TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1
NỘI DUNG
1.Định nghĩa tp mặt loại 1
2.Tính chất tp mặt loại 1
3.Cách tính tp mặt loại 1
Định nghĩa tích phân mặt loại 1
S là mặt cong trong R3, f(x,y,z) xác định trên S
Phân hoạch S thành các mảnh con Sk có diện tích Sk, Mk Sk
Tổng tích phân:
n k 1
: tp mặt loại 1 của f trên S
S n f M S ) ( k k
f x y z ds ( , , )
S
S lim n n
Tính chất tp mặt loại 1
1/ Diện tích của mặt cong S
ds 1
S
2/ Tp mặt loại 1 không phụ thuộc phía của S
3/ Nếu S = S1 S2
f x y z ds ( , , ) f x y z ds ( , , ) f x y z ds ( , , )
S
S 1
S 2
Tính chất tp mặt loại 1
4/ Nếu S gồm 2 phần S1 và S2 đối xứng qua mp z = 0 (Oxy)
f chẵn theo z:
f x y z ds ( , , ) 2 f x y z ds ( , , )
S
S 1
f lẻ theo z:
f x y z ds , ) ( , 0
S
Cách tính tp mặt loại 1
Nếu S là phần mặt hữu hạn, có phương trình
z = z(x, y), hình chiếu của S lên Oxy là miền
D, khi đó
2
2
: vi phân mặt
ds
z
z
dxdy
1
x
y
2
y
xdy
f x y z ds ( ,
, )
f x y ( ,
,
z x ( ,
) 1)
z x
2 z d y
S
D
Cách tính tp mặt loại 1
Tổng quát:
B1: chọn cách viết phương trình mặt cong S
(theo biến có số lần xuất hiện ít nhất trong pt mặt cong S và các mặt chắn)
B2: tìm hình chiếu D của S lên mp tương ứng
(giống thể tích trong tích phân kép)
B3: tính tp trên D.
S
D
Ví dụ
2
2 y ds
1/ Tính:
2
2
I x
x y z 1
S trên mặt biên của miền :
S gồm mặt nón
2
2
và mặt phẳng
1
S z 2 :
2
2
y
:
1
hc S 1 Oxy
hc S D x 2 Oxy
x y , S z 1 :
2
2
2
2
x y , S z 1 :
2
2
ds 1 z x z dxdy y
dxdy 1
2
2
x 2 x 2
2dxdy
2
2
x y x y
z
z dxdy
ds
1
1
x
y
S z 2 :
dxdy
2
2
2 y ds
2 y ds
I x x
S 1
S 2
2
2
2
2
x
y
x
y dxdy
dxdy 2
D
D
2
2
x y dxdy (1 2) (1 2)
D
2 3
zds
I
S là phần mặt z = 3 - x - y
2/ Tính:
S
bị chắn bởi các mặt x + y = 3, 3x + 2y = 6, y = 0
x y S z : 3
:
I
y
dxdy
(3
x
) 1 1 1
D
x y x y y D hc S Oxy 3 3,3 2 6, 0
3/ Tính:
S là phần mặt z = x2 + y2
zds I
S
bị chắn bởi các mặt z = 1 và z = 2
2
2
x
y
:S z
2
2
x y 1
2
2
D :
1
2
(D xđ từ hình chiếu gt của S với các mp)
x y 2
2
2
2
2
x
y
:S z
2
2
2
2
D x y :1 2
I x y x y dxdy 1 4 4
2
2
y
x
1
2
2
2
3
2 r dr
r d 1 4
0
1
149 30
VÍ DỤ
2
2
4/ Tính diện tích của
x
y
z
4
2
2
y
y
x
2
bị chắn trong mặt trụ
2
2
2
Pt mặt cong:
z
x
y
4
D
:
2
2
2
2
x
y
x
y
y
4,
2
z
,
x
z y
x 2
2
y 2
2
x
y
x
y
4
4
D hc Oxy
2
2
S ds z z dxdy 1 ( ) ( ) x y
D
S
dxdy
2
2 2
D
2sin
2
x y 4
rdr 2
2
d
D
0
0
r 4
8 4
2
2
2
2
z x y 4
x y y 2
2
5/ Tính diện tích của phần mặt trụ:
bị chắn bởi các mặt x
2 2
Phương trình mặt cong:
2
x y 2 0, 2z y x x 2 0,
z
x 2 :
D hc Oxy y 2
2 2
x y x x 0, 2 0, 2 2
2
2
S
D
2
S ds z z dxdy 1 x y
D
2 2
dx
2 x dy
1
13
2
x 2 x
2 2 0
2
x dxdy 1
z
x 2
2
2z
x
D
6/ Tính diện tích của phần mặt nón:
2
2
bị chắn bởi mặt cầu:
z 2
x 2
y 2
x
y
z
2
2
2
x
y
1
:
2
2
S
dxdy
f 1 (
)
f (
)
dxdy 2
x
y
D hc Oxy
D
D
S D 2 (
)
2
(S(D) là diện tích hình tròn có R = 1)
7/ Tính diện tích của phần mặt cầu:
2
2
2
bị chắn bởi các mặt:
z
x x
y z z ,
4 x x 3 ,
0
2
2
x
4
Phần mặt cầu gồm 2 nửa S1 và S2: z y 1,2
Hình chiếu của S1 và S2 lên Oxz giống nhau và xác định bởi:
2
2
x
z
0,
D
:
S = S1 + S2
z
x z ,
x x 3 ,
0
4
2
2
x
z
0,
D
:
z
x z ,
x x 3 ,
0
4
x
4
z
2
2
1
y y dxdz 1 ( ) ( ) x z S S 2
D
2
2
y x z 4
2
dxdz 2 2
D
4
x z 4
rdr 2
2
2 d
6
0
12 r 4
S S S 2 1
6
