intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Phương pháp số: Chương 3 - TS. Lê Thanh Long

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST
Báo xấu
5
lượt xem 2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Phương pháp số" Chương 3: Tính gần đúng tích phân xác định và đạo hàm, được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Tính gần đúng tích phân xác định; tính gần đúng đạo hàm; đa thức nội suy Lagrange. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp số: Chương 3 - TS. Lê Thanh Long

  1. Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG-HCM CHƯƠNG 3 TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ĐẠO HÀM TS. Lê Thanh Long ltlong@hcmut.edu.vn 1 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ Khí
  2. Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG-HCM Nội dung 3.1 Tính gần đúng tích phân xác định. 3.2 Tính gần đúng đạo hàm. 3.3 Đa thức nội suy Lagrange. 2 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ Khí
  3. Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần đúng tích phân xác định Hình 3.1: Các ví dụ về ứng dụng tính tích phân trong thực tế (a)Tính diện tích một cánh đồng bao quanh bởi 1 con suối uốn lượn và đường đi. (b)Tính diện tích mặt cắt ngang của sông. (c)Tính lực tác dụng của cơn gió thổi không đều vào mặt bên tòa nhà. 3 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ Khí
  4. Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần đúng tích phân xác định Công thức tích phân Newton-Leibnitz b b  f ( x)dx  F ( x)  F (b)  F (a) a a F’(x)=f(x), F là nguyên hàm của f. Nhưng thường ta phải tính tích phân của hàm số y=f(x) được xác định bằng bảng số. Khi đó khái niệm nguyên hàm không còn ý nghĩa. 4 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ Khí
  5. Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần đúng tích phân xác định Công thức tích phân Newton-Cotes Để tính gần đúng tích phân xác định trên [a,b], ta thay hàm số f(x) bằng đa thức nội suy ( ): b b I   f ( x)dx   f n ( x)dx a a Với f n ( x)  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n 5 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ Khí
  6. Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần đúng tích phân xác định 3.1.1 Công thức hình thang Dùng chuỗi Taylor bậc nhất để tính gần đúng , b b I   f ( x)dx   f1 ( x)dx a a Với f (b)  f (a ) f1 ( x)  f (a )  ( x  a) ba Ta được: b f (b)  f (a )  f (b)  f (a) I    f (a)  ( x  a)   (b  a) a  ba  2 6 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ Khí
  7. Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần đúng tích phân xác định 3.1.1 Công thức hình thang Công thức hình thang tương đương tính gần đúng diện tích hình thang dưới đường thẳng nối f(a) và f(b). Sai số khi áp dụng công thức hình thang để tính tích phân xác định: Hình 3.2: Đồ thị mô tả công thức hình thang (b  a)3  f "( x) 12 7 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ Khí
  8. Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần đúng tích phân xác định 3.1.1 Công thức hình thang Ví dụ 3.1: Dùng CT hình thang để tính tích phân của hàm 0,2+25x từ a=0 đến b=2 Giải: f (a )  f (0)  0, 2 f (b)  f (2)  50, 2 f (b)  f (a ) 0, 2  50, 2 I  (b  a )  (2  0)  50, 4 2 2 2 2 2 Tính chính xác tích phân  f ( x)dx  (0, 2 x  12,5 x )  50, 4 0 0 Vì f(x) là hàm tuyến tính bậc nhất, khi áp dụng CT hình thang cho kết quả chính xác. 8 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ Khí
  9. Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần đúng tích phân xác định 3.1.1 Công thức hình thang Ví dụ 3.2: Dùng CT hình thang tính tích phân của 0,2 + 25 + 3 từ a=0 đến b=2 Giải: f (0)  0, 2; f (2)  62, 2 f (b)  f (a ) I  (b  a )  62, 4 2 Tính chính xác tích phân: 2 2 3 2  f ( x)dx  (0, 2 x  12,5 x  x )  58, 4 0 0 Sai số tương đối giữa 2 kết quả: 58, 4  62, 4 T  100%  6,85% 58, 4 9 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ Khí
  10. Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần đúng tích phân xác định 3.1.1 Công thức hình thang Để giảm thiểu sai số khi dùng CT hình thang, ta áp dụng phương pháp:  Chia đoạn [a,b] thành n phần bằng nhau bởi các điểm: x , x , x …, x với bước chia đều h = n 1 f ( x0 )  2 i 1 f ( xi )  f ( xn ) Công thức: I  (b  a ) 2n (b  a )3 Sai số: Ea   2 f "( x) 12n 10 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ Khí
  11. Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần đúng tích phân xác định 3.1.1 Công thức hình thang Ví dụ 3.3: Dùng CT hình thang tính tích phân và sai số của = 0,2 + 25 + 3 từ a=0 đến b=2, với số khoảng chia n=2 Giải: (b  a ) n  2; h  1 n f (0)  0, 2; f (1)  28, 2; f (2)  62, 2 f (0)  2 f (1)  f (2) I  (b  a )  59, 4 2n 11 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ Khí
  12. Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần đúng tích phân xác định 3.1.1 Công thức hình thang Ví dụ 3.3 Tính sai số: f "( x)  6 2  6dx 0 f "( x)  6 20 (2  0)3 Ea   2 6  1 12x2 Kết quả chính xác là 59,4 − 1 = 58,4 Sai số tương đối: 1,71% 12 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ Khí
  13. Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần đúng tích phân xác định 3.1.1 Công thức hình thang 5 Ví dụ 3.4: Chia đoạn [1,5] làm 4 đoạn. Tính gần đúng dx tích phân dùng công thức hình thang. Sau đó tính sai số.  1  x2 1 Giải x y 5 1 h 1 1 (1) = 0,5000 4 2 (2) = 0,2000 (5  1) f (1)  2[ f (2)  f (3)  f (4)]  f (5) I 3 (3) = 0,1000 4 2 4 (4) = 0,0588  0, 6281 5 (5) = 0,0385 13 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ Khí
  14. Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần đúng tích phân xác định 3.1.1 Công thức hình thang Ví dụ 3.4 Tính sai số: 1 Tìm f”(x) f ( x)  1  x2 2(1  x 2 ) 2  8 x 2 (1  x 2 ) 8 x 2  2(1  x 2 ) f "( x)  2 4  (1  x ) (1  x 2 )3 5  8 x 2  2(1  x 2 )  1  (1  x 2 )3  dx f "( x)     0,1213 5 1 (5  1)3 Sai số: Ea   2 0,1213  0, 0404 12  4 14 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ Khí
  15. Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần đúng tích phân xác định 3.1.2 Công thức Simpson Ngoài việc áp dụng phương pháp chia đoạn cho CT hình thang. Công thức Simpson cũng có thể dùng để tăng độ chính xác của phép tính gần đúng tích phân. Chia đoạn [a;b] thành n phần đều nhau (với n chẵn: n = 2m) b m m 1 h  Công thức:  f ( x)dx   y0  y2 m  4 y2 k 1  2 y2 k  a 3 k 1 k 1  (b  a )5 (4) Sai số: Ea   4 f 180n 15 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ Khí
  16. Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần đúng tích phân xác định 3.1.2 Công thức Simpson Ví dụ 3.5: Với n=4, tính tích phân và sai số của hàm: = 0,2 + 25 − 200 + 675 − 900 + 400 Từ a=0 đến b=0,8. Cho biết kết quả tích phân chính xác là 1,640533. Giải: h=0,2 0, 2 f(0) 0,2 I 0, 2  4(1, 288  3, 464)  2(2, 456)  0, 232  1, 623467 3 f(0,2) 1,288 = 1,640533 − 1,623467 = 0,017067 f(0,4) 2,456 f(0,6) 3,464 = 1,04% f(0,8) 0,232 0.85 Sai số kết quả: Ea  4 (2400)  0, 017067 180(4) 16 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ Khí
  17. Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần đúng tích phân xác định 3.1.2 Công thức Simpson , Ví dụ 3.6: Tính gần đúng ∫ dx với số khoảng chia n = 6. Giải x y 0 (0) = 1 0, 6  0 h  0,1 0,1 (0,1) = 0,909 6 0,2 (0,2) = 0,833 0,1 I { f (0)  f (0,6)  4 [ f (0,1)  f (0,3)  f (0,5)] 2 [ f (0,2)  f (0,4)]} 0,3 (0,3) = 0,769 3 0,4 (0,4) = 0,714  0,470 0,5 (0,5) = 0,667 0,6 (0,6) = 0,625 17 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ Khí
  18. Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần đúng tích phân xác định 3.1.2 Công thức Simpson Ví dụ 3.6 Sai số: 24 f ""( x)  (1  x)5 0.6 24  5 dx 0 (1  x) f ""( x)   8, 47 0, 6  0 0, 65 Ea   4 8, 47  0, 000003 180  6 => Kết quả chính xác ≈ 0,469997 18 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ Khí
  19. Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG-HCM Bài tập 1. Tính gần đúng tích phân:  /2  (6  3cos x)dx 0 a) Áp dụng CT hình thang với n=4. b) Áp dụng công thức Simpson với n=4. c) Đánh giá sai số tương đối của 2 phương pháp. 19 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ Khí
  20. Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG-HCM Bài tập 1. Giải a) Áp dụng công thức hình thang −0 ℎ=2 = /8 4 = 0; = /8; = /4; = 3 /8; = /2  f (0)  f ( / 2)  2[ f ( / 8)  f ( / 4)  f (3 / 8)] I 8 2    3  [9  6  2[18  3cos  3cos  3cos ] 16 8 4 8  12,386 20 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ Khí
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2