TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2
PHÁP TUYẾN CỦA MẶT CONG.
Cho mặt cong S: F(x, y, z) = 0, M(x0,y0,z0) S
•L là đường cong trong S đi
qua M. Tiếp tuyến của L tại M
n
gọi là tiếp tuyến của S tại M.
•Các tiếp tuyến này cùng thuộc
1 mặt phẳng gọi là mặt tiếp
diện của S tại M.
•Pháp tuyến của mặt tiếp diện tại M gọi là pháp tuyến của S tại M.
PHÁP TUYẾN MẶT CONG
Giả sử L S có pt: x = x(t), y = y(t), z = z(t)
M = (x(t0), y(t0), z(t0)) L
Vt chỉ phương của tiếp tuyến tại M là :
0
0
0
M S: F(x,y,z) = 0, ta có:
u x t ( ), y y ( ), z t ( )
0
0
0
x t (
),
y t (
),
z t (
)
),
),
(
(
)
F M x t ( ) ( ) F M y t ( ) ( ) F M z t ( ) ( ) 0 x z y
F M F M F M ( y
z
x
0
0
0
0
0
0
(đúng với mọi đường cong trong S và qua M)
), x t ( y t ( z t ( ), ), ), ) ( ( ) F M F M F M ( y z x
và các vector tỷ lệ
là pháp vector của S tại M
Một ký hiệu khác:
= n ( ), ), ( ) x F M F M F M ( y z
(gradient của F tại M)
g radF M ( ) F M F M ), ( ( ), ) y x F M ( z
Một số ví dụ tìm pháp vector
2
2
2
2
a/ Mặt cầu
R :S x
0
0
0 (và các vector tỷ lệ)
n
n
(
,
,
)
OM x y z 0 0
0
( , ) S , x y z y n M ( ) 2 ,2 ,2 M x y z , 0 0 z 0
Một số ví dụ tìm pháp vector
2
2
2
a/ Mặt trụ
y :S x
0
0
0
( , ) S , y x R n M ) ( 2 ,2 ,0 M x y z , 0 0
M
x
y
n O M
(
,
, 0 )
0
0
(và các vector tỷ lệ)
Một số ví dụ tìm pháp vector
2
2
2
2
2
a/ Mặt nón
x
y
z
x
y
2
,2
, 2
n M ( )
y z :S x
z 0
0
0
0
( , ) S , M x y z , 0 0
n M ) (
0z
0
M x y (
,
,0)
0
0
0z
( , ) M x y z , 0 0
0
( , ) x y , 0 z 0
MẶT ĐỊNH HƯỚNG
S được gọi là mặt định hướng (mặt 2 phía) nếu
cho pháp vector tại MS di chuyển dọc theo 1
đường cong kín không cắt biên, khi quay về điểm
xuất phát vẫn không đổi chiều.
Ngược lại, pháp vector đảo chiều, thì S được gọi
là mặt không định hướng (mặt 1 phía ).
Phía của S là phía mà đứng trên đó, pháp vector
hướng từ chân lên đầu.
(Chương trình chỉ xét mặt 2 phía)
Mặt một phía
Mặt hai phía
Ví dụ tìm PVT tương ứng với phía mặt cong
2
2
2
2
a/ Mặt cầu
y z R :S x
0
n
,
(
)
0
n
x y z , 0 0 pháp VT ngoài n
(
)
,
,
x y z 0 0
0
(
,
,
)
OM x y z 0 0
0
pháp VT trong
( , ) S , M x y z , 0 0
2
2
2
b/ Mặt trụ
y :S x
0
0
0
PVT trong
M
n
(
,0)
PVT ngoài
x y , 0
0
( , ) S , x y R n M ) ( 2 ,2 ,0 M x y z , 0 0
c/ Mặt nón
0
PVT trong
0z
n
(
,
)
x y , 0
0
z 0 PVT ngoài
0z
( , ) S , M x y z , 0 0
Pháp vector đơn vị
z
n
y
x
n
(cos ,cos
,cos )
ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2
Cho các hàm P, Q, R liên tục trên mặt định
hướng S.Gọi pháp vector đơn vị của S là
n
(cos ,cos
,cos )
Tích phân mặt loại 2 của P, Q, R trên S định nghĩa bởi
S
S
Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R nds ( ). , ,
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
Q
R
ds
P ( cos
cos
cos )
S
VÍ DỤ
1/ Cho S là phía ngoài của nửa mặt cầu
2
2
z
R
x
y
tính
2 ,
S
Tại M (x, y, z) trên S, pháp vector đơn vị là
I xdydz ydzdx zdxdy
n
x y z ( , , ) R
I
ds
P Q R nds (
).
,
,
x y z ( ,
, ).
x y z ( , , ) R
S
S
2
2
2
2
x z
ds
ds
R R
S
S
3
y R
R ds S 2 R
2/ Cho S là của phần mp
bị chắn bởi các mặt tọa độ, lấy phía trước
nhìn từ phía dương trục Oz, tính
x y z 1
S
,
,
1 3
1 3
n
1 3 hay n
,
,
1 3
1 3
1 3
I x y dydz zdxdy ( )
Phía trên nhìn từ Oz+ thành phần thứ 3
của n phải không âm
,
,
1 3
1 3
1 3
n
S
I x y dydz zdxdy ( )
S
ds
(
x y
z ,0, ).
,
,
z nds ( x y ,0, ).
1 3
1 3
1 3
S
x y
(
z ds )
1 3
S
S: z = 1 – x – y ,
y
x
:
0,
0,
y
1
hc S D x Oxy
1
I x y ( z ds )
S
1
x y
x y
dxdy
(
1
) 3
1 3
y
D 1
1
1 3
dy y dx (1 2 )
0
0
1 6
CÁCH TÍNH TP MẶT LOẠI 2
Vì pháp vector đơn vị thông thường rất
phức tạp nên ta có thể dùng cách tính sau
để thay thế:
I
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
I
I
I 1
2
3
S
S
S
Tính
3
I R x y z dxdy , ) ( ,
S : góc hợp bởi Oz+ với n
•Viết pt S dạng: z = z(x,y) (bắt buộc)
•Tìm hình chiếu Dxy của S lên mp z = 0 (Oxy) ( bắt buộc)
3
I R x yz x y dxdy ( , ( , ))
xyD
2
3
I R x yz x y dxdy ( , ( , ))
xyD
2
Lưu ý
Nếu = /2 (S//Oz hoặc S chứa Oz) I3 = 0
Dấu + () nếu pháp vt hợp với chiều dương Oz
một góc nhọn ( tù )
+ : nếu S lấy phía trên nhìn từ Oz+
Hay
– : nếu S lấy phía dưới nhìn từ Oz+
(áp dụng với I3)
Pt của S: x = x(y, z)
Tương tự:
I1:
Dyz = hc của S lên Oyz
Góc của PVT so với Ox+
Pt của S: y = y(x, z)
I2 :
Dzx = hc của S lên Ozx
Góc của PVT so với Oy+
S // Ox (hoặc chứa Ox) I1 = 0 S // Oy (hoặc chứa Oy) I2 = 0 S // Oz (hoặc chứa Oz) I3 = 0
VÍ DỤ
1/ Cho S là phía ngoài của nửa mặt cầu
2
2
2
tính
zdxdy I z R x y
S
z
3
I I zdxdy
n
2
2
S 2
x
y
z
2
2
2
R 2 hc S D Oxy
x y R :xy
2
2
I
zdxdy
y dxdy
2 R x
S
xy
D 2
2
2
I
3 R
R r rdr
Dxy
R 2 d
2 3
0
0
2/ Cho S là phía ngoài của nửa mặt cầu
2
2
2
tính
z R x y I xdydz
S
2
2
2
I = I2
S = S1 S2 :
2
2
x R y z
2 R z ,
1,2
z 0 D y : yz
Dyz
Lưu ý: S1 và S2 đối xứng qua mp x = 0
hc S Oyz
z
2Sn
,
1
2
1Sn
2
2 là góc của
Ox+ với n
y
x
S
S 1
S 2
Dyz
2
2
2
2
I xdydz xdydz xdydz
2 R y
2 R y
D
yz
2
1
D 2
yz 2
2
2
2
2
2
R
y
z dydz
R r rdr
2
2
R d
D
0
0
yz
z dydz z dydz
3/ Cho S là phía ngoài của mặt cầu
2
2
2
2
2
xz dxdy
I
tính
S
2
2
2
x y z R
S = S1 S2 :
z R x y
1
2
2
2
, 2
1,2
2 y x R 2 D :xy
Lưu ý: S1 và S2 đối xứng qua mp z = 0
hc S Oxy
2
2
2
S
S 1
S 2
2
2
2
I xz dxdy xz dxdy xz dxdy
x R x y dxdy
2
xyD
2
2
2
x R x y dxdy
2
xyD
0
Lưu ý về tính đối xứng
S gồm S1 và S2 đối xứng qua mp z = 0
• R(x, y, z) chẵn theo z : I3 = 0
R x y z dxdy , )
( ,
2
R x y z dxdy , )
( ,
• R(x, y, z) lẻ theo z:
S
S 1
Tương tự cho I1(xét P và mp x=0), I2(xét Q và mp y=0)
4/ Cho S là phía trên của phần mặt trụ z = y2
2 x y dydz )
bị chắn bởi mặt trụ x2 + y2 = 1, tính
S
I = I1 + I2 + I3
• S chứa Ox I1 = 0
• S đối xứng qua mp y = 0, Q = 2z cosy
chẵn theo y
I2 = 0
I z 2 cos ( ydzdx zdxdy
3
zdxdy I I
S 2 y dxdy
xyD
Dxy
ĐỊNH LÝ GAUSS - OSTROGRATXKI Cho là miền đóng và bị chận trong R3, S là phía ngoài mặt biên của (S là mặt cong
kín). P, Q, R là các hàm liên tục trên .
Tích phân mặt loại 2
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
dxdydz
P Q R z x y
Tích phân bội ba
VÍ DỤ
1/ Cho S là phía ngoài mặt bao khối : x2 + y2 z 1. Tính
2
2
2
I
zy dydz
y
x dxdy
(
y dzdx )
S
G O
I
dxdydz
P Q R z y x
y
dxdydz
(0 1 2
0)
: x2 + y2 z 1
2
1
I y dxdydz (1 2 )
1 d
dr rdz r (1 2 sin )
2
0
0
r
2
2/ Cho S là phía ngoài phần mặt paraboloid
z = x2 + y2 bị chắn bởi mp z = 1. Tính
2
2
2
S
S là mặt hở.
I zy dydz y ( y dzdx x dxdy )
Thêm S1 vào để tạo thành mặt kín 1n
S1 là phía trên phần mp z = 1 bị chắn
trong paraboloid.
Gọi là vật thể được bao bởi S S1.
Áp dụng công thức G-O:
2
2
S S 1
zy dydz y ( y dzdx xdxdy )
dxdydz
(xem ví dụ trước)
P Q R y z x 2
S
S 1
2
S1: z = 1, trong trụ x2+y2 =1
S
S 1
2
2
2
2
zy dydz y y dzdx x dxdy I ( )
S 1
= 0 = 0 (Vì S // Ox, Oy)
2
x dxdy
I
2
2
2
2
x
y
1
4
3/ Cho S là phía trong mặt bao khối giới hạn bởi:z = 4 – y2 , x = 0, x = 4, z = 0.
Tính:
S
I
P Q R dxdydz
x
y
z
I zxdydz xdzdx zydxdy
2
y
4
4
z y dxdydz ( 0 )
2 dx dy
2
0
0
z y dz ( )
CÔNG THỨC STOKES
Cho đường cong C là biên của mặt định
hướng S. C được gọi là định hướng dương
theo S nếu khi đứng trên S(pháp tuyến
hướng từ chân lên đầu) sẽ nhìn thấy C đi
ngược chiều kim đồng hồ.
C
C
S
S
CÔNG THỨC STOKES
Cho P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) và các đạo
hàm riêng liên tục trên S, C là biên định
hướng dương của S. Khi đó:
Tích phân đường 2
C
R Q y z
P R x z
Q P y x
dzdx
dydz
dxdy
S
Tích phân mặt 2
Pdx Qdy Rdz
VÍ DỤ
1/ Cho C là giao tuyến của trụ x2 + y2 = 1
và trụ z = y2 lấy ngược chiều kim đồng hồ
nhìn từ phía dương Oz. Tính:
2
2 xy dz
C
I x y dx x ( ) (2 z dy )
Chọn S là phía trên mặt trụ z = y2
P = x + y
Q = 2x2 – z
R = xy2
I dydz dzdx
S
2
R Q y z P R x z Q P y x dxdy
1
1
y dzdx
S
xy dydz x dxdy 2 0 4
z = y2 bị chắn
trong trụ x2+y2=1
2
1
1
S
= 0
= 0
(tính đối xứng)
(Vì S chứa Ox)
I xy x dxdy 2 dydz y dzdx 4
3
S
I I x dxdy (4 1)
2
y
x
2 1
x dxdy (4 1) 2
2/ Cho C là giao tuyến của trụ x2 + y2 = 1
và mặt phẳng x + z = 1 lấy ngược chiều
kim đồng hồ nhìn từ gốc tọa độ. Tính:
2 y z dx
2 z x dy
2 x y dz
C
I ) ( ) ( ) (
2 y z dx
2 z x dy
2 x y dz
C
Chọn S là phía dưới phần mặt phẳng x + z = 1,
I
bị chắn bên trong trụ.
R Q z y
dydz
S
P R x z
Q P y x
dzdx
dzdx dxdy x
I
y
dydz
z
dxdy
2
2
1
1
2
1
S
I ) ( ) ( ) (
1
1
1
S
Chuyển sang tp mặt loại 1
n
S: x + z = 1,
(1,0,1) 2
I dydz dzdx dxdy y 2 z 2 x 2
1 .
S
y
ds
(
x
1)
I y z x nds 2 1, 2 1, 2
2 2
S
S: z = 1 – x , bị chắn trong trụ x2+y2=1
2
2
y : 1
I
y
ds
(
x
1)
hc S D x Oxy
2 2
S
y
z dxdy
(
x
1) 1
2 z x
2 y
2 2
D
x y
dxdy
(
1) 2
2
2 2
D
