Moân hoïc LYÙ THUYEÁT ÑIEÀU KHIEÅN TÖÏ ÑOÄNG
Giaûng vieân: Huyønh Gia Thònh Boä moân Ñieàu Khieån Töï Ñoäng Khoa Ñieän Tröôøng Ñaïi hoïc Coâng Nghieäp TP.HCM Email: huynh_gia_thinh@yahoo.com
Chöông 8
HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN PHI TUYEÁN
2
Noäi dung chöông 8
•Khaùi nieäm
• Ñaëc ñieåm cuûa heä phi tuyeán • Caùc khaâu phi tuyeán ñôn giaûn • Moâ taû toaùn hoïc heä phi tuyeán • Caùc phöông phaùp khaûo saùt heä phi tuyeán
3
•Phöông phaùp tuyeán tính hoùa •Phöông phaùp haøm moâ taû •Phöông phaùp Lyapunov
Khaùi nieäm
4
Khaùi nieäm veà heä phi tuyeán
•Heä phi tuyeán laø heä thoáng trong ñoù quan heä vaøo – ra khoâng theå moâ taû baèng phöông trình vi phaân/sai phaân tuyeán tính.
•Phaàn lôùn caùc ñoái töôïng trong töï nhieân mang tính phi tuyeán.
• Heä thoáng thuûy khí (TD: boàn chöùa chaát loûng,…), • Heä thoáng nhieät ñoäng hoïc (TD: loø nhieät,…), • Heä thoáng cô khí (TD: caùnh tay maùy,….), • Heä thoáng ñieän – töø (TD: ñoäng cô, maïch khueách ñaïi,…) • Heä thoáng vaät lyù coù caáu truùc hoãn hôïp,…
•Tuøy theo daïng tín hieäu trong heä thoáng maø heä phi tuyeán coù theå
chia laøm hai loaïi: • Heä phi tuyeán lieân tuïc • Heä phi tuyeán rôøi raïc.
5
• Noäi dung moân hoïc chæ ñeà caäp ñeán heä phi tuyeán lieân tuïc.
Tính chaát cuûa heä phi tuyeán
•Heä phi tuyeán khoâng thoûa maõn nguyeân lyù xeáp choàng.
•Tính oån ñònh cuûa heä phi tuyeán khoâng chæ phuï thuoäc vaøo caáu truùc, thoâng soá cuûa heä thoáng maø coøn phuï thuoäc vaøo tín hieäu vaøo.
•Neáu tín hieäu vaøo heä phi tuyeán laø tín hieäu hình sin thì tín hieäu ra ngoaøi thaønh phaàn taàn soá cô baûn (baèng taàn soá tín hieäu vaøo) coøn
coù
caùc thaønh phaàn haøi baäc cao (laø boäi soá cuûa taàn soá tín hieäu vaøo).
6
•Heä phi tuyeán coù theå xaûy ra hieän töôïng dao ñoäng töï kích.
Caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
7
Khaâu relay 2 vò trí Khaâu relay 3 vò trí
Caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
8
Khaâu khueách ñaïi baõo hoøa Khaâu khueách ñaïi coù mieàn cheát
Caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
9
Khaâu relay 3 vò trí coù treå Khaâu relay 2 vò trí coù treå
Caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
10
Khaâu khueách ñaïi baõo hoøa coù treå
Moâ taû toaùn hoïc heä phi tuyeán duøng phöông trình vi phaân
•Quan heä vaøo – ra cuûa heä phi tuyeán lieân tuïc coù theå bieåu dieãn döôùi daïng phöông trình vi phaân phi tuyeán baäc n:
trong ñoù: u(t) laø tín hieäu vaøo,
11
y(t) laø tín hieäu ra, g(.) laø haøm phi tuyeán
Moâ taû heä phi tuyeán duøng phöông trình vi phaân – Thí duï 1
a: tieát dieän van xaû A: tieát dieän ngang cuûa boàn g: gia toác troïng tröôøng k: heä soá tæ leä vôùi coâng suaát bôm CD: heä soá xaû
Phöông trình caân baèng:
trong ñoù:
12
(heä phi tuyeán baäc 1)
J: moment quaùn tính cuûa caùnh tay maùy M: khoái löôïng cuûa caùnh tay maùy
m: khoái löôïng vaät naëng l: chieàu daøi caùnh tay maùy
lC : khoaûng caùch töø troïng taâm tay maùy ñeán truïc quay B: heä soá ma saùt nhôùt g: gia toác troïng tröôøng u(t): moment taùc ñoäng leân truïc quay cuûa caùnh tay maùy θ(t): goùc quay (vò trí) cuûa caùnh tay maùy
Moâ taû heä phi tuyeán duøng phöông trình vi phaân – Thí duï 2
•Theo ñònh luaät Newton
13
(heä phi tuyeán baäc 2)
Moâ taû heä phi tuyeán duøng phöông trình vi phaân – Thí duï 3
δ: goùc baùnh laùi ψ: höôùng chuyeån ñoäng
cuûa taøu
k: heä soá τi: heä soá
•Phöông trình vi phaân moâ taû ñaëc tính ñoäng hoïc heä thoáng laùi taøu
14
(heä phi tuyeán baäc 3)
Moâ taû toaùn hoïc heä phi tuyeán duøng phöông trình traïng thaùi
•Heä phi tuyeán lieân tuïc coù theå moâ taû baèng phöông trình traïng thaùi:
trong ñoù: u(t) laø tín hieäu vaøo,
y(t) laø tín hieäu ra, x(t) laø vector traïng thaùi,
x(t) = [x1(t), x2(t),…,xn(t)]T
15
f(.), h(.) laø caùc haøm phi tuyeán
Moâ taû heä phi tuyeán duøng phöông trình traïng thaùi – Thí duï 1
PTVP:
Ñaët bieán traïng thaùi: x1 (t ) = y(t )
PTTT:
16
trong ñoù:
Moâ taû heä phi tuyeán duøng phöông trình traïng thaùi – Thí duï 2
PTVP:
•Ñaët bieán traïng thaùi:
PTTT:
17
trong ñoù:
Caùc phöông phaùp khaûo saùt heä phi tuyeán
•Khoâng coù phöông phaùp naøo coù theå aùp duïng hieäu quaû cho moïi heä phi tuyeán.
•Moân hoïc ñeà caäp ñeán moät soá phöông phaùp thöôøng duøng sau ñaây:
•Phöông phaùp tuyeán tính hoùa
•Phöông phaùp haøm moâ taû
18
•Phöông phaùp Lyapunov
Phöông phaùp tuyeán tính hoùa
19
Ñieåm döøng cuûa heä phi tuyeán
•Xeùt heä phi tuyeán moâ taû
bôûi PTTT phi tuyeán:
•Ñieåm traïng thaùi x ñöôïc goïi laø ñieåm döøng cuûa heä phi tuyeán neáu nhö heä ñang ôû traïng thaùi x vaø vôùi taùc ñoäng ñieàu khieån u coá
ñònh,
khoâng ñoåi cho tröôùc thì heä seõ naèm nguyeân taïi traïng thaùi ñoù.
•Neáu ( x , u ) laø ñieåm döøng cuûa heä phi tuyeán thì:
20
•Ñieåm döøng coøn ñöôïc goïi laø ñieåm laøm vieäc tónh cuûa heä phi tuyeán
Ñieåm döøng cuûa heä phi tuyeán – Thí dụ
Cho heä phi tuyeán moâ taû bôûi PTTT:
Xaùc ñònh ñieåm döøng cuûa heä thoáng khi u(t ) = u = 1
Giaûi:
•Ñieåm döøng laø nghieäm cuûa phöông trình:
21
=> hoaëc
Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán xung quanh ñieåm laøm vieäc tónh
•Xeùt heä phi tuyeán moâ taû bôûi PTTT phi tuyeán:
=>
•Khai trieån Taylor f(x,u) vaø h(x,u) xung quanh ñieåm laøm vieäc tónh ( x , u ) ta coù theå moâ taû heä thoáng baèng PTTT tuyeán tính:
(*)
22
trong ñoù:
Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán xung quanh ñieåm laøm vieäc tónh
23
•Caùc ma traän traïng thaùi cuûa heä tuyeán tính quanh ñieåm laøm vieäc tónh ñöôïc tính nhö sau:
Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán – Thí duï 1
Thoâng soá heä boàn chöùa : a = 1cm2 , A = 100cm2
k = 150cm3 / sec.V , CD = 0.8 g = 981cm / sec2
• PTTT:
24
trong ñoù:
Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán – Thí duï 1 (tt)
Tuyeán tính hoùa heä boàn chöùa quanh ñieåm y = 20cm:
25
•Xaùc ñònh ñieåm laøm vieäc tónh:
Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán – Thí duï 1 (tt)
•Xaùc ñònh caùc ma traän traïng thaùi taïi ñieåm laøm vieäc tónh:
26
•Vaäy PTTT moâ taû heä boàn chöùa quanh ñieåm laøm vieäc y=20cm laø:
Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán – Thí duï 2
Thoâng soá caùnh tay maùy :
l = 0.5m, lC = 0.2m, m = 0.1kg
M = 0.5kg , J = 0.02kg.m2
B = 0.005, g = 9.81m / sec2
•PTTT:
27
trong ñoù:
Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán – Thí duï 2 (tt)
Tuyeán tính hoùa heä tay maùy quanh ñieåm laøm vieäc y = π/6 (rad):
•Xaùc ñònh ñieåm laøm vieäc tónh:
28
•Do ñoù ñieåm laøm vieäc tónh caàn xaùc ñònh laø:
Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán – Thí duï 2 (tt)
29
•Xaùc ñònh caùc ma traän traïng thaùi taïi ñieåm laøm vieäc tónh:
Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán – Thí duï 2 (tt)
30
•Xaùc ñònh caùc ma traän traïng thaùi taïi ñieåm laøm vieäc tónh:
Tuyeán tính hoùa heä phi tuyeán – Thí duï 2 (tt)
•Xaùc ñònh caùc ma traän traïng thaùi taïi ñieåm laøm vieäc tónh:
31
•Vaäy phöông trình traïng thaùi caàn tìm laø:
Ñieàu khieån oån ñònh hoùa heä phi tuyeán quanh ñieåm laøm vieäc tónh
•Ñöa heä phi tuyeán veà mieàn xung quanh ñieåm laøm vieäc tónh (ñôn giaûn nhaát coù theå duøng boä ñieàu khieån ON-OFF)
32
•Xung quanh ñieåm laøm vieäc, duøng boä ñieàu khieån kinh ñieån thieát keá döïa vaøo moâ hình tuyeán tính (phoå bieán nhaát laø boä ñieàu khieån PID).
Ñieàu khieån oån ñònh hoùa heä phi tuyeán quanh ñieåm laøm vieäc tónh
33
•Thuaät toaùn choïn boä ñieàu khieån:
Ñieàu khieån oån ñònh hoùa heä phi tuyeán quanh ñieåm laøm vieäc tónh
34
•Thuaät toaùn ñieàu khieån ON-OFF:
Ñieàu khieån oån ñònh hoùa heä phi tuyeán quanh ñieåm laøm vieäc tónh
35
•Thuaät toaùn ñieàu khieån PID:
Phöông phaùp haøm moâ taû
(Phöông phaùp tuyeán tính hoùa ñieàu hoøa)
36
Phöông phaùp haøm moâ taû
•Phöông phaùp haøm moâ taû môû roäng gaàn ñuùng haøm truyeàn ñaït cuûa heä tuyeán tính sang heä phi tuyeán.
•Phöông phaùp haøm moâ taû laø phöông phaùp khaûo saùt trong mieàn taàn soá coù theå aùp duïng cho caùc heä phi tuyeán baäc cao (n>2) do deã thöïc hieän vaø töông ñoái gioáng tieâu chuaån Nyquist.
37
•Chæ aùp duïng ñöôïc ñeå khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán goàm coù khaâu phi tuyeán noái tieáp vôùi khaâu tuyeán tính theo sô ñoà khoái nhö sau:
Ñaùp öùng cuûa heä phi tuyeán khi tín hieäu vaøo hình sin
e(t ) = M sin(ωt )
•Ñeå khaûo khaû naêng toàn taïi dao ñoäng tuaàn hoaøn khoâng taét trong heä, ôû ñaàu vaøo khaâu phi tuyeán ta cho taùc ñoäng soùng ñieàu hoøa:
•Tín hieäu ra khaâu phi tuyeán khoâng phaûi laø tín hieäu hình sin. Phaân tích Fourier ta thaáy u(t) chöùa thaønh phaàn taàn soá cô baûn ω vaø
∞
caùc
u(t ) =
A0 + ∑[ Ak sin(kωt ) + Bk cos(kωt )] 2
k =1
38
thaønh phaàn haøi baäc cao 2ω, 3ω...
Ñaùp öùng cuûa heä phi tuyeán khi tín hieäu vaøo hình sin
•Caùc heä soá Fourier xaùc ñònh theo caùc coâng thöùc sau:
y(t ) ≈ Y1 sin(ωt + ϕ1 )
39
•Giaû thieát G(s) laø boä loïc thoâng thaáp, caùc thaønh phaàn haøi baäc cao ôû ngoõ ra cuûa khaâu tuyeán tính khoâng ñaùng keå so vôùi thaønh phaàn taàn soá cô baûn, khi ñoù tín hieäu ra cuûa khaâu tuyeán tính gaàn ñuùng baèng:
Ñieàu kieän coù dao ñoäng oån ñònh trong heä phi tuyeán
M sin(ωt ) = e(t ) = − y(t ) ≈ −Y1 sin(ωt + ϕ1 )
•Ñieàu kieän ñeå trong heä coù dao ñoäng oån ñònh vôùi taàn soá ω laø:
Suy ra:
Phöông trình caân baèng bieân ñoä
40
Phöông trình caân baèng pha
Khaùi nieäm haøm moâ taû
Xeùt khaâu phi tuyeán :
e(t ) = M sin(ωt )
•Do khi tín hieäu vaøo cuûa khaâu phi tuyeán laø tín hieäu hình sin:
tín hieäu ra u(t) xaáp xæ thaønh phaàn taàn soá cô baûn (do ta boû qua caùc thaønh phaàn haøi baäc cao) u(t ) ≈ u1 (t ) = A1 sin(ωt ) + B1 cos(ωt )
neân ta coù theå coi khaâu phi tuyeán nhö laø moät khaâu khueách ñaïi coù heä soá khueách ñaïi laø:
41
•Toång quaùt N(M) laø moät haøm phöùc neân ta goïi laø heä soá khueách ñaïi phöùc cuûa khaâu phi tuyeán. Vì quan heä vaøo ra cuûa khaâu phi tuyeán coù theå moâ taû gaàn ñuùng baèng heä soá khueách ñaïi phöùc N(M) neân N(M) coøn ñöôïc goïi laø haøm moâ taû cuûa khaâu phi tuyeán.
Ñònh nghóa haøm moâ taû
•Haøm moâ taû (hay coøn goïi laø heä soá khueách ñaïi phöùc) laø tæ soá giöõa thaønh phaàn soùng haøi cô baûn cuûa tín hieäu ra cuûa khaâu phi tuyeán vaø tín hieäu vaøo hình sin.
42
•Trong caùc coâng thöùc treân u(t) laø tín hieäu ra cuûa khaâu phi tuyeán khi tín hieäu vaøo laø Msin(ωt). Neáu u(t) laø haøm leû thì:
Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
43
Khaâu relay 2 vò trí
Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
Khaâu relay 2 vò trí (tt)
•Do u(t) laø haøm leû neân:
44
•Do ñoù haøm moâ taû cuûa khaâu relay 2 vò trí laø:
Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
45
Khaâu relay 3 vò trí
Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
Khaâu relay 3 vò trí
•Do u(t) laø haøm leû neân B1 = 0
•Theo ñoà thò ta coù:
=>
46
•Do ñoù haøm moâ taû cuûa khaâu relay 3 vò trí laø:
Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
47
Khaâu khueách ñaïi baõo hoøa
Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
Khaâu khueách ñaïi baõo hoøa (tt)
•Do u(t) laø haøm leû neân B1 = 0
48
•Do ñoù haøm moâ taû cuûa khaâu khueách ñaïi baõo hoøa laø:
Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
49
Khaâu khueách ñaïi coù vuøng cheát
Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
Khaâu khueách ñaïi coù vuøng cheát (tt)
•Do u(t) laø haøm leû neân B1 = 0
50
•Do ñoù haøm moâ taû cuûa khaâu khueách ñaïi coù vuøng cheát laø:
Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
51
Khaâu relay 2 vò trí coù treå
Haøm moâ taû cuûa caùc khaâu phi tuyeán cô baûn
Khaâu relay 2 vò trí coù treå (tt)
52
•Do ñoù haøm moâ taû cuûa khaâu relay 2 vò trí coù treå laø:
Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng ñeàu hoøa trong heä phi tuyeán
Xeùt heä phi tuyeán coù sô ñoà nhö sau:
•Phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng laø:
(*)
•Phöông trình treân ñöôïc goïi laø phöông trình caân baèng ñieàu hoøa. Phöông trình naøy seõ ñöôïc duøng ñeå xaùc ñònh bieân ñoä vaø taàn soá
cuûa
dao ñoäng ñieàu hoøa trong heä phi tuyeán.
53
•Neáu (M*, ω*) laø nghieäm cuûa phöông trình (*) thì trong heä phi tuyeán coù dao ñoäng vôùi taàn soá ω* , bieân ñoä M*.
Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng ñeàu hoøa trong heä phi tuyeán (tt)
•Veà maët hình hoïc, nghieäm (M*, ω*) laø nghieäm cuûa phöông trình (*) chính laø giao ñieåm cuûa ñöôøng cong Nyquist G(jω) cuûa khaâu tuyeán tính vaø ñöôøng ñaëc tính −1/N(M) cuûa khaâu phi tuyeán.
•Dao ñoäng trong heä phi tuyeán laø oån ñònh neáu
ñi
theo chieàu taêng cuûa
ñaëc
tính − 1/N(M) cuûa khaâu phi tuyeán, chuyeån
töø
vuøng khoâng oån ñònh
54
sang vuøng oån ñònh cuûa
khaâu
tuyeán tính G(jω) .
Trình töï khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán
B1: Xaùc ñònh haøm moâ taû cuûa khaâu phi tuyeán (neáu khaâu phi tuyeán
khoâng phaûi laø caùc khaâu cô baûn).
B2: Ñieàu kieän toàn taïi dao ñoäng trong heä: ñöôøng cong Nyquist G(jω)
vaø ñöôøng ñaëc tính −1/N(M) phaûi caét nhau.
B3: Bieân ñoä, taàn soá dao ñoäng (neáu coù) laø nghieäm cuûa phöông trình:
• Taàn soá dao ñoäng chính laø taàn soá caét pha ω−π cuûa khaâu tuyeán tính G(jω).
55
• Bieân ñoä dao ñoäng laø nghieäm cuûa phöông trình:
Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán Thí duï 1
Xeùt heä phi tuyeán coù sô ñoà nhö sau:
•Haøm truyeàn cuûa khaâu tuyeán tính laø
56
•Khaâu phi tuyeán laø khaâu relay 2 vò trí coù Vm=6.
• Haõy xaùc ñònh bieân ñoä vaø taàn soá
•dao ñoäng töï kích trong heä (neáu coù).
Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán Thí duï 1
Lôøi giaûi
•Haøm moâ taû cuûa khaâu relay 2 vò trí laø:
•Do ñöôøng cong Nyquist G(jω) vaø ñöôøng ñaëc
tính
−1/N(M) luoân luoân caét
nhau
(xem hình veõ) neân trong
heä
phi tuyeán luoân luoân coù
dao
57
ñoäng.
Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán Thí duï 1
•Taàn soá dao ñoäng laø taàn soá caét pha cuûa G(jω) :
•Bieân ñoä dao ñoäng laø nghieäm cuûa phöông trình:
58
•Keát luaän: Trong heä phi tuyeán coù dao ñoäng y(t ) = 13. 90 sin(1.58t )
Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán Thí duï 2
Xeùt heä phi tuyeán coù sô ñoà nhö sau:
•Haøm truyeàn cuûa khaâu tuyeán tính laø
•Khaâu phi tuyeán laø khaâu relay 3 vò trí.
1. Haõy tìm ñieàu kieän ñeå trong heä phi tuyeán coù dao ñoäng.
59
2. Haõy xaùc ñònh bieân ñoä vaø taàn soá dao ñoäng khi Vm=6, D=0.1.
Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán Thí duï 2
Lôøi giaûi
•Haøm moâ taû cuûa khaâu relay 3 vò trí laø:
•Ñieàu kieän ñeå trong heä thoáng coù dao ñoäng laø
ñöôøng
60
cong Nyquist G(jω) vaø ñöôøng ñaëc tính −1/N(M) phaûi caét nhau. Ñieàu naøy xaûy ra khi:
Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán Thí duï 2
•Taàn soá caét pha cuûa G(jω) (xem caùch tính ôû thí duï 1)
•Ñeå dao ñoäng xaûy ra ta phaûi coù ñieàu kieän:
(*)
61
•Theo baát ñaúng thöùc Cauchy
Khaûo saùt cheá ñoä dao ñoäng trong heä phi tuyeán Thí duï 2
•Do ñoù ñieàu kieän (*) ñöôïc thoûa maõn khi:
•Vaäy ñieàu kieän ñeå trong heä coù dao ñoäng töï kích laø:
•Bieân ñoä dao ñoäng laø nghieäm cuûa phöông trình:
•Khi Vm=6, D=0.1, giaûi phöông trình treân ta ñöôïc: M = 13 .90
62
•Vaäy dao ñoäng trong heä laø:
Phöông phaùp Lyapunov
63
Phöông phaùp Lyapunov
Giôùi thieäu
•Phöông phaùp Lyapunov cung caáp ñieàu kieän ñuû ñeå ñaùnh giaù tính oån ñònh cuûa heä phi tuyeán.
•Coù theå aùp duïng cho heä phi tuyeán baäc cao baát kyø.
•Coù theå duøng phöông phaùp Lyapunov ñeå thieát keá caùc boä ñieàu khieån phi tuyeán.
64
•Hieän nay phöông phaùp Lyapunov laø phöông phaùp ñöôïc söû duïng roäng raõi nhaát ñeå phaân tích vaø thieát keá heä phi tuyeán.
Ñieåm caân baèng cuûa heä phi tuyeán
•Xeùt heä phi tuyeán moâ taû bôûi phöông trình traïng thaùi sau:
•Moät ñieåm traïng thaùi xe ñöôïc goïi laø ñieåm caân baèng neáu nhö heä ñang ôû traïng thaùi xe vaø khoâng coù taùc ñoäng naøo töø beân ngoaøi thì
heä
seõ naèm nguyeân taïi ñoù.
•Deã thaáy ñieåm caân baèng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình:
65
•Heä phi tuyeán coù theå coù nhieàu ñieåm caân baèng hoaëc khoâng coù ñieåm caân baèng naøo. Ñieàu naøy hoaøn toaøn khaùc so vôùi heä tuyeán tính , heä tuyeán tính luoân luoân coù 1 ñieåm caân baèng laø xe = 0.
Ñieåm caân baèng cuûa heä phi tuyeán – Thí dụ
•Xeùt heä con laéc moâ taû bôûi PTVP:
•Xaùc ñònh caùc ñieåm caân baèng (neáu coù)
•Thaønh laäp PTTT.
Ñaët:
•PTTT moâ taû heä con laéc laø:
66
trong ñoù:
Ñieåm caân baèng cuûa heä phi tuyeán – Thí dụ
•Ñieåm caân baèng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình:
•Keát luaän: Heä con laéc coù
67
voâ soá ñieåm caân baèng:
OÅn ñònh taïi ñieåm caân baèng
•Ñònh nghóa: Moät heä thoáng ñöôïc goïi laø oån ñònh taïi ñieåm caân baèng xe neáu nhö coù moät taùc ñoäng töùc thôøi ñaùnh baät heä ra khoûi xe vaø
ñöa
khaû
ñeán ñieåm ñöôïc x0 thuoäc laân caän naøo ñoù cuûa xe thì sau ñoù heä coù •Chuù yù: tính oån ñònh cuûa heä phi tuyeán chæ coù nghóa khi ñi cuøng vôùi naêng töï quay ñöôïc veà ñieåm caân baèng xe ban ñaàu. ñieåm caân baèng. Coù theå heä oån ñònh taïi ñieåm caân baèng naøy nhöng khoâng oån ñònh taïi ñieåm caân baèng khaùc.
Thí duï:
68
Ñieåm caân baèng oån ñònhÑieåm caân baèng khoâng oån ñònh
OÅn ñònh Lyapunov
•Cho heä phi tuyeán khoâng kích thích moâ taû bôûi PTTT:
(1)
•Giaû söû heä thoáng coù ñieåm caân baèng xe = 0.
69
•Heä thoáng ñöôïc goïi laø oån ñònh Lyapunov taïi ñieåm caân baèng xe = 0 neáu vôùi ε > 0 baát kyø bao giôø cuõng toàn taïi δ phuï thuoäc ε sao cho nghieäm x(t) cuûa phöông trình (1) vôùi ñieàu kieän ñaàu x(0) thoûa maõn:
OÅn ñònh tieäm caän Lyapunov
•Cho heä phi tuyeán khoâng kích thích moâ taû bôûi PTTT:
(1)
•Giaû söû heä thoáng coù ñieåm caân baèng xe = 0.
70
•Heä thoáng ñöôïc goïi laø oån ñònh tieäm caän Lyapunov taïi ñieåm caân baèng xe = 0 neáu vôùi ε > 0 baát kyø bao giôø cuõng toàn taïi δ phuï thuoäc ε sao cho nghieäm x(t) cuûa phöông trình (1) vôùi ñieàu kieän ñaàu x(0) thoûa maõn:
So saùnh oån ñònh Lyapunov vaø oån ñònh tieäm caän Lyapunov
71
OÅn ñònh Lyapunov OÅn ñònh tieäm caän Lyapunov
Phöông phaùp tuyeán tính hoùa Lyapunov
•Cho heä phi tuyeán phöông trình traïng thaùi:
(1)
•Giaû söû xung quanh ñieåm caân baèng xe , heä thoáng (1) coù theå tuyeán tính hoùa veà daïng:
(2)
Ñònh lyù:
72
•Neáu heä thoáng tuyeán tính hoùa (2) oån ñònh thì heä phi tuyeán (1) oån ñònh tieäm caän taïi ñieåm caân baèng xe. •Neáu heä thoáng tuyeán tính hoùa (2) khoâng oån ñònh thì heä phi tuyeán (1) khoâng oån ñònh taïi ñieåm caân baèng xe. •Neáu heä thoáng tuyeán tính hoùa (2) ôû bieân giôùi oån ñònh thì khoâng keát luaän ñöôïc gì veà tính oån ñònh cuûa heä phi tuyeán taïi ñieåm caân baèng xe.
Phöông phaùp tuyeán tính hoùa Lyapunov – Thí dụ
• Xeùt heä con laéc moâ taû bôûi PTTT: trong ñoù:
•Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng taïi ñieåm caân baèng:
73
(a) (b)
Phöông phaùp tuyeán tính hoùa Lyapunov – Thí d (tt)ụ
=>
•Moâ hình tuyeán tính quanh ñieåm caân baèng
=> PTÑT
74
•Keát luaän: Heä thoáng oån ñònh (theo heä quaû tieâu chuaån Hurwitz)
T
Phöông phaùp tuyeán tính hoùa Lyapunov – Thí d (tt)ụ
=>
•Moâ hình tuyeán tính quanh ñieåm caân baèng xe = [π 0]
=> PTÑT
Keát luaän: Heä thoáng khoâng oån ñònh (PTÑT khoâng thoûa ñieàu kieän caàn)
75
Phöông phaùp tröïc tieáp Lyapunov – Ñònh lyù oån ñònh
•Ñònh lyù oån ñònh Lyapunov: Cho heä phi tuyeán khoâng kích thích moâ taû bôûi phöông trình traïng thaùi:
(1)
•Giaû söû heä thoáng coù ñieåm caân baèng xe = 0.
Neáu toàn taïi haøm V(x) sao cho:
i) ii) V (0) = 0
iii)
Thì heä thoáng (1) oån ñònh Lyapunov taïi ñieåm 0.
76
Chuù yù: Haøm V(x) thöôøng ñöôïc choïn laø haøm toaøn phöông theo bieán traïng thaùi.
Phöông phaùp tröïc tieáp Lyapunov – Ñònh lyù khoâng oån ñònh
(1)
•Ñònh lyù khoâng oån ñònh: Cho heä phi tuyeán khoâng kích thích moâ taû bôûi phöông trình traïng thaùi:
•Giaû söû heä thoáng coù ñieåm caân baèng xe = 0.
Neáu toàn taïi haøm V(x) sao cho:
i) ii)
iii)
77
Thì heä thoáng (1) khoâng oån ñònh taïi ñieåm 0.
