intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng: Lý thuyết các hiện tượng tới hạn - Chương 3 (tt)

Chia sẻ: Phan Thi Ngoc Giau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST
Báo xấu
102
lượt xem 11
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 3 Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa Renormalization group method Lý thuyết các hiện tượng tới hạn Bước 1: chọn Hamiltonian cụm tương thích cho hệ cần khảo sát; suy ra các thành phần của μ  xác định không gian tham số. Bước 2: thực hiện phép biến đổi nhóm TCH Rsμ = μ’ qua 2 giai đoạn:

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng: Lý thuyết các hiện tượng tới hạn - Chương 3 (tt)

  1. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Chương 3 Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa Renormalization group method Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
  2. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.4. Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn Sơ đồ áp dụng phương pháp nhóm TCH: • Bước 1: chọn Hamiltonian cụm tương thích cho hệ cần khảo sát; suy ra các thành phần của μ  xác định không gian tham số. • Bước 2: thực hiện phép biến đổi nhóm TCH Rsμ = μ’ qua 2 giai đoạn:  phép biến đổi Kadanoff Ks,,  phép biến thang (ký hiệu lại biến spin). • Bước 3: giải phương trình Rsμ* = μ*  tìm điểm bất động μ* • Bước 4: xác định các thành phần của ma trận RsL     R    L      s      * giải phương trình trị riêng của RsL  tìm trị riêng ρj(s) = syj  xác định các thông số yj  tìm ν, η  tìm các chỉ số tới hạn còn lại bằng các định luật scaling. Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
  3. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.5. Điểm bất động Gauss Mục đích: minh họa sơ đồ ứng dụng của phương pháp nhóm TCH qua mô hình cụ thể.  Làm rõ ý nghĩa của một số khái niệm đã đưa ra trong các bài trước. Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
  4. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.1. Bước 1: chọn Hamiltonian cụm, xác định không gian tham số • Xét hệ sắt từ:  mô tả bởi Hamiltonian cụm GL  thông số trật tự: độ từ hóa m =  số chiều không gian: d   số thành phần của spin cụm: n  x  { 1x ,  2 x ,...,  nx } • Hamiltonian trong biểu diễn tọa độ khi từ trường ngoài h = 0 : (1)  1  1 2 H   d d x r0 2 ( x)  u 4 ( x)  c (x)   2 4   • Hamiltonian trong biểu diễn vector sóng: n 1 u 2 H   ( r0  ck 2 )  ik  L d    ik  jk j ,  k k k  (2) ik 2 i ,k   8 k ,k ,k  i , j 1 ( k,k ,k  Λ )   (x)  L d / 2 eikx  ở đây ta thay k (3) k ( k  ) Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
  5. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.1. Bước 1: chọn Hamiltonian cụm, xác định không gian tham số (tt) • So sánh  2 4   d 2 H[ ] / T   d x[a0  a2  a4  c( )  h ] 1 d  2 1 4  2 H   d x r0 (x)  u (x)  c (x)   (1) 2 4   • Hamiltonian (1) và (2) không chứa số hạng ~ σ0 (với hệ số a0.) và h = 0 • Ở đây, ta cũng ký hiệu lại r0 u c a2  , a4  , c  2 8 2    ( r0 , u , c) (4) • Điểm μ của không gian tham số:  0 1  2 Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
  6. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.2. Bước 2: thực hiện phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa • Tìm điểm μ’ = Rs μ qua 2 bước:  Phép biến đổi Kadanoff  Phép biến thang • Phép biến đổi Rs trong không gian vector sóng     e H e H   d q   (5)  q  k s s d / 2 sk    (  sq ) s  s a , a  1 2 ( 2    d ) với s s d / 2  s1/ 2 ( 2  d )  d / 2  s1 / 2   1 / 2  ở bước 2 (phép biến thang):   sk s (6) k Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
  7. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.2. Bước 2: thực hiện phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa (tt) • Đặt:  n  d   d d    (7) iq q i 1 q q (  sq ) (  sq ) • Viết lại biểu thức (5) định nghĩa phép biến đổi Rs:    H   ALd   e  H d e (8)     k  s1 / 2 sk Số hạng ALd liên quan đến những số hạng không chứa σk Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
  8. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.2. Bước 2: thực hiện phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa (tt) Xét trường hợp đơn giản nhất: u = 0 (bỏ qua số hạng chứa σ4) • Thay u = 0 vào biểu thức Hamiltonian trong biểu diễn vector sóng 1  2 (r0  ck 2 )  ik  H  2 i ,k  ( k  )   (9)   ( r0 ,0, c)  • Hàm phân bố cho tất cả các biến ngẫu nhiên có dạng Gauss:  ( r0  ck ) 2 / 2 2 H 0 e  ik P~e  i ,k ( k  ) • Tích phân (8) trở thành    1 2       d iq exp  (r0  ck 2 )  ik d e H  AL (10)    2 ( k,  )   1 / 2  ik i q  (  s  q )    k s  sk     H   ALd   e  H d e  (8)    k  s1 / 2 sk Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
  9. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.2. Bước 2: thực hiện phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa (tt)      • Tách tổng: s  k  k  s  sk  • Xét biểu thức     1 1 2 2 ( r0  cq 2 )  iq   exp  (r0  ck 2 )  ik    d iq exp (11) 2 i ,q  2 ( k , s )    ik i q     (  s q  ) (  s q  )    1 1 2 2  exp  ( r0  ck )  ik      d iq exp (r0  cq 2 )  iq  2  2 ( k, s ) 2   (  sq q  ) i  ik     1 x 2 where α  (r0  cq) 2 •  dx e  , Dùng công thức:  2   2 1 2 2 ta thu được: d iq exp (r0  cq )  iq    r0  cq 2 2   Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
  10. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.2. Bước 2: thực hiện phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa (tt) • Dùng công thức: x  e ln x ta có: n2   2  n 2   2      r  cq 2     expln    r  cq 2  q0   0  q     x n2   2      exp ln  (12)  2  q  r0  cq       2   ALd 1  n ln r  cq 2   e  exp  2 (  s q  )  q 0    ALd đây là phần không chứa σk  viết thành e • Sau phép biển đổi Kadanoff:   1 2 d e H 0  e  AL exp  (r0  ck 2 )  ik (13)   2 ( k , s )  ik   Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
  11. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.2. Bước 2: thực hiện phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa (tt) • Phép biến thang:  1 / 2   Thay trong (13)  i ,sk được  i,k  s   1  2 2   e H 0  exp  (r0  ck 2 )  i , sk s   2 ( k , s )  ik     1 2    exp  (r0 s 2   c( sk ) 2 s   i , sk   2 ( k , s )  ik   2   Đổi sk  k’ và đặt  r0 , s c  c (14) r0 s 1 1   các hằng số 2 2 ( r0  ck 2 )  ik (r0  ck 2 )  ik     H H0    r’0, c’ được 2 2 i ,k  i ,k   “tái chuẩn ( k   ) ( k  )     hóa”    (r0,0, c)   (r0 ,0, c )   (15) Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
  12. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.3. Bước 3: tìm điểm bất động μ* • Phương trình cho điểm bất động μ*:   R s*  * r0* s 2   r0*    *  c s  c* (17a)  • (17b) Chọn η = 2: r0*  r0* : satisfied with all r0*  * c  c *  c *  0   2 điểm bất động:   điểm thứ nhất: *    (r0 ,0,0)  2  (r0 > 0 và được chọn tùy ý) (17) thay (17) vào biểu thức Hamiltonian (15):  r0 r0 2 * d d x 2   ik   H  2 2 i ,k  (18) ( k   ) * exp(H  )   exp[ r0 (b d 2) i2 ( x)] x ,i Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
  13. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.3. Bước 3: tìm điểm bất động μ* (tt)  điểm thứ hai:  *    (  | r0 |,0,0)  (19a) 2  (r0 < 0 và được chọn tùy ý) u = 0+: giá trị dương vô cùng bé để hàm phân bố thỏa điều kiện chuẩn hóa. Phân bố của điểm bất động (19a): * exp(H  )   exp[| r0 | (b d 2) i2 (x)  u i4 ( x)] (19b) x ,i Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
  14. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.3. Bước 3: tìm điểm bất động μ* (tt) • Chọn η = 0: r0* s 2  r0*  r0*  0  * c  c * satisfied with all c*   điểm bất động:  *  0  (0,0, c )  điểm bất động Gauss (20)  0  Hàm phân bố tương ứng 2 exp(H 0* )   exp[ (c 2) k 2  ik ] i ,k (21)  c H 0*   d d x( ) 2 2  số hạng c( ) 2 mô tả tương tác giữa các spin cụm Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
  15. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.4. Bước 4: tuyến tính hóa Rs gần điểm bất động • Phần tử ma trận của toán tử RsL:     R    L (22)     s      * • Chọn điểm bất động Gauss (20); do u = 0 nên chỉ xét hai thành phần: (α, β = 1, 2) r0  r0 s 2 -η  0.c   c  r0 .0  c.s -η  • Các phần tử ma trận của toán tử RsL:  r0   r0  R  R    s 2  , L L    0,   r   s 11 s 12  c  0*   0  0*  c   c  R  R   L L   r    0,  s   s 21 s 22  c  0*   0  0* Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
  16. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.4. Bước 4: tuyến tính hóa Rs gần điểm bất động (tt) • Dạng ma trận của toán tử RsL:  s 2 0 L R   0   s (23) s  • Đối với điểm bất động Gauss (20): η = 0  s2 0 L Rs    0 1   (24) • Ma trận (24) là ma trận chéo  2 trị riêng:  1 ( s )  s 2    2 ( s)  1 (25) yj  j (s)  s • Do RsRs’ = Rss’ nên  y1  2 (25)    y2  0 Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
  17. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.6. Tác dụng của RsL lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss Khi xét số hạng ~ σ4 trong Hamiltonian GL (u ≠ 0), việc tính các tích phân ở bước 1 của Rs (phép biến đổi Kadanoff) rất phức tạp  Sử dụng phương pháp tương tự lý thuyết nhiễu loạn trong CHLT. • Viết Hamiltonian dưới dạng H  H 0  H1 (26) (H1 nhỏ so với H0) • Viết lại (8)   H   ALd   ln  e H d  (27)    k  s1 / 2 sk    H   ALd   e  H d e (8)     k  s1 / 2 sk Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
  18. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.6. Tác dụng của RsL lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss • Sử dụng khai triển ( 1) m m  ( 1) m m   H 0  H 0 H1 H 0 H 0 m! H1  e 1  1 m! H1  e e e e     m m ta được (1) m      H 0 de H 0 H 1m  H ln  e d  ln   de   m!       m 1 H (1) m  de H 1   m 0   ln   de H 0   de H 0     (28) H 0 m!  de    m 1   ( 1) m    H 0  H 1m  ln   de 1      m 1 m!   trong đó de  H 0 H 1m  H 1m  (29) de H 0  Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
  19. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.6. Tác dụng của RsL lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss • Vậy (1) m   m H 0 d H   AL   ln  de  ln  H1   (30) m! k  s1 / 2 sk  m 1 m • Định nghĩa đại lượng H 1 c H1  H1 c  H 1  H 1  2 2 H 12  H 12  H 1 c gọi là cumulant bậc m • (30) viết dạng ( 1) m    H 0 d m H   AL   ln  de   H1   (31) m! c   k  s1 / 2 sk  m 1 Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
  20. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.6. Tác dụng của RsL lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss • Biết H0  tìm được RsL (với H1 nhỏ) • Chọn H0=H0* (điểm bất động Gauss) (20)  cd H 0  H 0*  d x( ) 2 2 khi đó 1 d  2 1 4  d x r0  4 u  H1  (32) 2     2 4 H1 theo phân bố Gauss và quy về tính  việc tính  * P  ~ e H 0 Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2