THCS.TOANMATH.com
H PHƯƠNG TRÌNH
BC NHT HAI N
Kiến thc cn nh
H phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:
'' '
ax by c
ax by c
+=
+=
.
+ Cp s
( )
00
;xy
được gọi là một nghiệm của h phương trình nếu nó là
nghiệm chung của c hai phương trình đó.
+ H có thể có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm tùy theo vị
trí tương đối của hai đường thẳng biểu diễn nghiệm của hai phương trình.
+ Phương pháp giải hệ: Chúng ta thường dùng phương pháp thế hoặc
phương pháp cộng đại số để kh bớt một ẩn, từ đó sẽ giải được h.
Mt s ví d
Ví d 1. Xác định các hệ s
,ab
của hàm số
y ax b= +
để:
1) Đồ thị của nó đi qua hai điểm
() ( )
1; 3 , 2; 4AB
2) Đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
4
và cắt trc
hoành tại điểm có hoành độ bằng
2
.
Li gii:
1) Thay tọa đ các đim
,AB
vào phương trình của đường thẳng ta
được:
3 31
42 42 3 3 2
ab b a a
ab a a b a
=+= =

⇔⇔

= + = +− ==

. Vậy
.
2) Tương tự phần (1) ta có hệ:
4 .0 4 2
02 2 4 4
ab b a
ab a b b
−= + = =

⇔⇔

= + =−+ =

Vậy
2, 4ab= =
.
THCS.TOANMATH.com
Ví d 2. Gii các h phương trình sau:
a)
113
32 1
xy
xy
+=
−=
b)
3
11
31
11
xy
xy
xy
xy
−=
+−
+=
+−
c)
1
21 2
1
22 1 1
xxy
xxy
−+ =
−− =
Li gii:
a) Đt
11
;uv
xy
= =
. Theo đề bài ra ta có hệ phương trình:
( )
3
3 55 1
3 23 1
32 1 3 2
vu
uv u u
uu
uv v u v
=
+= = =

⇔⇔

−=
−= = =

.
T đó suy ra:
11;xu
= =
11
2
yv
= =
.
b) Đặt
;
11
xy
uv
xy
= =
+−
. Theo bài ra ta có hệ phương trình:
33 3 2
313 3144 1
uv uv uvu
uv vv v v
−= =+ =+ =

⇔⇔

+= ++= = =

.
T đó suy ra:
22
22
11
1
12
1
xx
xx
x
yyy y
y
==
= +
+

⇔⇔

= =

=
.
c). Điều kiện
1
x, 0
2xy −>
. Đặt
21
1
ax
bxy
=
=
ta có hệ phương trình mới
THCS.TOANMATH.com
2 11
21 1
11
21 1 0
x
ab a x
ab b y
xy
−=
+= = =

⇒⇔

=
−= = =

.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
1; 0xy= =
Ví d 3. Cho hệ phương trình:
25
4
xy
mx y
−=
−=
( )
()
1
2
a) Giải hệ phương trình với
2m=
.
b) Tìm
m
để h phương trình có nghiệm duy nhất
( )
,xy
trong đó
,xy
trái du.
c) Tìm
m
để h phương trình có nghiệm duy nhất
( )
;xy
tha mãn
xy=
.
Gii:
a) Vi
2m=
ta có hệ phương trình:
( )
25
25 25 1
22 5 4
2 4 36 2
xy
xy x y x
yy
xy y y
= +
−= =+ =

⇔⇔

+ −=
−= = =

b) Từ phương trình (1) ta có
25xy= +
. Thay
25xy
= +
vào phương trình
(2) ta được:
() ()
2 5 4 2 1. 4 5my y m y m
+ −=⇔ =
(3)
H có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này
tương đương với:
1
2 10 2
mm−≠
. T đó ta được:
45
21
m
ym
=
;
3
52 21
xy
m
=+=
. Ta có:
( )
( )
2
34 5
.21
m
xy
m
=
. Do đó
4
, 0 45 0 5
xy m m<⇔ <⇔ >
(thỏa mãn điều kiện)
THCS.TOANMATH.com
c)Ta có:
3 45
2121
m
xy mm
=⇔=
−−
(4)
T (4) suy ra
1
2 10 2
mm−> >
. Với điều kiện
1
2
m>
ta có:
( ) ( )
1
45 3 5
4 45 3 45 3 7
5
ml
m
mmm
=
−=
⇔− =
−=
=
. Vậy
7
5
m=
.
Ví d 4. Cho hệ phương trình:
1
31
x my m
mx y m
+=+
+=
( )
( )
1
2
a) Không giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị nào của m thì hệ
phương trình có nghiệm duy nhất?
b) Giải và biện luận hệ phương trình trên theo
m
.
c) Tìm s nguyên
m
sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( )
,
xy
,xy
đều là số nguyên.
d) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất
()
,xy
thì điểm
( )
,M xy
luôn chạy trên một đường thẳng cố định.
e) Tìm
m
để h trên có nghiệm duy nhất sao cho
.
xy
đạt giá trị nhỏ
nhất.
Li gii:
a) T phương trình (2) ta có
31y m mx= −−
. Thay vào phương trình (1) ta
được:
( )
( )
22
31 1 1 3 21x m m mx m m x m m+ −− = + =
(3)
H có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất ,
tức là
2
10 1mm ≠±
.
Ta cũng có thể lập luận theo cách khác: Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ
khi :
2
111
1
mmm
m ≠±
.
THCS.TOANMATH.com
b) Từ phương trình (2) ta có
31y m mx= −−
. Thay vào phương trình (1) ta
được:
( )
( )
22
3 1 1 1. 3 2 1x m m mx m m x m m+ −− = + =
(3)
Trưng hp 1:
1m≠±
. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất
( )( )
( ) ( )
2
2
13 1
3 21 31
1 1. 1 1
31 1
31. 11
mm
mm m
xm mm m
mm
ym m
mm
−+
−− +
= = =
−+ +
+−
= −− =
++
Trưng hp 2:
1m=
. Khi đó phương trình (3) thành:
0. 0
x=
.
Vậy hệ có vô số nghiệm dạng
( )
;2 ,x xx−∈
.
Trưng hp 3:
1m=
khi đó phương trình (3) thành:
0. 4x=
(3) vô nghiệm, do đó hệ vô nghiệm.
c) H đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
1m≠±
.
Ta có:
31 2
3
11
12
1
11
m
xmm
m
ymm
+
= =
++
= =
++
. Vậy
,xy
nguyên khi và chỉ khi
2
1m+
nguyên. Do đó
1m+
ch có thể
2; 1;1; 2
−−
. Vậy
3; 2; 0m=−−
(thỏa mãn)
hoặc
1m=
(loi)
Vậy
m
nhận các giá trị
3; 2; 0−−
.
d) Khi hệ có nghiệm duy nhất
( )
,xy
ta có:
22
31 2
11
xy mm

−= =

++

Vậy điểm
( )
;M xy
luôn chạy trên đường thẳng cố định có phương trình
2yx=
.