CHƯƠNG IV: CHUỖI
§1. CHUỖI SỐ
1. CHUỖI SỐ DƯƠNG
2. CHUỖI ĐAN DẤU
3. CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ
§2. CHUỖI LŨY THỪA
1. CHUỖI LŨY THỪA
2. CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Định nghĩa: Cho dãy số {un}. Ta gọi tổng tất cả các
n
1
¥ å n =
u số hạng của dãy (TỔNG VÔ HẠN) là chuỗi số
Ta gọi: 1. un là số hạng tổng quát của chuỗi
2. Tổng riêng thứ n của chuỗi là tổng n – số
hạng đầu tiên : Sn=u1+u2+…+un
S
=
< ¥
lim S n n ® ¥
3. Tổng của chuỗi là giới hạn hữu hạn (nếu có)
n
1
¥ å n =
u S = = Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ. Ngược lại, tức là hoặc không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn ra vô tận thì ta nói chuỗi phân kỳ Vậy khi chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng S n lim n ® ¥
n
2
1
...
+
+
+
u
=
Þ
n
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
7 15 + 8 16
3 4
- n 2
n
2
4
2
2
...
+
+
+
+
Þ
=
nu
2 n
3 2 2 1 1.2 1.2.3 1.2.3.4
!
Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi: 1 2
u
=
=
Þ
5
2 1
n + n 4 -
1
Tính u5?
7 2 5 4.5 1 19
+ -
Ví dụ: Tính số hạng un của các chuỗi ¥ å n =
n (2 n (
1)!! 1)!
- +
1
¥ å n =
u
Þ
=
=
=
=
6
11!! 7!
1.3.5.7.9.11 1.2.3.4.5.6.7
99 48
(2.6 1)!! - (6 1)! +
Tính u6
n
q
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
0
¥ å n =
Ví dụ: Tính tổng của chuỗi cấp số nhân
ì
n q ,
1
n
2
= n
q
q
q
1
...
= + +
+
+
ïïï= í
nS
q
,
1
¹
q q
1 - 1 -
ï ï ïî
Ta bắt đầu từ việc tính tổng riêng thứ n của chuỗi
S
=
=
Rõ ràng khi q=1, Sn=n thì chuỗi là phân kỳ
S n
lim n ® ¥
q
1 1 - Tức là chuỗi hội tụ và có tổng là S
Khi |q|<1: qn→0 khi n→∞ nên
n
Khi |q|>1: Dãy {Sn} không có giới hạn → chuỗi phân kỳ
q
0
¥ Vậy chuỗi cấp số nhân å n =
hội tụ khi và chỉ khi |q|<1
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
-
ö ÷ ÷ ÷ ø
0
¥ å n =
æ 1 ç ç çè n 3
1 n 5
=
=
=
1 n ( ) 3
3 2
0
0
Ví dụ: Tính tổng của chuỗi
¥ å n =
1 n 3
1
-
(
n )
-
=
-
=
= -
1 5
5 4
0
0
¥ å n =
¥ å n =
1 n 5
1 1 3 1 - 1 1 - 5
Áp dụng kết quả ví dụ trên, ta có ¥ å n =
-
=
-
=
ö ÷ ÷ ÷ ø
3 2
5 4
1 4
0
¥ å n =
æ 1 ç ç çè n 3
1 n 5
Vậy:
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
1
¥ å n =
n
4
1
1 2 -
u
u
...
+
+
=
+
Ví dụ: Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của
n
S n
2
=
=
Tổng riêng:
nu
- 1 2
...
+
+
=
nS 2
1 1 ( n 2 2 - 1 ö ö æ 1 1 ÷ ÷ ç - + ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç ø ø è 5 7
1 n + æ ç ç ç è 2
- 1 2
ö ÷ ÷ ÷ ø 1
æ 1 1 ç - ç ç è 1 3
) 1 1 n -
1 n +
1 = -
nS 2
1
2
u 1 1 2 n 4 - ö æ 1 1 ÷ ç - + ÷ ç ÷ ç ø è 3 5 1 n +
Ta có:
S
=
=
=
S n
lim n ® ¥
1 2
1
¥ å n =
n
4
1
1 2 -
Tổng của chuỗi:
ln(1
)
+
1 n
1
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số ¥ å n =
k
k
)
)
ln
ln(1
=
+
-
+
=
)
S n
( ln(1 1
1
n å k =
n
...
(ln(
1)
n ln )
+
(ln3 ln 2) -
+
+
+
-
1 n å k k = (ln 2 ln1) -
=
n
ln(
1)
=
+
nS nS S
n
1)
=
=
+
= ¥
S n
Tổng riêng:
lim n ® ¥
lim ln( n ® ¥
Ta có:
Vậy chuỗi đã cho phân kỳ
§1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ
n
1
¥ å n =
u Điều kiện cần của sự hội tụ : Chuỗi hội tụ thì un→0
u
0
¹
n
u
n
u
1 0
= ¹
=
n
lim n ® ¥
n
1
n +
n +
1
é 1. lim ê n ® ¥ ê 2. lim $êë n ® ¥ Ví dụ: Các chuỗi sau phân kỳ theo đkccsht ¥ å n =
n
n
+
+
1 0
= ¹
, vì lim n ® ¥
n n ( 1) - n
1
u
=
= -
1 0 ¹
n
, vì lim n ® ¥
lim n ® ¥
1
¥ å n = ¥ å n =
n
n
, vì lim 1 n ® ¥ n ( 1) - n n n ( 1) -
-
n n ( 1) -
-
Ta thường dùng điều kiện này để chứng minh chuỗi số phân kỳ bằng cách chứng minh
u
u
và
n
n
1
§1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ
¥ å n =
Tính chất 1: Tính hội tụ (phân kỳ) của chuỗi không thay đổi nếu ta bỏ đi một số hữu hạn các phần tử của chuỗi. Tức là 2 chuỗi sau cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ ¥ å n p =
n
n
1
u Q P và = = Tính chất 2: Cho 2 chuỗi hội tụ
¥ å n =
¥ å n =
v 1
Các chuỗi sau hội tụ với tổng
)
) = Q l
n
n
n
( u 1
( ul 1
¥ å n =
¥ å n =
v , + = Q P +
Chú ý: Tổng của 1 chuỗi HT và 1 chuỗi PK thì PK
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
n n
1 1
¥ ¥ å å n n = =
0 0 ³ ³ Chuỗi số Chuỗi số u u u u , , n n với tất cả các số hạng với tất cả các số hạng
không âm thì gọi là chuỗi không âm không âm thì gọi là chuỗi không âm
Khi đó, dãy tổng riêng {Sn} là dãy số không giảm nên chuỗi HT khi và chỉ khi dãy {Sn} bị chặn trên Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương, chúng
ta sẽ sử dụng 1 trong 4 tiêu chuẩn :
1. Tiêu chuẩn tích phân Maulaurint – Cauchy
2. Tiêu chuẩn so sánh
3. Tiêu chuẩn Cauchy
4. Tiêu chuẩn d’Alembert
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Tiêu chuẩn tích phân Maclaurint – Cauchy: Cho hàm f(x)≥0, liên tục và đơn điệu giảm trên [1,∞).
f x dx ( )
f n ( )
1
¥ å n =
¥ HT khi và chỉ khi tp ò 1
HT Khi ấy, chuỗi
1 ¥ å n na 1 =
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n
n
u u = Þ = + ¥ * Khi α<0:
lim n ® ¥ 1 na
Chuỗi PK theo đkccsht
n
u
1 = " Þ
= ¹
n
n
lim n ® ¥
1 0 Chuỗi PK theo đkccsht
* Khi α=0: u
f x ( ) * Khi α>0: Xét hàm
thỏa các điều kiện của tiêu chuẩn tích phân 1 xa=
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
dx
1 xa
+ ¥ ò 1
Vì tích phân hội tụ khi và chỉ khi α>1 nên
1 ¥ å n na 1 =
Hội tụ khi α>1 và phân kỳ khi α≤1 Chuỗi
¥ å n n 2 =
1 n b (ln )
f x ( )
=
Ví dụ: Khảo sát sự HT của chuỗi
x
1 x a (ln )
Xét hàm trên [2,+∞), ta có
f(x) không âm, hàm liên tục và khi x tăng thì lnx tăng nên f(x) giảm tức là hàm f(x) thỏa điều kiện của tiêu chuẩn tích phân
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
1
ì + ¥
b
£
=
khi >1 b
x
dx b x (ln )
x d (ln ) b x (ln )
1
-
+ ¥ ò 2
+ ¥ ò 2
(
khi 1 1)(ln2)b
b
-
ïïï= í ïï ïî
Mặt khác
¥ å n n 2 =
1 n b (ln )
Vậy chuỗi HT khi β>1 và PK khi β≤1
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
u
và
Tiêu chuẩn so sánh 1:
n
n
1
v 1
¥ å n =
¥ å n =
p
p u :
$
³
³
n
Cho 2 chuỗi số không âm thỏa
n
1
Khi ấy: HT HT Þ u n
v 1
n
n
u PK PK Þ
1
v n " n ¥ 1. å n = ¥ 2. å n =
¥ å n = ¥ å n =
v 1
Ghi nhớ: Chuỗi “lớn” HT kéo theo chuỗi “nhỏ” HT và ngược lại chuỗi “nhỏ” PK kéo theo chuỗi “lớn” PK
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
1
¥ å n =
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n 2 n +
3 1
Ta so sánh
n
n
u v n , = = "
n 2 £ n 1 3
n
3
q
q
,
=
=
=
n
2 3
1
n æ ö 2 ÷ç ÷ç ÷çè ø 3 1
1
¥ å n =
¥ å n =
¥ å n =
n 2 n + n 2 3
Vì là chuỗi hội tụ
Suy ra chuỗi đã cho hội tụ
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Tiêu chuẩn so sánh 2:
n
1
và Cho 2 chuỗi số không âm thỏa u n
¥ å n =
¥ å n =
v 1
K =
n
n
1
u HT HT Þ u lim n v® ¥ n n Khi ấy: 1. Nếu K=∞ thì
¥ å n =
¥ å n =
v 1
2. Nếu 0 n n u HT HT Þ 3. Nếu K=0 thì 1 ¥
å
n
= ¥
å
n
= v
1 §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Khi dùng tiêu chuẩn so sánh, thường xuyên ta sẽ so
sánh với 1 trong 2 chuỗi cơ bản sau n n Hội tụ khi |q|<1 q q , 1 = < 1 q q 1 1
- 0 ¥
å
n
= Chuỗi cấp số nhân:
¥
å
n
= Phân kỳ khi |q|≥1 Chuỗi điều hòa : 1
¥
å
n na
1
= Hội tụ khi α>1 Phân kỳ khi α≤1 2
2
2 §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm 1
1
1 ¥
¥
¥
å
å
å
n
n
n
=
=
= Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi -
-
-
3
3
3 n
n
n
n
n
n n
n
n
2
2
2
n
n
n 2
2
2
1
1
1 +
+
+
+
+
+ +
+
+ 2 Ta dùng T/c so sánh 2 bằng cách tính khi n→∞ n n n Khi n→∞ thì u v = : = -
3 1
n n
n n
2
n 2
1 +
+ + n Tức là lim 1 = (hai chuỗi cùng HT hoặc cùng PK) u
v® ¥ = n 1
n v
1 1 ¥
å
n
= n
¥
å
n
= Mà là chuỗi phân kỳ Vậy chuỗi đã cho phân kỳ §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm n
ö+ ÷
n
÷
÷
ø
n 1 ¥
å
n
= æ
1 1
ç
ç
çè
2
n u v e
. = = : Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi n n æ
1 1
ç
ç
çè
2
n 1
2
n Khi n→∞ thì e
. = n v
1 1 ¥
å
n
= ¥
å
n
= n
ö+ ÷
n
÷
÷
ø
n
1
2
n hội tụ Mà chuỗi Theo tiêu chuẩn so sánh 2 ta được kết quả: Chuỗi
đã cho HT §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm ln n 1 1
- Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi u ln = = + n ¥
å
n
1
=
æ
ç
ln 2(1
ç
ç
è n n 1 1 1) 2( 1
- ö+
æ
n
1
2
÷
ç
÷
ç
÷
ç
ø
è
n
1
- 1
- ö+ ÷
æ
n
1
2
ç
÷
ç
÷
çè
ø
n
1
-
ö
3
÷
÷
÷
ø
n
- ) + = + + = n n æ
ç
ln2 ln(1
+
ç
çè
1 2( ö
÷
)
÷
÷
ø
1) ln(1
1 2( 1) 1
- 3
n
- ln2
n
1
- 1
- 3
n
- nu
Do n : ln(1+ ) ® ¥ : = n n 1 2( 1) .
1 2( 1
- 3
n
- 1
- 3
n
- n 2( 3
- 2
1)
1)
Nên theo t/c so sánh 2: chuỗi đã cho PK vì nó là tổng
của 2 chuỗi ln(1 ) HT + n 2 2( 1) ln2
PK và
n
1
- 1
- 3
n
- 2 2 ¥
å
n
= ¥
å
n
= Ta có : §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm n sin a
ö
÷
÷
÷
ø 1
n æ
ç -
1
ç
çè
1 ¥
å
n
= 0 ® Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1
n sin Khi n→∞ thì 1
n n sin - nu n O ( = - + Nên ta có thể khai triển Maclaurint hàm 2 æ
ç=
1
ç
çè 1
n æ
ç
1
-
ç
ç
è a
ö
ö÷÷
)
÷÷
÷
÷
ø
ø æ
1
ç
ç
ç
è
n 1 1
3
3!
n 1
3
n : 1
6n 2 ¥
å
6n
1
= Mà chuỗi HT Nên chuỗi đã cho HT Vậy khi n→∞ thì
a
ö
÷
÷
÷
ø
1
n 2 n 1 ln §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm n e
3
n
1 n
n
n
2
2 n - Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi e 0 = ® 1
2
n e 2 2 n n - - n u ln( 1
) ln(1 ) = = + n +
n 1
n 1 n e
-
3
n
- n e
-
3
n
- 1
2 n - u ln(1 ) = + : = n 1
n 1
n n
3
n 1
3
n 1 n e
-
3
n
- Khi n →∞ : Suy ra 1 ¥
å
n
= 1
3
n Mà chuỗi phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm n 1 Xét chuỗi số dương:
Xét chuỗi số dương: u Tiêu chuẩn d’Alembert :
¥
å
n
= • q < 1: Dn < q : chuỗi hội tụ D
n u
1n
u n • Dn 1 : chuỗi phân kỳ • D < 1 : hội tụ
1 D D
n • D > 1 : phân kỳ lim
n
u
lim n
u
n
n • D = 1 : không có kết luận Đặt : §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn Cauchy : n 1 ¥
å
n
= Xét chuỗi số dương: u • q < 1: Cn < q : chuỗi hội tụ n
u C
n n • Cn 1 : chuỗi phân kỳ • C < 1 : hội tụ C u C
n n • C > 1 : phân kỳ lim
n
lim n
n
• C = 1 : không có kết luận Đặt : §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn Rapb :
1 (sử dụng khi D = 1 và Dn < 1 hoặc C=1 và Cn<1) n n R
n u n n R
n Đặt u
n
u n
R R
n R R
n Hoặc
1
lim
n
• R > 1 : hội tụ • R < 1 : phân kỳ • R = 1 : không có kết luận §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm 1)! 1/ 1 ¥
å
n
= 1) 2 / n
(2
+
2 4
n
4
n n
(
-
ö- ÷
1
÷
÷
ø
n æ
n
ç
ç
çè
1 3 / n
(2
-
n
(2 )!!(2 1) 1)!!
n
+ 1 n ln - a a 4 / , 0 > 1 ¥
å
n
=
¥
å
n
=
¥
å
n
= Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau: §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm 1)! 1/ 1 ¥
å
n
= 1)! (2( u = Þ = n u
n 1 + n
(2
+
2 4
n
4 n
+
2
n
4 ( 1) 1)!
+
4
1)
+ 4 1 + n n . (2 2)(2 3) Þ = = + + 4 u
n
u 4
n
(2 1)! 2 4
n
+ n n
(2
2
n
4 ( 3)!
4
1) 1) ( +
+ n
+ 1 + Þ = ¥ n
u
lim n
u
n
® ¥ n n
(2
+
2 4
n
4 Chuỗi PK theo tiêu chuẩn d’Alembert 1) 2 / n n
(
-
ö- ÷
1
÷
÷
ø
n æ
n
ç
ç
çè
1 ¥
å
n
= n 1) 1) - - n u = Þ = n u
n æ
n
ç
ç
ç
è n n
(
ö
1
÷
÷
÷
ø æ
n
ç
ç
ç
è (
ö
1
÷
÷
÷
ø -
n -
n 1) n
- 1 Þ = = = < n n
lim u
n
® ¥ lim
n
® ¥ lim
n
® ¥ æ
n
ç
ç
çè n 1) - (
ö- ÷
1
÷
÷
ø
n 1
e (1 + n (
)
1 1
1
- §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Vậy chuỗi HT theo tiêu chuẩn Cauchy 3 /
n
n
1
2 3
1 D
n n (2
n
1)
n
2).(2 (2 3) a
n
a
n 1
n
1
n
2 1 1 không dùng tc D’A được n
1)!! 1
(2
n
(
1
2 )!! 2
n
(2
1)!!
n
(2
2)!! 2
n
(2
1)!!
n
(2 )!!
D
n D
n 1& lim
n
2 §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm 2 §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm n n (2 n
5
6
n
2)(2 3) 1 R
n lim
n
3
2 chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Rapb n ln a a 4 / , 0
n
1
n 0 n n ln ln
n a 1 = = a a §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm C
n nC n ln( 1) a n n 0 ln ln( 1) 1
n
1 lim
n
® ¥
ln 1
và a a a 1 = = D
n D
n n ln lim
n
® ¥ a n n a a và ln ln ln a e n (Ta không dùng được tiêu chuẩn Cauchy, d’Alembert)
ln Biến đổi a 1
ln
n n
1
Suy ra chuỗi đã cho là chuỗi điều hòa Chuỗi HT khi và chỉ khi lna>1 ↔ a>e §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu n
( 1) n
( 1)
- n n 2 1 u u u ... ..., = - + - + + - + ³ n n
,
" u
n u
1 u
3 Chuỗi số
¥
å
n
=
gọi là chuỗi đan dấu ì u u £ n u Tiêu chuẩn Leibnitz : n u 0 1
-
= n ( 1)n
-
1 ¥
å
n
= n
lim
n
® ¥ ïïïí
ïïïî Nếu thì chuỗi hội tụ Khi ấy, ta gọi chuỗi đó là chuỗi Leibnitz và tổng S
của chuỗi thỏa 0≤S≤u1 §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu 1/ n
( 1)
-
n 1 n
å
n
= n 2 / 1 n
( 1)
-
n
- 2 n
å
n
= = Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi nu 1
n 1/Ta có : đơn điệu giảm và dần về 0 u = Nên chuỗi đã cho là chuỗi Leibnitz n n 1 n
- 2/ đơn điệu giảm và dần về 0 Nên chuỗi đã cho là chuỗi Leibnitz n
( 1)
- §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu 1 ¥
å
n
= n n
( 1) + - n
( 1)
- u = Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi n 0 - n
n
( 1)
+ -
n
không thể viết được dưới dạng ( 1)
v v
,
³
n n Số hạng tổng quát của chuỗi Tức là chuỗi trên không là chuỗi đan dấu n n n
( 1)
- n
( 1) (
- - u = = = - n n 1 1 n
( 1)
-
n
- 1
- n n n
( 1) + - - n
( 1) )
-
n
2
( 1)
- Ta có n §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu 1 n
( 1)
-
n
- 1 ¥
å
n
= Chuỗi là chuỗi đan dấu hội tụ n 1 1
- 2 ¥
å
n
= là chuỗi số dương phân kỳ Chuỗi Vậy chuỗi đã cho là chuỗi PK vì là tổng của 1 chuỗi
HT và 1 chuỗi PK §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu n n
( 1)
-
n
ln
- 1 ¥
å
n
= = Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi nu n n 1
ln - Chuỗi đan dấu với x 1 - f x
( ) 0, 1 f x
( ) ¢Þ = - < x
" > = x x 1
ln - x x
( 2
x
ln ) - Để khảo sát sự đơn điệu của dãy un ta đặt Tức là hàm f(x) cũng là dãy {un} đơn điệu giảm và
dần về 0. Vậy chuỗi đã cho HT theo Leibnitz §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ u
|n |
1 hội tụ Nếu chuỗi n u
1 hội tụ Thì chuỗi u | £ n n u
1 |
1 Khi đó: ¥
å
n
= Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối:
¥
å
n
=
¥
å
n
=
¥
å
n
= n u
1 ¥
å
n
= Và ta gọi chuỗi là chuỗi hội tụ tuyệt đối §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ u Chú ý 1: Điều ngược lại không đúng, tức là chuỗi |n n |
1 u
1 ¥
å
n
= ¥
å
n
= không suy ra chuỗi hội tụ u
|n n |
1 u
1 ¥
å
n
= PK thì ta HT và chuỗi Khi chuỗi n u
1 ¥
å
n
=
¥
å
n
= gọi chuỗi là chuỗi bán hội tụ Chú ý 2: Nếu dùng tiêu chuẩn Cauchy hoặc d’Alembert u
|n n |
1 u
1 ¥
å
n
= ¥
å
n
= mà biết được chuỗi PK thì chuỗi cũng PK 1/ 1
tan sin
n §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ n
( 1)
-
1 ¥
å
n
= 2 2 / n
sin
n 1 ¥
å
n
= 3 , khi n = : = ® ¥ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
1
n nu 1
3 1
tan sin
n 1 1
n n 1
n 2 n 1/ Xét 1
3 1 ¥
å
n
= 2 n 2 Chuỗi HT, suy ra chuỗi đã cho HTTĐ u = £ = n n
sin
n 1
n n
æ ö
1
֍
÷ç ÷çè ø
3 3 3 2/ Xét → chuỗi đã cho HTTĐ n 1 §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ +
2 n
( 1)
-
1 ¥
å
n
= 1 -
1 u = Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi n n
2
n
+
2 n 1 2 -
Rõ ràng dãy {un} đơn điệu giảm và dần về 0 nên
chuỗi HT theo t/c Leibnitz
2. Mặt khác, coi đó là chuỗi có dấu bất kỳ thì n 1 u | , khi n |
= : ® ¥ n +
2 1
2n n 2 - n 1 | = 1. Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu với u
n +
2 |
1 1 1
¥
å
n
= ¥
å
n
= n 2 1 - Tức là chuỗi PK Vậy chuỗi đã cho chuỗi bán HT 2 §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ n
( 1)
-
n æ
n
ç
ç
çè n
ö
1
+ ÷
÷
÷
ø
n 1 ¥
å
n
= 2 Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2 n n u = n 1
n æ
n
ç
ç
çè n
ö+ ÷
1
÷
÷
ø
n n n lim
® ¥ lim
® ¥ 2 1 + = > = æ
ç
1
ç
çè n
ö
÷
÷
÷
ø 1
n 1
2 e
2 lim
® ¥ Ta có u n 1 n
¥
å
n
= Vậy chuỗi PK theo t/c Cauchy nên chuỗi đã cho cũng PK §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ -
1)( 1) n
arcsin( 1)
n
n n
(
-
+ 2 ¥
å
n
= p Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi n , k
2 = n
arcsin( 1) - 2
p n , k
2 1 = + 2 ìï
ïï
= í
ï -
ïïî Vì khi n £ : ® ¥ nu 1
3 p
2 n 2 n n
( 1) p
1)(
+ - 2 n Nên Vậy chuỗi đã cho HTTĐ §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ , = = n n n , u
2 1 u
2 - n -
n 3 2 3 1 1
+ 1
- u
1 ¥
å
n
= n u ) + + n n Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi u
2
u
(
2 3 u
(
2 1 n
- - - - ... + = + + + nS
2 n -
n -
n u
n
2
-
u
)
+
4
ö
1
÷
+
÷
÷
ø
5 +
1
...
+
æ
ç
ç
ç
è
3 )
+
n
2
-
ö æ
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
ø è
3 4 3 2 n
ö
÷
÷
÷
ø
1 2
1
- 1
+ u
2
1
- 1
n
-
- Ta đi tính tổng riêng thứ 2n của chuỗi
S
+
2
S
+
2 + = n® ¥
¾ ¾ ¾ ¾® nS
2 2 +
1 3
1
2
- u
u
...
+
=
+
n
2
1
u
u
u
(
)
(
+
+
=
2
1
3
ö æ
æ
1
1
1
÷
ç
ç
+
÷
ç
ç
÷
ç
ç
ø è
è
5
8
2
1
-
+
u 1
2
= n
3
+ n® ¥
¾ ¾ ¾ ¾® n n n S
2 1 S
2 2 1 + + S 1
2
= - = Và S
n 1
2 n lim
® ¥ Vậy tổng của chuỗi Chuỗi HT
1
lim
n
n
n
1
R
n
D
n
n
(2
n
1)
n
2)(2
(2
3)
1
n
n
1
R
n
D
n
n
(2
n
1)
n
2)(2
(2
3)
1
