Bài giảng Mạng đảo

MẠNG ĐẢO

Mạng đảo – tập hợp điểm ảo được xây dựng trên cách mà hướng của một véctơ từ điểm này đến điểm khác trùng với hướng của pháp tuyến của mặt mạng thực và khoảng cách của những điểm đó (giá trị tuyệt đối của véctơ) bằng với nghịch đảo của khoảng cách mặt mạng thực.

Mạng tinh thể

Mạng đảo

(Imaginary)

0 2

2 2

-2 2

2 0

-2 0

-2 -2

2 -2

0 -2

Crystal Lattice

Reciprocal Lattice

g = 2/d

dN

0 2

2 2

-2 2

2 0

-2 0

g

-2 -2

2 -2

0 -2

Crystal Lattice

Reciprocal Lattice

g = 2/d

dN

0 2

2 2

-2 2

g

2 0

-2 0

-2 -2

2 -2

0 -2

Crystal Lattice

Reciprocal Lattice

g = 2/d

dN

0 2

2 2

-2 2

g

2 0

-2 0

-2 -2

2 -2

0 -2

Crystal Lattice

Reciprocal Lattice

g = 2/d

0 2 0 2

N d

2 2 2 2

-2 2 -2 2

g

2 0 2 0

-2 0 -2 0

-2 -2 -2 -2

2 -2 2 -2

0 -2 0 -2

Crystal Lattice

Reciprocal Lattice

g = 2/d

0 2 0 2

2 2 2 2

-2 2 -2 2

N

d

g

2 0 2 0

-2 0 -2 0

-2 -2 -2 -2

2 -2 2 -2

0 -2 0 -2

Reflection Planes in a Cubic Lattice

Hình 3.7 cho thấy sự sắp xếp ở đó điểm (230) được mang vào tiếp xúc với cầu Ewald.

Bằng cách định nghĩa

và

Do vậy

Từ định nghĩa của vector đảo

Mối liên hệ Bragg!

Suy ra kết quả

Crystal Lattice

Reciprocal Lattice

c*

Reciprocal unit cell

c

Real unit cell

c*

b

b*

c

b*

b

a*

a

a*

Real unit cell

Reciprocal unit cell

 Vector mạng đảo  mặt mạng thực tương ứmg

 Chiều dài của vector mạng đảo tỉ lệ nghịch với khoảng cách mặt mạng thực

tương ứng

 Mặt tinh thể trở thành điểm mạng đảo

luân chuyển thành cấu trúc mạng đảo

 Điểm mạng đảo đặc trưng cho hướng và khoảng cách của tập hợp mạng.

Mô hình vật lý của tán xạ tia X

Xem hai sóng phẳng song song tán xạ đàn hồi từ hai nguyên tử A và B cận nhau trong mạng tinh thể:

A

P

O

B

Tán xạ đàn hồi:

f = hệ số hình thành nguyên tử (công suất tán xạ của nguyên tử)

Độ lệch pha giữa hai sóng

Đôi với các sóng cầu tán xạ từ A và B (của cùng một loại):

ở đó:

= vị trí thu đối với A

= vị trí thu đối với B

= vị trí của B đối với A

= hiệu số pha giữa và

Véctơ tán xạ

Chậm pha từ O  B

Nhanh pha từ A  P

Tổng sóng tán xạ

Vì thế sóng tán xạ từ nguyên tử thứ j:

= vị trí của nguyên tử thứ j so với A

Do đó sóng tán xạ toàn phần ở điểm thu là:

Đối với mẫu nhỏ, khoảng cách tất cả rj thì tương đương ( R). Do đó chúng ta thấy rằng giao thoa cực đại và cực tiểu giữa những sóng tán xạ đạt đến điểm thu nhờ vào tổng nguyên tử. Vị trí điểm thu được xác định bởi vectơ sóng được tán xạ

và do đó ..

Tổng đối với tất cả nguyên tử

Bây giở giả sử một tinh thể mạng của nó có 3 vectơ cơ bản , với số nguyên tử tổng dọc theo mỗi trục M, N, và P, tương ứng:

Do đó biên độ của sóng tổng hợp ở điểm thu tỉ lệ với:

Chúng có thể được sắp xếp lại:

Tính tổng

trong bên

Chúng ta chỉ cần tính dấu tổng ngoặc:

Bây gìơ cường độ của sóng tổng hợp ở điểm thu được cho bởi:

Ướt lược ta có:

Tính tổng

Ta có:

Kết quả thu được:

Kết quả có cùng cường độ như cách tử nhiễu xạ M khe. Nếu M lớn ( 108 đối với tinh thể vĩ mô), khe rất hẹp, đỉnh cường độ ở đó mẫu số tiến tới 0. giữa hai đỉnh cường độ bằng không. Nhớ rằng có ba số hạng trong phương trình cường độ, đỉnh xảy ra khi:

n1, n2, n3 số nguyên

liên hệ này với So mối tính chất của vectơ mạng đảo:

Điều kiện Laue

Đặt lại n1n2n3 với họ hkl, ta có:

Điều kiện Laue (Max von Laue, 1911)

Vì thế, điều kiện để cường độ bằng không trong tia X được tán là vectơ tán xạ là vectơ tịnh tiến của mạng đảo. Bởi vì mỗi điểm mạng đảo được ký hiệu bởi hkl tương ứng với họ mặt mạng (hkl), chúng ta thấy rằng tia X được tán xạ từ mặt mạng (hkl) chịu giao thoa tăng cường chỉ ở một vị trí duy nhất của điểm thu.

Xác nhận thí nghiệm đầu tiên của nhiễu xạ tia X bởi tinh thể rắn đến từ đồng nghiệp trẻ của von Laue là Friedrich và Knipping vào năm 1911. dù như thế, von Laue nghiêng về toán học hơn là phân tìch thực nghiệm tán xạ tia X. ứng dụng thực tế công trình của von Laue thông quả nổ lực của thành viên khác.

Từ Laue đến Bragg

phụ tguộc vào góc giữa vectơ sóng

Bây giờ độ lớn của vector tán xạ tới và vectơ sóng tán xạ:

Tại sao là góc 2 ?

Tán xạ đàn hồi đòi hỏi:

Vì thế từ góc vectơ sóng và điều kiện Laue chúng ta thấy:

Đưa ra định luật Bragg: Đối với mỗi họ (hkl) tia X chỉ nhiễu xạ một góc

Diễn giải sau cùng

. Bằng cách kiểm tra chúng ta . Điều này có

Khoảng cách giữa hai mặt (hkl) là thấy rằng khoảng cách giữa hai mặt (nh nk nl) là nghĩa rằng chúng ta có thể viết điều kiện Bragg cho các mặt:

Tuy nhiên, trong thực tế ta cần chỉ xem giá trị n = 1, bởi vì n = 2 và những giá trị cao của mặt (hkl) tương ứng đối với giá trị n = 1 đối với mặt (nh nk nl), và điều này là dư thừa.

1 2

Câu hỏi: bạn có thể thấy nguồn gốc đơn giản của định luật Bragg bởi yêu cầu giao thoa tăng cường giữa đường dẫn 1 và 2?

B. Hệ số cấu trúc Shkl

Chúng ta biết rằng cường độ tán xạ tia X tỉ lệ với:

ỉơ đó tổng chạy cho toàn bộ các điểm mạng và chúng ta giả sử rằng chỉ có một nguyên tử đơn ở mỗi điểm mạng.

Laue và Bragg nhắc chúng ta rằng đối với I  0 ở điểm thu:

Nhưng nếu chúng ta có nhiều hơn một nguyên tử mỗi nút mạng, chúng ta phải tổng tất cả các nguyên tử!

HỆ SỐ CẤU TRÚC Shkl

Tổng số tia X tán xạ được tìm là:

Vì thế biên độ tổng là:

Hệ số cấu trúc

Hệ số cấu trúc là tổng của tất cả các nguyên tử cơ bản:

Vị trí của tất cả các nguyên tử cơ bản được cho bởi:

Ví dụ

Đối với mạng lập phương đơn giản với một nguyên tử cơ bản:

Vì thế cường độ tia X không bằng không đối với tất cả các gia trị (hkl), tuỳ thuộc vào điều kiện Bragg,

mà có thể biễu diển.

Bây giờ chúng ta biết mạng lập phương:

Thay vào và bình phương hai vế

Do đó, nếu chúng ta biết bước sóng tia X và có thể đo được góc ở đó mỗi đỉnh cường độ nhiễu xạ xảy ra, chúng ta có thể xác định hằng số mạng như thế nào?

Ví dụ

Xem mạng lập phương tâm khối với một nguyên tử cơ bản. Giống mạng lập phương đơn giản với hai nguyên tử cơ bản, những nguyên tử ở vị trí [000] và [½½½]:

Véctơ mạng đảo:

Chúng ta nhận:

2f if h+k+l is even

Chỉ có hai giá trị:

0 if h+k+l is odd

Kết quả

Đối với một tinh thể mạng bcc và một nguyên tử cơ bản, cường độ tia X không bằng không cho tất cả các mặt (hkl), tuỳ vào điều kiện Bragg, trừ những mặt ở đó h+k+l is lẽ. Do đó, đỉnh nhiễu xạ sẽ được quan sát đối với những mặt sau:

(100) (110) (111) (200) (210) (211) (220) (221) (300) …