THCS.TOANMATH.com
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1:
a) Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1
nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó
không đổi
b) Tính chất
Nếu
( )
00
,xy
là một nghiệm thì hệ
( )
00
,yx
cũng là nghiệm
c) Cách giải: Đặt
.
S xy
P xy
= +
=
điều kiện
2
4SP≥
quy hệ phương trình về 2
ẩn
,SP
Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện
trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ
,SP
từ đó suy ra qua hệ
,xy
.
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:
a)
33
22
8
x y xy
xy
++ =
+=
b)
( )( )
33
19
82
xy
x y xy
+=
+ +=
c)
d)
3
1 14
x y xy
xy
+− =
++ +=
Giải:
a) Đặt
.
S xy
P xy
= +
=
điều kiện
2
4SP≥
hệ phương trình đã cho trở thành:
THCS.TOANMATH.com
( )
2
2
2
22 2
63
38 8
2
S
P
SP
S
SS P SS
−
=
+=

⇔

−
−= 
−=


( )
( )
32 2
2 3 6 16 0 2 2 7 8 0 2 0SSS S SS S P⇒ + − − =⇔ − + +=⇔=⇒=
Suy ra
,xy
là hai nghiệm của phương
trình:
22 0 0, 2XX XX− =⇔= =
02
20
xx
yy
= =

∨

= =

b) Đặt
.
S xy
P xy
= +
=
điều kiện
24SP≥
hệ phương trình đã cho trở thành:
( )
( ) ( )
2
33
8
3 19 81
6
3 2 8 19 24 25 0
82
SP S
SS P SP S S
P
SS SS
SP
= −
−= = −
=

⇔ ⇔⇔

= −
−−= + −=
+=
. Suy ra
,xy
là hai nghiệm của phương trình:
2
12
6 0 3; 2XX X X− −=⇔ = =−
Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm
( ) ( ) ( )
; 2; 3 , 3; 2xy =−−
c) Đặt
33
,a xb y= =
hệ đã cho trở thành:
( ) ( )
33 2 2
23
6
a b ab ba
ab
+= +
+=
.
Đặt
S ab
P ab
= +
=
điều kiện
2
4SP≥
thì hệ đã cho trở thành.
( )
( )
3
2 3 3 2 36 3 3 6
8
6
6
S SP SP P P S
P
S
S
− = −=
=

⇔⇔

=
=
=
.
Suy ra
,ab
là 2 nghiệm của phương trình:
THCS.TOANMATH.com
2
12
2 8 4 64
6 8 0 2; 4 4 64 2 8
ax ax
XX X X by by
=⇒= =⇒=

− +=⇔ = =⇒ ∨

=⇒= =⇒=

Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm
( ) ( ) ( )
; 8;64 , 64;8xy =
d) Điều kiện:
0
,1
xy
xy
≥
≥−
. Đặt
.
S xy
P xy
= +
=
điều kiện
24SP≥
hệ phương
trình đã cho trở thành:
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
22
3; 3
3
22 116 2 3 1 14
3 14; 3 3 14; 3
30 52 0
4 8 10 196 28
S PS
SP
S SP SS S
S PS S PS
SS
S S SS
≥=−
−=

⇔

++ + +=
+ − += −
≤≤ = − ≤ ≤ = −

⇔⇔

+ −=
++ = − +
6
93
S
P xy
=
⇔=⇒==
. Vậy hệ đã cho có nghiệm
( ) ( )
; 3; 3xy =
.
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:
a)
22
2 82
4
x y xy
xy
++ =
+=
c)
22
2
21
xy
xyxy
xy x y
++ =
+
+= −
b)
( )
( )
22
22
1
15
1
19
xy xy
xy xy

+ +=



++ =


d)
( ) ( )
( )
3 22 3
22
1 2 30 0
1 11 0
xy yxy yxy
xy x y y y
++ ++ −=
+ ++ +− =
Giải:
a) Đặt
,xayb= =
điều kiện
,0ab≥
.
THCS.TOANMATH.com
Hệ phương trình trở thành:
44
2 82
4
a b ab
ab
++ =
+=
. Ta viết lại hệ
phương trình thành:
4 2 22
()4()2 282
4
a b ab a b a b ab
ab
+− ++ + =
+=
Đặt
S ab
P ab
= +
=
điều kiện
24
,0
SP
SP
≥
≥
thì hệ đã cho trở thành.
2
256 64 6 2 8 2 424
4
PP P S P ab x y
S
−−+ = ⇔= =⇔==⇔==
=
Ngoài ra ta cũng có thể giải ngắn gọn hơn như sau:
( )
( )
22
22 2
2 2 16
2 16
2 ( )0 2 4 4
x y xy
x y xy
x y xy xy x y x x
++ =
++ =
⇔ + =+⇔ − =⇔=⇔ =⇔=
Vậy hệ có một cặp nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 4; 4xy =
b) Điều kiện:
0xy+>
.
Biến đổi phương trình (1):
( )
2
22
22
1 1 20
xy xy
x y x y xy
xy xy
+ + =⇔ + −+ − =
++
Đặt
,x y S xy P+= =
ta có phương trình:
2
22 10
P
SP
S
+ − −=
32 2
2 2 0 ( 1) 2 ( 1) 0 ( 1)( 2 ) 0S P SP S S S P S S S S P⇔ + − −=⇔ −− −=⇔ − +− =
.
Vì
24, 0S PS>>
suy ra
220SSP+− >
. Do đó
1S=
THCS.TOANMATH.com
Với
1xy+=
thay vào (2) ta được:
( )
2
1 1 0, 3y yy y=− −⇔= =
Xét
22 22
2
1 11 0
xy
xy xy x y x y xy
xy
+ += ⇔ + +=− − ⇔ + + + =
+
(không
thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ đã cho có nghiệm
( ) ( ) ( )
; 1; 0 , 2; 3xy = −
.
c) Điều kiện:
0xy ≠
.
Hệ đã cho tương đương:
2
2
22
22
11
11 5
5
11 11
99
xy
xy xy
xy
xy xy
xy xy


+++ =
+++ = 




⇔




+++ = + ++ =





.
Đặt
11
11
.
x yS
xy
xy P
xy


+++ =






+ +=




Hệ trở thành:
2
29 5, 6
5
SP SP
S
−=
⇔= =
=
11
2; 3
11
3; 2
xy
xy
xy
xy
+= +=
⇔+= +=
.
35
1; 2
35
;1
2
xy
xy
±
= =
⇔±
= =
. Vậy hệ đã cho có nghiệm:
( )
35 35
; 1; , ;1
22
xy 
±±
= 


.