Bài giảng Thống kê ứng dụng: Chương 2

Chương 2 Khoảng tin cậy

L/O/G/O

Ước lượng & sự lấy mẫu

Các thông số được ước lượng

• Ước lượng khoảng tin cậy số trung bình

hoặc so sánh 2 số trung bình.

• Ước lượng tỉ lệ • Ước lượng phương sai • Trắc nghiệm tính phân bố chuẩn • Trắc nghiệm tính phù hợp với một phân

bố lý thuyết • Khử sai số thô • Tính kích cỡ mẫu thí nghiệm

ế

ề

(Phan Hi u Hi n, 2001)

Ước lượng khoảng

• Độ tin cậy

0.1

– Khi ta ước

0.08

(cid:0)

0.06

) x ( f

0.04

1- (cid:0)

0.02

(cid:0)

15 x

ứ

ộ

ậ Hình 1. Đ tin c y và m c ý nghĩa

(cid:0) (cid:0)

lượng X thuộc khoảng giá trị K nào đó, thì xác suất để X thuộc khoảng giá trị ấy được gọi là độ tin cậy của ước lượng.

– Ký hiệu: (1-(cid:0) ) Là xác suất để tham số chưa biết không rơi vào trong khoảng tin cậy

ươ

ồ

ng H ng Quang, 2012; Hình đ

ượ ẽ ừ c v t

Matlab R2007a

(cid:0)

Ước lượng khoảng

0.1

• Độ tin cậy – 1 phía

0.08

(cid:0)

• K < một giá trị

0.06

nào đó

) x ( f

0.04

0.02

(cid:0)

15 x

ả

Hình 2. Kho ng giá tr

ị ướ ượ c l

ươ

ồ

ng H ng Quang, 2012; Hình đ

ượ ẽ ừ c v t

Matlab R2007a

(cid:0)

Ước lượng khoảng

0.1

• Độ tin cậy – 1 phía

0.08

(cid:0)

• K > một giá trị

0.06

nào đó

) x ( f

0.04

0.02

(cid:0)

15 x

ả

Hình 3. Kho ng giá tr

ị ướ ượ c l

ươ

ồ

ng H ng Quang, 2012; Hình đ

ượ ẽ ừ c v t

Matlab R2007a

(cid:0)

Ước lượng khoảng

0.1

• Độ tin cậy – 2 phía

0.08

(cid:0)

•

(cid:0) 1 ≤ K ≤ (cid:0) 2

0.06

) x ( f

0.04

0.02

(cid:0) 1

(cid:0) 2

15 x

ả

Hình 4. Kho ng giá tr

ị ướ ượ c l

ươ

ồ

ng H ng Quang, 2012; Hình đ

ượ ẽ ừ c v t

Matlab R2007a

(cid:0)

Ước lượng khoảng

• Ước lượng cho trị trung bình

– Phân phối t-Student

• Xét tổng thể có trung bình (cid:0)

và độ lệch chuẩn (cid:0)

. Lấy mẫu cỡ

n, tính được số trung bình mẫu và độ lệch chuẩn s. (cid:0)

(

)

(cid:0)

x • Phương pháp ước lượng: Khi tính được số trung bình mẫu và độ lệch chuẩn s của cỡ mẫu n thì khoảng ước lượng của với độ tin cậy 1 - (cid:0)

là:

(cid:0)

n (cid:0)

(cid:0)

x , độ tự do

(cid:0)

(cid:0) ,

s n

 tra bảng

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Ước lượng khoảng

• Ước lượng cho trị trung bình

– Phân phối t-Student

• Nếu mẫu lớn (n ≥ 30), ta sử dụng z(cid:0)

/2 thay cho

t(cid:0)

/2,(cid:0)

• Nếu đã biết (cid:0)

, sử dụng (cid:0)

thay cho s; và z(cid:0)

/2 thay

cho t(cid:0)

/2,(cid:0)

• Thí dụ 4 (trang 38, Phạm Tuấn Anh, 2012)

Ước lượng khoảng

• Ước lượng phương sai

– Khoảng ước lượng phương sai có phân phối

(cid:0) 2 với độ tin cậy 1 - (cid:0) là:

(

(cid:0)

(cid:0) (cid:0)

n (cid:0)

2 (cid:0)

(cid:0)

(cid:0) (cid:0)

– Trong đó: (cid:0) = n – 1 (độ tự do)

(cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)

2 (cid:0)

(cid:0) (cid:0)

tra Bảng phân phối (cid:0) 2 (cid:0)

Ước lượng khoảng

• Ước lượng tỉ lệ

– Lấy mẫu cỡ n từ tổng thể. Kết quả cho thấy tỉ lệ các phần tử có tính chất A là p. Với độ tin cậy 1 - (cid:0) phần tử của tổng thể có tính chất A là:

, khoảng ước lượng cho tỉ lệ các

)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)

1( n

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

– Khoảng ước lượng này không chứa 0 và 1!

(cid:0) (cid:0)

Ước lượng điểm

• Ước lượng trung bình

– Xét tổng thể có trung bình (cid:0)

thì các giá

)

và phương sai (cid:0) 2. Lấy nhiều mẫu cỡ n, tính được số trung bình mẫu . Khi n tăng dần đến (cid:0) trị này có phân phối chuẩn; trị trung bình là (cid:0) và độ lệch chuẩn (cid:0) n –  Số trung bình của mẫu ( ) có thể sử dụng làm ước lượng không chệch cho số trung bình của tổng thể (cid:0) .

• Ước lượng tỉ lệ

1( (cid:0) n

SE • Trong đó: p là tỉ lệ các phần tử của mẫu

(cid:0)

Phân phối của giá trị trung bình của mẫu

Định lý giới hạn trung tâm

Phân phối chuẩn N(0,1)

Hàm mật độ xác suất

ậ ả Các kho ng tin c y

(cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

_ x

_ X

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

. . 1 645 1 645 90% Samples

(cid:0)

(cid:0) 96.1

(cid:0) (cid:0)

x

x 95% Samples

(cid:0)

(cid:0) . 582

(cid:0) (cid:0)

99% Samples

ộ

ậ Đ tin c y

ố ư

ế ơ

• Là xác su t đ tham s ch a bi

t r i vào

ấ ể ậ ả trong kho ng tin c y

ộ

ậ

e.g.

) % = đ tin c y

ố ư ế t không

ệ • Kí hi u (1 90%, 95%, 99% o a Là xác su t đ tham s ch a bi ấ ể ả

ậ ơ r i vào trong kho ng tin c y

ộ

ậ ả Kho ng tin c y & ậ Đ tin c y

ố ấ

ẫ ủ

_ x

Phân ph i l y m u c a trung bình

a a

/2

1 - a

_ X

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0)

ứ

(cid:0) (cid:0)

(1 a ) % c a ủ ả kho ng ch a m % không ch a.ứ

Confidence Intervals

ả Kho ng tin c y tậ ừ XZX Đến XZX

ưở

Các tác nhân nh ả ế ộ ng đ n đ h ả ủ ộ r ng c a kho ng

•

Số liệu biến thiên được đo bằng s

Intervals Extend from X - Zs x

to X + Z s x

• Cỡ mẫu

n/X

X • Độ tin cậy

(1 - a )

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

ả

Các

ướ ượ c l

ậ ng kho ng tin c y

Ướ ượ ng c l ậ ả kho ng tin c y

Tỉ lệ

Trung bình

s s

không biết

biết

Tổng thể Hữu hạn

ả

Kho ng tin c y (

ậ s bi

t)ế

• Gi

ả ử s : ộ ệ ể ế t

ổ ố ể ẩ

ỡ ẫ ớ

ẩ ủ ổ o Đ l ch chu n c a T ng th đã bi o T ng th có phân ph i chu n ế o N u không chu n, s d ng c m u l n Ướ ượ c l ử ụ ẩ ậ ả ng kho ng tin c y

(cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ả

ế

ậ s Kho ng tin c y (

ư ch a bi

t)

• Gi

ể ư ế t

•

ố ể ẩ

ố

ả ử s : ộ ệ ẩ ủ ổ o Đ l ch chu n c a T ng th ch a bi ổ o T ng th có thê không có phân ph i chu n ử ụ S d ng phân ph i tStudent ậ ả

• Kho ng tin c y:

(cid:0)

S n

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ố Phân ph i tStudent

Standard Normal

t (df = 13)

BellShaped Symmetric ‘Fatter’ Tails

t (df = 5)

Z t

0

ậ ự

B c t

do (

df)

ứ

ỡ ẫ

• Công th c: df = C m u (n) 1 • Ví d :ụ o B c t

degrees of freedom = n 1 = 3 1 = 2

ậ ự do khi n=3 là 2

X1 = 1 (or Any Number) X2 = 2 (or Any Number) X3 = 3 (Cannot Vary) df = 2

Student’s t Table

a / 2

Upper Tail Area

Assume: n = 3 df = n 1 = 2 a a

= .10 /2 =.05

df

.25

.10

.05

1 1.000 3.078 6.314

2 0.817 1.886 2.920

3 0.765 1.638 2.353

.05

0 t

2.920 t Values

Ví d :

c l

ả ụ ướ ượ ng kho ng tin ế C y ậ s ư t ch a bi

ả

ậ 95% cho tham

X n = 25 có = 50 và s = 8. Tìm kho ng tin c y s ố m

S n

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

. 2

0639

. 0639

8 25

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

£ £ m

. 46 69

. 53 30

ể ữ

ổ

Ướ ượ c l

ng cho t ng th h u

h nạ

• Gi

o M u l n so v i t ng th :

•

ả ử s : ẫ ớ ớ ổ ể

ln / N > .05 S d ng h s t h nạ

ử ụ ệ ố ươ ủ ổ ể ữ ng quan c a t ng th h u

ả

(cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) £ £ m (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) tế n, 1 bi / 2

X

S n

nN 1(cid:0) N

s X ch a ư S n ậ ủ • Kho ng tin c y c a trung bình khi nN 1(cid:0) N

ả

ướ

Kho ng tin c y cho

c

ỉ ệ

ậ ng t l

ượ l

• Gi

ả ử s :

ị

•

ổ

ả ế o Có hai bi n đ nh tính ị ứ ố ể o T ng th tuân theo phân ph i nh th c ẩ ể ử ụ ấ ỉ o Có th s d ng x p x chu n 5 & n∙(1 p) ‡ o n∙p ‡ Ướ ượ c l ậ ng kho ng tin c y

)p s

(p s

)p s

(cid:0) (cid:0)

(cid:0) p

1 n

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ụ ướ ượ

ỉ ệ

Ví d :

c l

ng t l

ẫ

ộ

ồ 400 ng

ườ ầ i b u ướ c

ẫ M t m u ng u nhiên g m ộ ử ườ ủ c cóử 32 ng i ng h c tri A. Tìm ậ 95% cho p. ả ượ ng kho ng tin c y l

)p s

(p s

)p s

(cid:0) p

1 n

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

)

. ( 108

)

( 108

(cid:0) p

. 08

. 961

. 08 400

. 400

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

.053

.107

£ £

Khoảng tin cậy của giá trị trung bình trong trường hợp biến trung bình tuân theo phân phối chuẩn

Khoảng tin cậy

Khoảng tin cậy của giá trị trung bình là một khoảng giá trị được thiết lập đối xứng quanh giá trị trung bình của mẫu sao cho khoảng tin cậy này chứa giá trị trung bình của tập con với một xác suất định trước.

Khoảng tin cậy của giá trị trung bình trong trường hợp biến trung bình tuân theo phân phối chuẩn

Ví dụ: Người ta muốn biết lương trung bình của một Xí nghiệp lớn. Mẫu n = 100 công nhân được chọn ngẫu nhiên để phỏng vấn. Kết quả từ mẫu cho thấy lương trung bình là 200$ và độ lệch chuẩn là 25$ Xác định khoảng tin cậy của lương trung bình với độ tin cậy 90%, 95%. Cho biết lượng trung bình tuân theo phân phối chuẩn.