§1. Đạo hàm
§2. Vi phân
§3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – cực trị
Chương 2. Đạo hàm, vi phân
10/25/2022 BỘ MÔN TOÁN -KHOA CƠ BẢN
60
§1. ĐẠO HÀM
1.1. Các định nghĩa
a. Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 xác định trong lân cận a,𝑏 ,𝑥0∈ (𝑎,𝑏). Giới hạn:
nếu tồn tại hữu hạn thì được gọi là đạo hàm của 𝑦 = 𝑓 𝑥 tại 𝑥0.
Ký hiệu là 𝑓′(𝑥0).
x
xfxxf
x
y
xx
0
00
0
limlim
10/25/2022 BỘ MÔN TOÁN -KHOA CƠ BẢN 61
Chương 2. Phép tính vi phân hàm số một biến số
Nhận xét: Do nên :
b. Đạo hàm một phía
Cho hàm số y = f(x) xác định trong lân cận phải 𝑥0,𝑏 của 𝑥0.
Giới hạn (nếu có) được gọi là đạo hàm bên phải của
tại 𝑥0.
xfy
Ký hiệu là . Tương tự, .
0
xf
0
xxx
0
xf
0
0
0
lim xx
xfxf
xx
0
0
00
lim)( xx
xfxf
xf xx
10/25/2022 BỘ MÔN TOÁN -KHOA CƠ BẢN 62
Chương 2. Phép tính vi phân hàm số một biến số
Nhận xét: Hàm số f(x) có đạo hàm tại 𝑥0khi và chỉ khi
c. Đạo hàm vô cùng
Nếu tỉ số Δ𝑦
Δ𝑥 → ∞khi Δ𝑥 → 0thì ta nói y=f(x) có đạo hàm vô cùng tại x0.
Tương tự ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng một phía .
Chú ý:
Nếu f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục tại x0thì tiếp tuyến tại 𝑥0
của đồ thị y = f(x) song song với trục Oy.
10/25/2022 BỘ MÔN TOÁN -KHOA CƠ BẢN 63
Chương 2. Phép tính vi phân hàm số một biến số
1.2. Các quy tắc tính đạo hàm :
1. Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số :
2. Đạo hàm của hàm số hợp :
3. Đạo hàm hàm số ngược của :
;; vuvuuvvuvu
2
'
2;, v
uvvu
v
u
Rk
v
vk
v
k
xuuyxf
.)(
xuyxf
xyy
xy
yx
1
10/25/2022 BỘ MÔN TOÁN -KHOA CƠ BẢN 64
Chương 2. Phép tính vi phân hàm số một biến số