Nguyễn Thành Long
Khoa Toán-tin học,
Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh
PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ
TP. Hồ Chí Minh 2017
Mục lục
Mục lục 1
1 Phương trình toán lý 3
1.1 Các khái niệm và ví dụ mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, các tính chất về nghiệm của chúng . 4
1.3 Phân loại các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2theo hai biến độc
lập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Sự thành lập các bài toán cơ bản cho các phương trình đạo hàm riêng tuyến
tính cấp 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Bài tập chương 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Phương trình hyperbolic 11
2.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Nghiệm của bài toán Cauchy (bài toán giá trị ban đầu) cho một dây dài vô hạn. 12
2.3 Nghiệm của bài toán Cauchy cho sợi dây vô hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Nghiên cứu công thức D’Alembert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Bài toán đặt chỉnh. Ví dụ của Hadamard về bài toán không chỉnh. . . . . . . . 18
2.6 Ví dụ của Hadamard về bài toán không chỉnh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7 Dao động tự do của một sợi dây cố định tại hai đầu. Phương pháp Fourier. . . 21
2.8 Dao động cưỡng bức của dây cố định ở hai đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.9 Dao động cưỡng bức của một sợi dây có hai đầu không cố định. ......... 31
2.10 Sơ đồ tổng quát của phương pháp Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.11 Tính duy nhất nghiệm của bài toán hỗn hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.12 Dao động của một màng tròn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.13 Áp dụng phép biến đổi Laplace để giải bài toán hỗn hợp. .............. 42
2.14 Bài tập chương 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Phương trình parabolic 47
3.1 Phương trình nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Bài toán Cauchy cho phương trình nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Truyền nhiệt trong một thanh hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Phương pháp Fourier cho phương trình nhiệt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Phương trình elliptic 61
4.1 Định nghĩa. Thành lập bài toán biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Nghiệm cơ bản của phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4 Công thức Green tích phân cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5 Tính chất của hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.6 Phương pháp Fourier tìm nghiệm của bài toán Dirichlet trong hình tròn . . . . 69
4.7 Tích phân Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.8 Bài tập chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1
Chương 0. MỤC LỤC 2
5 Bổ túc về phương trình thường tuyến tính cấp hai 75
5.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất .............. 76
5.1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất có hệ số hằng . . . . 79
5.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất có hệ số hàm . . . . . 81
5.1.5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất ......... 84
5.1.6 Phương pháp biến thiên hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.7 Phương pháp hệ số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2 Phương trình vi phân Euler cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2.2 Phương trình vi phân Euler thuần nhất cấp 2 ................. 93
5.2.3 Phương trình vi phân Euler không thuần nhất cấp 2 ............ 95
5.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân
tuyến tính cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3.1 Bổ túc về hàm véctơ, ma trận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Tài liệu tham khảo 104
Chương 1
Phương trình toán lý
1.1 Các khái niệm và ví dụ mở đầu
Một đẳng thức có dạng
F x1; :::; xn; u; @u
@x1
; :::; @u
@xn
; :::; @mu
@xk1
1:::@xkn
n!= 0;(1.1)
liên hệ với:
- các biến độc lập x1; :::; xn;
- giá trị hàm cần tìm (ẩn hàm) u=u(x1; :::; xn)của hàm utại x= (x1; :::; xn);
- giá trị của các đạo hàm riêng của hàm utại x= (x1; :::; xn)(phải có mặt ít nhất một trong những
đạo hàm riêng của u),
được gọi là một phương trình đạo hàm riêng cấp m; trong đó k1; :::; knlà các số nguyên không âm, sao
cho k1+::: +kn=mvà Flà một hàm số cụ thể theo các đối số của nó.
Cấp của một phương trình đạo hàm riêng (1.1) là cấp cao nhất của các đạo hàm riêng có mặt trong
(1.1).
Giả sử u=u(x; y)là ẩn hàm theo hai biến độc lập xvà y; khi đó
y@u
@x x@u
@y = 0;
là một phương trình đạo hàm riêng cấp 1;và
@2u
@x2@2u
@y2= 0;
@u
@x @2u
@y2=eu;
là các phương trình đạo hàm riêng cấp 2:
Để cho đơn giản đôi khi ta còn sử dụng các ký hiệu sau:
ux@u
@x; uy@u
@y ; uxx @2u
@x2; uxy @2u
@x@y ; ::::
Định nghĩa.
Cho trước một phương trình đạo hàm riêng (1.1) cấp m: Một Nghiệm của phương trình đạo hàm
riêng (1.1) trong miền Dnào đó (DRn) là hàm u2Cm(D)()sao cho hàm uthỏa đúng đẳng thức
(1.1) với mọi x= (x1; :::; xn)2D:
()Cm(D)là tập các hàm ucùng với các đạo hàm riêng của nó đến cấp mliên tục trong D:
Ví dụ 1. Tìm nghiệm u=u(x; y)của phương trình
@u
@x = 0:(1.2)
3
Chương 1. Phương trình toán lý 4
Phương trình (1.2) nghĩa là ẩn hàm ulà độc lập với x; nhưng có thể là hàm tùy ý theo y; i.e.,
u='(y):(1.3)
Nghiệm (1.3) của phương trình (1.2) như vậy chứa một hàm tùy ý. Đó là nghiệm tổng quát của
phương trình (1.2).
Ví dụ 2. Tìm nghiệm u=u(x; y)của phương trình
@2u
@y@x = 0:(1.4)
Ta đặt @u
@y =v: Khi đó, phương trình (1.4) trở thành @v
@x = 0:Nghiệm tổng quát của nó là một hàm
tùy ý v=!(y)theo y: Do @u
@y =v; ta có phương trình @u
@y =!(y):Tích phân theo biến y(ta lấy xnhư
một tham số), ta thu được
u(x; y) = Z!(y)dy +g(x);
trong đó g(x)là một hàm tùy ý. Vì !(y)là một hàm tùy ý, tích phân nó cũng là một hàm tùy ý, chúng
ta ký hiệu nó là f(y). Kết quả là, chúng ta thu được nghiệm của (1.4) có dạng
u(x; y) = f(y) + g(x);(1.5)
trong đó, f(y)và g(x)là các hàm khả vi tùy ý.
Nghiệm (1.5) của phương trình đạo hàm riêng cấp 2(1.4) như vậy chứa hai hàm tùy ý. Nó được gọi
là nghiệm tổng quát của phương trình (1.4), vì mọi nghiệm khác của phương trình (1.4) đều có thể nhận
được từ (1.5) bởi việc chọn các hàm fvà gmột cách thích hợp.
Như vậy, chúng ta có thể thấy rằng các phương trình đạo hàm riêng thông thường có cả họ các
nghiệm. Tuy nhiên, cũng có các phương trình đạo hàm riêng mà tập các nghiệm của nó khá hẹp hay
rỗng.
Chẳng hạn như:
- Tập các nghiệm thực của phương trình
@u
@x2
+@u
@y 2
= 0;
là hàm duy nhất u(x; y) = C(hàm hằng);
- Phương trình @u
@x2
+@u
@y 2
+ 1 = 0;
không có nghiệm thực nào.
Trong lúc này, chúng ta chưa quan tâm đến việc tìm kiếm nghiệm đặc biệt. Chúng ta sẽ làm chính
xác sau đó với các điều kiện phụ cần phải được chỉ rõ để thu được nghiệm đặc biệt, tức là, một hàm thỏa
mãn cả phương trình đạo hàm riêng và các điều kiện phụ.
1.2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, các tính chất về nghiệm
của chúng
Một phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính, nếu nó tuyến tính đối với ẩn hàm và tất cả
các đạo hàm riêng của nó có mặt trong phương trình. Trong trường hợp ngược lại, phương trình được
gọi là phi tuyến.
Chẳng hạn @2u
@x2=x2@2u
@y2+ex2;