của S xuống mp x=0 bằng cách khử x từ 2 pt 2 mặt và được Dyz: y2≤1, z2 ≤ 1 Khi đó, ta viết x theo y, z từ pt mặt S: x =¥ 1- y 2
  11. Tích phân mặt loại 1 Do pt cả 2 mặt đều chẵn đối với x nên mặt S nhận x=0 là mặt đối xứng. Hơn nữa, hàm dưới dấu tp cũng là hàm chẵn với x nên ta sẽ tính tp trên phần mặt S với x>0 rồi nhân đôi. ¥ -y ¥ xy = ¥ ¥ x = 1- y 2 ¥ ¥ ¥ 1- y 2 ¥ ¥ x¥ = 0 ¥ z ¥ 1 � ds = dydz 1- y 2 Vậy: 1 1 1 + 2z I3 = 2 � � dy dz 2 -1 -1 1- y
  12. Tích phân mặt loại 1 Ví dụ 4: Tính diện tích S4 của phần mặt paraboloid y=1-x2-z2 nằm phía trên mp y=0 Với y≥0, ta được hình chiếu xuống mp y=0 của paraboloid là Dxz : x2+z2≤1 ¥ y x = - 2x Pt mặt S: 2 2 y = 1- x - y ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ y z = - 2z ¥ ¥ Vậy: S4 = � ds = � 1+ 4 x 2 + 4z 2dxdz � � S4 Dxz 2p 1 p S4 = � j � 1+ 4r dr = ( 125 - 1) d r 2 0 0 6
  13. Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt Vecto Gradient: Cho mặt cong S có pt là F(x,y,z)=0. Ta gọi vecto gradient của hàm F tại điểm M là vecto �F (M ) = ( Fx¥(M ), Fx¥(M ), Fx¥(M )) Mặt cong S được gọi là mặt trơn nếu các đạo hàm riêng F’x, F’y, F’z liên tục và không đồng thời bằng 0 trên S tức là vecto gradient của F liên tục và khác 0 Khi mặt S được cho bởi pt z=z(x,y) thì ta đặt F(x,y,z) = z-z(x,y) = 0 ( x, y ) ¥ D Lúc đó, mặt S trơn nếu các đạo hàm riêng z’x, z’y liên tục trên D
  14. Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt Mặt định hướng : Mặt S được gọi là mặt định hướng hay là mặt 2 phía nếu tại điểm u bất kỳ của S xác M r định được vecto pháp đơn vị n(M ) sao cho hàm u r vecto n(M ) liên tục trên S Khi ta chọn 1 hàm vecto xác định, ta nói ta đã định hướng xong mặt S, vecto đã chọn là vecto pháp dương. Phíc tương ứng của mặt S là phía mà khi ta đứng trên phía ấy, vecto pháp ứng từ chân lên đầu Mặt S trơn cho bởi pt F(x,y,z) là mặt định hướng được với pháp vecto đơn vị là u r ¥ F n=¥ |¥ F |
  15. Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt Pháp vecto đơn vị trên còn có thể viết bằng cách u r khác: n = (cos a,cos b,cos g) Trong đó α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi nửa dương 3 trục Ox, Oy, Oz với pháp vecto Để xác định pháp vecto của mặt S với pt là F(x,y,z)=0, ta sẽ làm theo 3 bước sau: 1. Tính �F = (Fx¥, Fy¥, Fz¥) 2. Xác định 1 trong 3 góc α, β, γ xem góc là nhọn hay là tù để suy ra 1 trong 3 tọa độ của pháp vecto là dương hay âm 3. Xác định dấu của pháp vecto
  16. Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt Ví dụ 1: Tính pháp vecto của mặt S với S là phía trên mặt phẳng x+2y+4z=8 Pt mặt S: F(x,y,z) = x+2y+4z-8(=0) 2 → �F = (1,2,4) u r n Hướng của mặt S là phía trên tức là vecto pháp cùng hướng với nửa dương trục Oz, nên: 4 uu u r r p g = g (Oz, n ) < → cosγ>0 2 8 u r Vậy dấu cần lấy là “+’ để tọa 1 n=+ (1,2,4) độ thứ 3 là dương. 21
  17. Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt Ví dụ 2: Cho S là phía trên của nửa mặt cầu x2+y2+z2=R2, z≥0. Tính pháp vecto của S Pt mặt S là F(x,y,z)=x2+y2+z2-R2 (=0) �F = (2 x,2y ,2z ) Cho S là phía trên tức là pháp vecto cùng hướng với nửa dương trục Oz, suy ra góc γ≤π/2 nên cosγ>0 Vì mặt S chỉ tính với z dương u r ( x, y , z ) nên ta chọn dấu “+” để tọa n=+ độ thứ 3 của pháp vecto R dương
  18. Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt u r ( x, y , z ) n=+ R 0 x≤ x≥ 0 Khi đó, 2 góc α, β là nhọn hay tù sẽ phụ thuộc vào x, y là dương, hay âm y ≤0 y≥ 0 Với x≥0: thành phần thứ nhất dương tức là cosα≥0 → α≤π/2 và x≤0: cosα≤0 → α≥π/2 Với y≥0: cosβ≥0 → β≤π/2 và y≤0: cosβ≤0 → β≥π/2
  19. Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt Ví dụ 3: Tính pháp vecto của mặt S là phía ngoài mặt trụ x2+y2=1 Pt mặt S: F(x,y,z)=x2+y2-1(=0) �F = ( x, y ,0) Rõ ràng, S là mặt trụ song song với trục Oz nên pháp vecto vuông góc với trục Oz tức là γ=π/2 → cosγ=0 Pháp vecto hướng ra phía u r ngoài, ta sẽ so với nửa dương n = +( x, y ,0) trục Oy, thì β≤π/2 → cosβ≥0 Ta chọn dấu sao cho khi y>0 thì thành phần thứ 2 của vecto cũng dương tức là chọn dấu “+”
  20. Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt Ví dụ 4: Tìm pháp vecto của mặt S là phía dưới của mặt trụ z=x2 Pt mặt S: F(x,y,z)=x2-z(=0) �F = (2 x,0,- 1) Mặt S là phía dưới tức là pháp vecto ngược với hướng nửa dương trục Oz, tức là γ>π/2 → cosγ
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2