TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ
ĐOÀN THỊ THÚY VÂN
BÀI GIẢNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
(ĐANG CHỈNH SỬA)
ĐHTN - 2021
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ
ĐOÀN THỊ THÚY VÂN
BÀI GIẢNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
ĐHTN - 2021
Mục lục
Lời nói đầu 6
1 Sơ lược về phương trình đạo hàm riêng 7
1.1 Sơ lược về phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Bài toán dẫn đến PT ĐHR và một số ví dụ về PT ĐHR . . 9
1.2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Phương trình tuyến tính không thuần nhất . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình tuyến tính
thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Phương trình phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Hệ hai phương trình cấp 1 tương thích . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Phương trình Pfaff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Dạng tổng quát của phương trình tuyến tính cấp m. Khái niệm đặc
trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Dạng tổng quát của phương trình tuyến tính cấp m . . . . . 19
1.4.2 Khái niệm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.3 Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 . . . 21
1.5.2 Đưa phương trình tuyến tính cấp 2 về dạng chính tắc . . . . 23
2 Phương trình loại elliptic 30
2.1 Phương trình Laplace và hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3
Trang 4 Bài giảng phương trình đạo hàm riêng
2.1.2 Nghiệm cơ bản của phương trình Laplace . . . . . . . . . . . 31
2.1.3 Biểu diễn tích phân của hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Các tính chất của hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 Tính duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục vào điều kiện
biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2 Hàm Green đối với phương trình Laplace trong miền Ω. . . 39
2.3.3 Giải Bài toán Dirichlet đối với hình cầu V(O,R). . . . . . . 40
2.4 Sự tồn tại nghiệm của Bài toán Dirichlet trong miền bị chặn . . . . 43
2.4.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.2 Các tính chất của hàm điều hòa trên và điều hòa dưới . . . 44
2.4.3 Chứng minh sự tồn tại nghiệm của Bài toán (2.7) bằng
phương pháp Poincare - Person . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Bài toán Dirichlet trong hình tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Phương trình loại Hyperbol 51
3.1 Bài toán Cauchy của phương trình truyền sóng và định lý duy nhất
nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Công thức nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình truyền
sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.1 Giải bài toán 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.2 Giải bài toán 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.3 Giải bài toán 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Phương pháp hạ thấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 Bài toán hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4.1 Định luật bảo toàn năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4.2 Tính duy nhất của nghiệm bài toán hỗn hợp . . . . . . . . . 62
4 PHƯƠNG TRÌNH LOẠI PARABOL 64
4.1 Nguyên lý cực trị trong miền bị chặn đối với phương trình truyền
nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.1 Nguyên lý cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.2 Tính duy nhất nghiệm của bài toán biên thứ nhất đối với
phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Nguyên lý cực trị trong miền không bị chặn đối với phương trình
truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Đoàn Thị Thúy Vân .....................................................Trang4
Bài giảng phương trình đạo hàm riêng Trang 5
4.2.1 Bài toán Cauchy và định lý duy nhất nghiệm . . . . . . . . . 68
4.3 4.3. Công thức Poisson đối với phương trình truyền nhiệt . . . . . . 68
Tài liệu tham khảo 70
Đoàn Thị Thúy Vân .....................................................Trang5