Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 có nội dung trình bày về tích phân mặt loại 1, tích phân mặt loại 2 bao gồm định nghĩa, tính chất, cách tính và các ví dụ cụ thể áp dụng cho từng nội dung trên.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 - Nguyễn Thị Xuân Anh
- CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT
§1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1
§1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2
- Tích phân mặt loại 1
Định nghĩa : Cho hàm f(x,y,z) trên mặt S. Chia S
thành n phần tùy ý không dẫm lên nhau. Gọi tên và
diện tích của mỗi mặt đó là ΔSk, k=1, 2, .. , n . Trên
mỗi mảnh đó ta lấy 1 điểm Mk tùy ý và lập tổng
n
Sn = ￥ f (Mk )D Sk
k =1
Cho max(dΔSk) → 0 (dΔSk là đường kính của
mảnh Sk), nếu tổng trên dần đến 1 giới hạn hửu
hạn thì ta gọi đó là tp mặt loại 1 của hàm f(x,y,z)
trên mặt S, kí hiệu là
n
� f ( x, y , z )ds = max(d D S
� lim ￥ f (Mk )D Sk
)￥ 0 k =1
S k
- Tích phân mặt loại 1
Tính chất :
Diện tích mặt S được tính bởi S = � ds
�
S
� (l f + m )ds = l � fds + m �
� g � � gds
S S S
Nếu mặt S được chia thành 2 mặt không dẫm lên
nhau là S1 và S2 thì
� fds = � fds + � fds
� � �
S S1 S2
- Tích phân mặt loại 1
Cách tính:
�
� f ( x, y , z )ds = � f ( x, y , z( x, y )) 1 + z x2 + zy2dxdy
� ￥ ￥
S Dxy
Trong đó :
Dxy là hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy (z=0)
Từ pt mặt S là F(x,y,z)=0 ta rút ra z theo x, y để
được z=z(x,y)
Biểu thức 1+ zx2 + zy2 dxdy = ds được gọi là vi
￥ ￥
phân của mặt S
- Tích phân mặt loại 1
Ví dụ 1: Tính tích phân I1 trên mặt S là phần mặt nón
z2=x2+y2 với 0≤z≤1 của hàm f(x,y,z)=x+y+z
Hình chiếu của S xuống mp z=0 là Dxy : 0≤x2+y2≤1
￥ x
￥ zx =
￥
￥
2 2
￥
￥ x2 + y 2
Pt mặt S (z dương) z = x + y → ￥
￥
￥ z￥ = y
￥ y
￥ 2 2
￥
￥ x +y
Suy ra: ds = 2dxdy Vậy:
I1 = � ( x + y + z )ds = � ( x + y + x 2 + y 2 ) 2dxdy
� �
S Dxy
- Tích phân mặt loại 1
Đổi tp sang tọa độ cực:
2p 1
I1 = � j �cos j + sin j + r ) rdr
d (
0 0
2p
I1 =
3
- Tích phân mặt loại 1
Ví dụ 2: Tính tích phân I2 của hàm f(x,y,z)=x+2y+3z
trên mặt S là mặt xung quanh tứ diện x=0, y=0, z=0,
x+2y+3z=6
C Mặt S gồm 4 mặt nên tp I2
cũng được chia làm 4 tp
Vì mặt x=0 nên x’y=x’z=0 →
ds=dydz, chiếu xuống mp
x=0 ta được Dyz: ΔOBC
B
O
I21 = � fds = � (2y + 3z )dydz
� �
A
( x =0) D OBC
- Tích phân mặt loại 1
C Tương tự, tp trên 2 mặt tọa
độ còn lại
I22 = � fds = � ( x + 3z )dxdz
� �
( y =0) D OAC
B
O I23 = � fds = � ( x + 2y )dxdy
� �
( z=0) D OAB
A
Cuối cùng, trên mặt x+2y+3z=6 (mp(ABC)). Ta chiếu
xuống mp z=0 thì Dxy: ΔOAB , vi phân mặt :
2 1
z = 2 - y - x � ds = 1+ 4 + 1dxdy = 14 dxdy
3 3 9 9 3
- Tích phân mặt loại 1
14
Do đó: I24 = � � fds = � 6. 3 dxdy
�
( x +2 y +3 z=6) D OAB
I2 = I21 + I22 + I23 + I24
- Tích phân mặt loại 1
Ví dụ 3: Tính tp I3 của hàm f(x,y,z)=x2+y2+2z trên
mặt S là phần hình trụ x2+y2=1 nằm trong hình cầu
x2+y2+z2=2
Chú ý: Ta không thể chiếu S xuống mp z=0 được vì
cả mặt trụ x2+y2=1 có hình chiếu xuống mp z=0 chỉ
là 1 đường tròn x2+y2=1
Chiếu S xuống mp x=0 hay y=0 đều như nhau. Ta
sẽ tìm hình chiếu của S xuống mp x=0 bằng cách
khử x từ 2 pt 2 mặt và được Dyz: y2≤1, z2 ≤ 1
Khi đó, ta viết x theo y, z từ pt mặt S: x =￥ 1- y 2
- Tích phân mặt loại 1
Do pt cả 2 mặt đều chẵn đối với x nên mặt S nhận
x=0 là mặt đối xứng. Hơn nữa, hàm dưới dấu tp cũng
là hàm chẵn với x nên ta sẽ tính tp trên phần mặt S
với x>0 rồi nhân đôi.
￥ -y
￥ xy =
￥
￥
x = 1- y 2 ￥ ￥ ￥ 1- y 2
￥
￥ x￥ = 0
￥ z
￥
1
� ds = dydz
1- y 2
Vậy:
1 1
1 + 2z
I3 = 2 � �
dy dz
2
-1 -1 1- y
- Tích phân mặt loại 1
Ví dụ 4: Tính diện tích S4 của phần mặt paraboloid
y=1-x2-z2 nằm phía trên mp y=0
Với y≥0, ta được hình chiếu xuống mp y=0 của
paraboloid là Dxz : x2+z2≤1
￥ y x = - 2x
Pt mặt S: 2 2
y = 1- x - y ￥ ￥ ￥ ￥
￥ y z = - 2z
￥ ￥
Vậy: S4 = � ds = � 1+ 4 x 2 + 4z 2dxdz
� �
S4 Dxz
2p 1
p
S4 = � j � 1+ 4r dr = ( 125 - 1)
d r 2
0 0 6
- Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
Vecto Gradient: Cho mặt cong S có pt là F(x,y,z)=0.
Ta gọi vecto gradient của hàm F tại điểm M là vecto
�F (M ) = ( Fx￥(M ), Fx￥(M ), Fx￥(M ))
Mặt cong S được gọi là mặt trơn nếu các đạo hàm
riêng F’x, F’y, F’z liên tục và không đồng thời bằng 0
trên S tức là vecto gradient của F liên tục và khác 0
Khi mặt S được cho bởi pt z=z(x,y) thì ta đặt
F(x,y,z) = z-z(x,y) = 0 ( x, y ) ￥ D
Lúc đó, mặt S trơn nếu các đạo hàm riêng z’x, z’y
liên tục trên D
- Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
Mặt định hướng : Mặt S được gọi là mặt định hướng
hay là mặt 2 phía nếu tại điểm u bất kỳ của S xác
M
r
định được vecto pháp đơn vị n(M ) sao cho hàm
u
r
vecto n(M ) liên tục trên S
Khi ta chọn 1 hàm vecto xác định, ta nói ta đã định
hướng xong mặt S, vecto đã chọn là vecto pháp
dương. Phíc tương ứng của mặt S là phía mà khi ta
đứng trên phía ấy, vecto pháp ứng từ chân lên đầu
Mặt S trơn cho bởi pt F(x,y,z) là mặt định hướng
được với pháp vecto đơn vị là u r ￥ F
n=￥
|￥ F |
- Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
Pháp vecto đơn vị trên còn có thể viết bằng cách
u
r
khác: n = (cos a,cos b,cos g)
Trong đó α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi nửa dương 3
trục Ox, Oy, Oz với pháp vecto
Để xác định pháp vecto của mặt S với pt là F(x,y,z)=0,
ta sẽ làm theo 3 bước sau:
1. Tính �F = (Fx￥, Fy￥, Fz￥)
2. Xác định 1 trong 3 góc α, β, γ xem góc là nhọn hay là
tù để suy ra 1 trong 3 tọa độ của pháp vecto là
dương hay âm
3. Xác định dấu của pháp vecto
- Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
Ví dụ 1: Tính pháp vecto của mặt S với S là phía
trên mặt phẳng x+2y+4z=8
Pt mặt S: F(x,y,z) = x+2y+4z-8(=0)
2 → �F = (1,2,4)
u
r
n Hướng của mặt S là phía trên
tức là vecto pháp cùng hướng
với nửa dương trục Oz, nên:
4 uu u
r r p
g = g (Oz, n ) < → cosγ>0
2
8
u
r Vậy dấu cần lấy là “+’ để tọa
1
n=+ (1,2,4) độ thứ 3 là dương.
21
- Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
Ví dụ 2: Cho S là phía trên của nửa mặt cầu
x2+y2+z2=R2, z≥0. Tính pháp vecto của S
Pt mặt S là
F(x,y,z)=x2+y2+z2-R2 (=0)
�F = (2 x,2y ,2z )
Cho S là phía trên tức là pháp
vecto cùng hướng với nửa
dương trục Oz, suy ra góc γ≤π/2
nên cosγ>0
Vì mặt S chỉ tính với z dương
u
r ( x, y , z ) nên ta chọn dấu “+” để tọa
n=+ độ thứ 3 của pháp vecto
R
dương
- Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
u
r ( x, y , z )
n=+
R
0
x≤
x≥
0 Khi đó, 2 góc α, β là nhọn
hay tù sẽ phụ thuộc vào
x, y là dương, hay âm
y ≤0 y≥
0
Với x≥0: thành phần thứ nhất dương tức là cosα≥0
→ α≤π/2 và x≤0: cosα≤0 → α≥π/2
Với y≥0: cosβ≥0 → β≤π/2 và y≤0: cosβ≤0 → β≥π/2
- Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
Ví dụ 3: Tính pháp vecto của mặt S là phía ngoài
mặt trụ x2+y2=1
Pt mặt S: F(x,y,z)=x2+y2-1(=0)
�F = ( x, y ,0)
Rõ ràng, S là mặt trụ song song
với trục Oz nên pháp vecto
vuông góc với trục Oz tức là γ=π/2
→ cosγ=0
Pháp vecto hướng ra phía
u
r ngoài, ta sẽ so với nửa dương
n = +( x, y ,0) trục Oy, thì β≤π/2 → cosβ≥0
Ta chọn dấu sao cho khi y>0 thì thành phần thứ 2 của
vecto cũng dương tức là chọn dấu “+”
- Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
Ví dụ 4: Tìm pháp vecto của mặt S là phía dưới của
mặt trụ z=x2
Pt mặt S: F(x,y,z)=x2-z(=0)
�F = (2 x,0,- 1)
Mặt S là phía dưới tức là pháp
vecto ngược với hướng nửa
dương trục Oz, tức là
γ>π/2 → cosγ
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
