Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Trường Đại học Kinh tế - Luật Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Ngày 26 tháng 8 năm 2017

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Table of Contents

1 Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

2 Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận

3 Dạng toàn phương

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

vuông

1

Tính chất

2

f (0) = 0 (lưu ý: 2 vectors 0 này khác nhau)

3

f (−u) = −f (u), ∀u ∈ Rn

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

f (α1u1 + · · · + αk uk ) = α1f (u1) + · · · + αk f (uk ), ∀ui ∈ Rn, ∀αi ∈ R

Định nghĩa

Định nghĩa ánh xạ tuyến tính

1

2

Ánh xạ f : Rn −→ Rm được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

f (u + v ) = f (u) + f (v ) với mọi u, v ∈ Rn f (αu) = αf (u) với mọi u ∈ Rn, với mọi α ∈ R

2

3

f (−u) = −f (u), ∀u ∈ Rn

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

f (α1u1 + · · · + αk uk ) = α1f (u1) + · · · + αk f (uk ), ∀ui ∈ Rn, ∀αi ∈ R

Định nghĩa

Định nghĩa ánh xạ tuyến tính

1

2

Ánh xạ f : Rn −→ Rm được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau

f (u + v ) = f (u) + f (v ) với mọi u, v ∈ Rn f (αu) = αf (u) với mọi u ∈ Rn, với mọi α ∈ R

1

Tính chất

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

f (0) = 0 (lưu ý: 2 vectors 0 này khác nhau)

3

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

f (α1u1 + · · · + αk uk ) = α1f (u1) + · · · + αk f (uk ), ∀ui ∈ Rn, ∀αi ∈ R

Định nghĩa

Định nghĩa ánh xạ tuyến tính

1

2

Ánh xạ f : Rn −→ Rm được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau

f (u + v ) = f (u) + f (v ) với mọi u, v ∈ Rn f (αu) = αf (u) với mọi u ∈ Rn, với mọi α ∈ R

1

2

Tính chất

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

f (0) = 0 (lưu ý: 2 vectors 0 này khác nhau) f (−u) = −f (u), ∀u ∈ Rn

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Định nghĩa

Định nghĩa ánh xạ tuyến tính

1

2

Ánh xạ f : Rn −→ Rm được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau

f (u + v ) = f (u) + f (v ) với mọi u, v ∈ Rn f (αu) = αf (u) với mọi u ∈ Rn, với mọi α ∈ R

1

2

3

Tính chất

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

f (0) = 0 (lưu ý: 2 vectors 0 này khác nhau) f (−u) = −f (u), ∀u ∈ Rn f (α1u1 + · · · + αk uk ) = α1f (u1) + · · · + αk f (uk ), ∀ui ∈ Rn, ∀αi ∈ R

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Định nghĩa

Định nghĩa ánh xạ tuyến tính

1

2

Ánh xạ f : Rn −→ Rm được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau

f (u + v ) = f (u) + f (v ) với mọi u, v ∈ Rn f (αu) = αf (u) với mọi u ∈ Rn, với mọi α ∈ R

1

2

3

Tính chất

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

f (0) = 0 (lưu ý: 2 vectors 0 này khác nhau) f (−u) = −f (u), ∀u ∈ Rn f (α1u1 + · · · + αk uk ) = α1f (u1) + · · · + αk f (uk ), ∀ui ∈ Rn, ∀αi ∈ R

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

A được gọi là một biểu diễn ma trận của ánh xạ f (thường được gọi là dạng ma trận của f ) Khi đó, f (u)T = AuT

Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính

Giả sử ánh xạ f có công thức

f (x1, . . . , xn) = (a11x1 + · · · + a1nxn , . . . , am1x1 + · · · + amnxn)

Đặt  

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

A =     a11 ... am1 a1n . . . ... ... . . . amn

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Khi đó, f (u)T = AuT

Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính

Giả sử ánh xạ f có công thức

f (x1, . . . , xn) = (a11x1 + · · · + a1nxn , . . . , am1x1 + · · · + amnxn)

Đặt  

A =     a11 ... am1 a1n . . . ... ... . . . amn

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

A được gọi là một biểu diễn ma trận của ánh xạ f (thường được gọi là dạng ma trận của f )

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính

Giả sử ánh xạ f có công thức

f (x1, . . . , xn) = (a11x1 + · · · + a1nxn , . . . , am1x1 + · · · + amnxn)

Đặt  

A =     a11 ... am1 a1n . . . ... ... . . . amn

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

A được gọi là một biểu diễn ma trận của ánh xạ f (thường được gọi là dạng ma trận của f ) Khi đó, f (u)T = AuT

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính

Giả sử ánh xạ f có công thức

f (x1, . . . , xn) = (a11x1 + · · · + a1nxn , . . . , am1x1 + · · · + amnxn)

Đặt  

A =     a11 ... am1 a1n . . . ... ... . . . amn

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

A được gọi là một biểu diễn ma trận của ánh xạ f (thường được gọi là dạng ma trận của f ) Khi đó, f (u)T = AuT

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Table of Contents

1 Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

2 Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận

3 Dạng toàn phương

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

vuông Chéo hóa

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Định nghĩa

Định nghĩa giá trị riêng của ma trận

Cho ma trận vuông cấp n

 

A =     a11 ... an1 . . . a1n ... ... . . . ann

Cho λ là 1 biến số. Ma trận

 

A − λIn =     a11 − λ . . . a1n ... ... . . . annλ ... an1

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

được gọi là ma trận đặc trưng của ma trận A

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Định nghĩa

Định nghĩa giá trị riêng của ma trận

Cho ma trận vuông cấp n

 

A =     a11 ... an1 . . . a1n ... ... . . . ann

Cho λ là 1 biến số. Ma trận

 

A − λIn =     a11 − λ . . . a1n ... ... . . . annλ ... an1

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

được gọi là ma trận đặc trưng của ma trận A

Tính chất của đa thức đặc trưng

χ(λ) là đa thức bậc n với hệ số bậc cao nhất (của λn) bằng (−1)n.

Hệ số của λn−1 bằng

(−1)n−1trace(A) = (−1)n−1(a11 + · · · + ann)

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Hệ số tự do χ(0) = |A|

Định nghĩa (tt)

Định nghĩa giá trị riêng của ma trận (tt)

Định thức χ(λ) = |A − λIn| là 1 đa thức theo biến số λ và được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Ta đinh nghĩa các giá trị riêng của ma trận A là các nghiệm của đa thức đặc trưng χ(λ)

Hệ số của λn−1 bằng

(−1)n−1trace(A) = (−1)n−1(a11 + · · · + ann)

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Hệ số tự do χ(0) = |A|

Định nghĩa (tt)

Định nghĩa giá trị riêng của ma trận (tt)

Định thức χ(λ) = |A − λIn| là 1 đa thức theo biến số λ và được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A.

Ta đinh nghĩa các giá trị riêng của ma trận A là các nghiệm của đa thức đặc trưng χ(λ)

Tính chất của đa thức đặc trưng

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

χ(λ) là đa thức bậc n với hệ số bậc cao nhất (của λn) bằng (−1)n.

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Hệ số tự do χ(0) = |A|

Định nghĩa (tt)

Định nghĩa giá trị riêng của ma trận (tt)

Định thức χ(λ) = |A − λIn| là 1 đa thức theo biến số λ và được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A.

Ta đinh nghĩa các giá trị riêng của ma trận A là các nghiệm của đa thức đặc trưng χ(λ)

Tính chất của đa thức đặc trưng

χ(λ) là đa thức bậc n với hệ số bậc cao nhất (của λn) bằng (−1)n. Hệ số của λn−1 bằng

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

(−1)n−1trace(A) = (−1)n−1(a11 + · · · + ann)

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Định nghĩa (tt)

Định nghĩa giá trị riêng của ma trận (tt)

Định thức χ(λ) = |A − λIn| là 1 đa thức theo biến số λ và được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A.

Ta đinh nghĩa các giá trị riêng của ma trận A là các nghiệm của đa thức đặc trưng χ(λ)

Tính chất của đa thức đặc trưng

χ(λ) là đa thức bậc n với hệ số bậc cao nhất (của λn) bằng (−1)n. Hệ số của λn−1 bằng

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

(−1)n−1trace(A) = (−1)n−1(a11 + · · · + ann)

Hệ số tự do χ(0) = |A|

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Định nghĩa (tt)

Định nghĩa giá trị riêng của ma trận (tt)

Định thức χ(λ) = |A − λIn| là 1 đa thức theo biến số λ và được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A.

Ta đinh nghĩa các giá trị riêng của ma trận A là các nghiệm của đa thức đặc trưng χ(λ)

Tính chất của đa thức đặc trưng

χ(λ) là đa thức bậc n với hệ số bậc cao nhất (của λn) bằng (−1)n. Hệ số của λn−1 bằng

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

(−1)n−1trace(A) = (−1)n−1(a11 + · · · + ann)

Hệ số tự do χ(0) = |A|

p(A) là 1 ma trận cấp n và được gọi là đa thức ma trận.

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Định lý: Với mọi ma trận vuông A thì χ(A) = 0. Ở đây 0 là ma trận vuông cấp n.

Đa thức ma trận

Cho đa thức p(x) = anx n + · · · + a1x + a0. Thay ma trận vuông A vào trong đa thức như sau:

p(A) = anAn + · · · + a1A + a0In

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Lưu ý: Hệ số tự do a0 phải được thay bằng a0In thì phép cộng mới có nghĩa.

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Định lý: Với mọi ma trận vuông A thì χ(A) = 0. Ở đây 0 là ma trận vuông cấp n.

Đa thức ma trận

Cho đa thức p(x) = anx n + · · · + a1x + a0. Thay ma trận vuông A vào trong đa thức như sau:

p(A) = anAn + · · · + a1A + a0In

Lưu ý: Hệ số tự do a0 phải được thay bằng a0In thì phép cộng mới có nghĩa.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

p(A) là 1 ma trận cấp n và được gọi là đa thức ma trận.

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Đa thức ma trận

Cho đa thức p(x) = anx n + · · · + a1x + a0. Thay ma trận vuông A vào trong đa thức như sau:

p(A) = anAn + · · · + a1A + a0In

Lưu ý: Hệ số tự do a0 phải được thay bằng a0In thì phép cộng mới có nghĩa.

p(A) là 1 ma trận cấp n và được gọi là đa thức ma trận.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Định lý: Với mọi ma trận vuông A thì χ(A) = 0. Ở đây 0 là ma trận vuông cấp n.

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Đa thức ma trận

Cho đa thức p(x) = anx n + · · · + a1x + a0. Thay ma trận vuông A vào trong đa thức như sau:

p(A) = anAn + · · · + a1A + a0In

Lưu ý: Hệ số tự do a0 phải được thay bằng a0In thì phép cộng mới có nghĩa.

p(A) là 1 ma trận cấp n và được gọi là đa thức ma trận.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Định lý: Với mọi ma trận vuông A thì χ(A) = 0. Ở đây 0 là ma trận vuông cấp n.

Như vậy, để tìm vector riêng X ứng với giá trị riêng λ0, ta giải hệ phương trình thuần nhất trên.

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Nhắc lại, nghiệm của hệ thuần nhất lập thành 1 không gian vector. Do đó, tập hợp các vector riêng ứng với 1 trị riệng xác định λ0 cũng lập thành 1 không gian vector.

Định nghĩa vector riêng

Định lý

Số λ0 là giá trị riêng của ma trận A khi và chỉ khi tồn tại 1 vector X (cid:54)= 0 (viết dạng cột) sao cho

AX = λ0X

Vector X như trên được gọi là 1 vector riêng của ma trận A.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Từ định nghĩa, ta có (A − λ0In)X = 0

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Nhắc lại, nghiệm của hệ thuần nhất lập thành 1 không gian vector. Do đó, tập hợp các vector riêng ứng với 1 trị riệng xác định λ0 cũng lập thành 1 không gian vector.

Định nghĩa vector riêng

Định lý

Số λ0 là giá trị riêng của ma trận A khi và chỉ khi tồn tại 1 vector X (cid:54)= 0 (viết dạng cột) sao cho

AX = λ0X

Vector X như trên được gọi là 1 vector riêng của ma trận A.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Từ định nghĩa, ta có (A − λ0In)X = 0 Như vậy, để tìm vector riêng X ứng với giá trị riêng λ0, ta giải hệ phương trình thuần nhất trên.

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Định nghĩa vector riêng

Định lý

Số λ0 là giá trị riêng của ma trận A khi và chỉ khi tồn tại 1 vector X (cid:54)= 0 (viết dạng cột) sao cho

AX = λ0X

Vector X như trên được gọi là 1 vector riêng của ma trận A.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Từ định nghĩa, ta có (A − λ0In)X = 0 Như vậy, để tìm vector riêng X ứng với giá trị riêng λ0, ta giải hệ phương trình thuần nhất trên. Nhắc lại, nghiệm của hệ thuần nhất lập thành 1 không gian vector. Do đó, tập hợp các vector riêng ứng với 1 trị riệng xác định λ0 cũng lập thành 1 không gian vector.

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Định nghĩa vector riêng

Định lý

Số λ0 là giá trị riêng của ma trận A khi và chỉ khi tồn tại 1 vector X (cid:54)= 0 (viết dạng cột) sao cho

AX = λ0X

Vector X như trên được gọi là 1 vector riêng của ma trận A.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Từ định nghĩa, ta có (A − λ0In)X = 0 Như vậy, để tìm vector riêng X ứng với giá trị riêng λ0, ta giải hệ phương trình thuần nhất trên. Nhắc lại, nghiệm của hệ thuần nhất lập thành 1 không gian vector. Do đó, tập hợp các vector riêng ứng với 1 trị riệng xác định λ0 cũng lập thành 1 không gian vector.

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Ứng dụng: Phân tích thành phần chính (PCA)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Đọc thêm tại trang web: Principal Component Analysis (PCA)

Ta có thể chọn vector riêng ứng với trị riêng λi như sau

vi = (0, . . . , a, . . . , 0)T

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

với a (cid:54)= 0 đặt ở vị trí thứ i.

Chéo hóa

ub Nhận xét:

Nếu A là ma trận đường chéo

  . . .

A =     λ1 ... 0 0 ... . . . λn

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

thì đa thức đặc trưng χ(λ) = (λ1 − λ) · · · · · (λn − λ). Từ đó, λi , 1 ≤ i ≤ n chính là các giá trị riêng của A.

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Chéo hóa

ub Nhận xét:

Nếu A là ma trận đường chéo

  . . .

A =     λ1 ... 0 0 ... . . . λn

thì đa thức đặc trưng χ(λ) = (λ1 − λ) · · · · · (λn − λ). Từ đó, λi , 1 ≤ i ≤ n chính là các giá trị riêng của A. Ta có thể chọn vector riêng ứng với trị riêng λi như sau

vi = (0, . . . , a, . . . , 0)T

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

với a (cid:54)= 0 đặt ở vị trí thứ i.

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Chéo hóa

ub Nhận xét:

Nếu A là ma trận đường chéo

  . . .

A =     λ1 ... 0 0 ... . . . λn

thì đa thức đặc trưng χ(λ) = (λ1 − λ) · · · · · (λn − λ). Từ đó, λi , 1 ≤ i ≤ n chính là các giá trị riêng của A. Ta có thể chọn vector riêng ứng với trị riêng λi như sau

vi = (0, . . . , a, . . . , 0)T

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

với a (cid:54)= 0 đặt ở vị trí thứ i.

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Chéo hóa (tt)

Định nghĩa

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Ma trận vuông A chéo hóa được nếu ta có thể tìm được ma trận C khả nghịch sao cho C −1AC là ma trận đường chéo. Khi đó, ma trận C được gọi là ma trận làm chéo hóa A, còn ma trận chéo D = C −1AC được gọi là dạng chéo của A.

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Chéo hóa (tt)

Định nghĩa

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Ma trận vuông A chéo hóa được nếu ta có thể tìm được ma trận C khả nghịch sao cho C −1AC là ma trận đường chéo. Khi đó, ma trận C được gọi là ma trận làm chéo hóa A, còn ma trận chéo D = C −1AC được gọi là dạng chéo của A.

3 Nếu tổng số vector trong tất cả các cơ sở của tất cả các

4 Nếu tổng số vectors cơ sở này đúng bằng n thì A chéo được

không gian nghiệm ở bước 2 nhỏ hơn n thì A không chéo hóa được

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

và ma trận C chính là các vectors cơ sở dựng thành cột

Chéo hóa (tt)

1 Giải phương trình đa thức đặc trưng χ(λ) = 0 để tìm trị riêng.

2 Ứng với từng trị riêng λ0, tìm 1 cơ sở cho không gian nghiệm

Phương pháp chéo hóa ma trận vuông A

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

(A − λ0In)X = 0 (gồm các vector riêng ứng với λ0)

4 Nếu tổng số vectors cơ sở này đúng bằng n thì A chéo được

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

và ma trận C chính là các vectors cơ sở dựng thành cột

Chéo hóa (tt)

1 Giải phương trình đa thức đặc trưng χ(λ) = 0 để tìm trị riêng.

2 Ứng với từng trị riêng λ0, tìm 1 cơ sở cho không gian nghiệm

Phương pháp chéo hóa ma trận vuông A

(A − λ0In)X = 0 (gồm các vector riêng ứng với λ0) 3 Nếu tổng số vector trong tất cả các cơ sở của tất cả các

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

không gian nghiệm ở bước 2 nhỏ hơn n thì A không chéo hóa được

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Chéo hóa (tt)

1 Giải phương trình đa thức đặc trưng χ(λ) = 0 để tìm trị riêng.

2 Ứng với từng trị riêng λ0, tìm 1 cơ sở cho không gian nghiệm

Phương pháp chéo hóa ma trận vuông A

(A − λ0In)X = 0 (gồm các vector riêng ứng với λ0) 3 Nếu tổng số vector trong tất cả các cơ sở của tất cả các

4 Nếu tổng số vectors cơ sở này đúng bằng n thì A chéo được và ma trận C chính là các vectors cơ sở dựng thành cột

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

không gian nghiệm ở bước 2 nhỏ hơn n thì A không chéo hóa được

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa

Dạng toàn phương

Chéo hóa (tt)

1 Giải phương trình đa thức đặc trưng χ(λ) = 0 để tìm trị riêng.

2 Ứng với từng trị riêng λ0, tìm 1 cơ sở cho không gian nghiệm

Phương pháp chéo hóa ma trận vuông A

(A − λ0In)X = 0 (gồm các vector riêng ứng với λ0) 3 Nếu tổng số vector trong tất cả các cơ sở của tất cả các

4 Nếu tổng số vectors cơ sở này đúng bằng n thì A chéo được và ma trận C chính là các vectors cơ sở dựng thành cột

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

không gian nghiệm ở bước 2 nhỏ hơn n thì A không chéo hóa được

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Table of Contents

1 Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

2 Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận

3 Dạng toàn phương

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

vuông

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Định nghĩa

Dạng toàn phương

n (cid:88)

n (cid:88)

của n biến số x1, . . . , xn là biểu thức dạng

i=1

j=1

f = aij xi xj

trong đó, aij là các hằng số cho trước

Ví dụ

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

f = ax 2 + bxy + cy 2

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Định nghĩa

Dạng toàn phương

n (cid:88)

n (cid:88)

của n biến số x1, . . . , xn là biểu thức dạng

i=1

j=1

f = aij xi xj

trong đó, aij là các hằng số cho trước

Ví dụ

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

f = ax 2 + bxy + cy 2

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Ma trận của dạng toàn phương

Để có thể thành lập dạng ma trận tương ứng với dạng toàn phương thì ta phải tách riêng các hệ số theo quy tắc san bằng Ví dụ: f = ax 2 + bxy + cy 2 được “san bằng" thành

xy + yx + cy 2 f = ax 2 + b 2 b 2

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

nghĩa là tách đôi hệ số sao cho aij = aji

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Ma trận của dạng toàn phương

Để có thể thành lập dạng ma trận tương ứng với dạng toàn phương thì ta phải tách riêng các hệ số theo quy tắc san bằng Ví dụ: f = ax 2 + bxy + cy 2 được “san bằng" thành

xy + yx + cy 2 f = ax 2 + b 2 b 2

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

nghĩa là tách đôi hệ số sao cho aij = aji

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Ma trận của dạng toàn phương (tt)

Định nghĩa ma trận

Dạng toàn phương tổng quát tương ứng với ma trận sau

 

A =     a11 ... an1 . . . a1n ... ... . . . ann

với aij là các hệ số của xi xj

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Lưu ý: A là môt ma trận đối xứng

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Ma trận của dạng toàn phương (tt)

Định nghĩa ma trận

Dạng toàn phương tổng quát tương ứng với ma trận sau

 

A =     a11 ... an1 . . . a1n ... ... . . . ann

với aij là các hệ số của xi xj

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Lưu ý: A là môt ma trận đối xứng

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Biểu diễn dạng toàn phương qua ma trận

f có thể được viết dưới dạng sau:

f = X T AX

trong đó,  

X =     x1 ... xn

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Hạng của dạng toàn phương là hạng của ma trận tương ứng với nó.

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Biểu diễn dạng toàn phương qua ma trận

f có thể được viết dưới dạng sau:

f = X T AX

trong đó,  

X =     x1 ... xn

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Hạng của dạng toàn phương là hạng của ma trận tương ứng với nó.

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Dạng toàn phương chính tắc

Định nghĩa

Dạng toàn phương chính tắc là dạng đặc biệt sau

1 + · · · + bny 2 n

f = b1y 2

Nói cách khác, ma trận của dạng này là

 

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

. . . . . . A =         b1 0 ... 0 0 b2 ... 0 0 0 ... . . . bn

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Dạng toàn phương chính tắc

Định nghĩa

Dạng toàn phương chính tắc là dạng đặc biệt sau

1 + · · · + bny 2 n

f = b1y 2

Nói cách khác, ma trận của dạng này là

 

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

. . . . . . A =         b1 0 ... 0 0 b2 ... 0 0 0 ... . . . bn

Chỉ số của dạng toàn phương

Đặt

Chỉ số dương s(f ) là số các hệ số dương trong 1 dạng chính tắc của f .

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Chỉ số âm t(f ) là số các hệ số âm trong 1 dạng chính tắc của f .

Đưa 1 dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc

Định lý (Luật quán tính)

Bất kỳ dạng toàn phương f nào cũng có thể đưa được về dạng chính tắc bằng cách đổi biến. Tuy nhiên, dạng chính tắc là không duy nhất và phụ thuộc vào cách đổi biến.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Số các hệ số dương và số các hệ số âm trong một dạng chính tắc của f là hằng số và không phụ thuộc vào cách đổi biến.

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Chỉ số âm t(f ) là số các hệ số âm trong 1 dạng chính tắc của f .

Đưa 1 dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc

Định lý (Luật quán tính)

Bất kỳ dạng toàn phương f nào cũng có thể đưa được về dạng chính tắc bằng cách đổi biến. Tuy nhiên, dạng chính tắc là không duy nhất và phụ thuộc vào cách đổi biến.

Số các hệ số dương và số các hệ số âm trong một dạng chính tắc của f là hằng số và không phụ thuộc vào cách đổi biến.

Chỉ số của dạng toàn phương

Đặt

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Chỉ số dương s(f ) là số các hệ số dương trong 1 dạng chính tắc của f .

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Đưa 1 dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc

Định lý (Luật quán tính)

Bất kỳ dạng toàn phương f nào cũng có thể đưa được về dạng chính tắc bằng cách đổi biến. Tuy nhiên, dạng chính tắc là không duy nhất và phụ thuộc vào cách đổi biến.

Số các hệ số dương và số các hệ số âm trong một dạng chính tắc của f là hằng số và không phụ thuộc vào cách đổi biến.

Chỉ số của dạng toàn phương

Đặt

Chỉ số dương s(f ) là số các hệ số dương trong 1 dạng chính tắc của f .

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Chỉ số âm t(f ) là số các hệ số âm trong 1 dạng chính tắc của f .

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Đưa 1 dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc

Định lý (Luật quán tính)

Bất kỳ dạng toàn phương f nào cũng có thể đưa được về dạng chính tắc bằng cách đổi biến. Tuy nhiên, dạng chính tắc là không duy nhất và phụ thuộc vào cách đổi biến.

Số các hệ số dương và số các hệ số âm trong một dạng chính tắc của f là hằng số và không phụ thuộc vào cách đổi biến.

Chỉ số của dạng toàn phương

Đặt

Chỉ số dương s(f ) là số các hệ số dương trong 1 dạng chính tắc của f .

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Chỉ số âm t(f ) là số các hệ số âm trong 1 dạng chính tắc của f .

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Đưa dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc (tt)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Nhận xét: s(f ) + t(f ) = rank(f ) Dùng hằng đẳng thức (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2, ta có thể biến đổi dạng toàn phương f tùy ý về dạng chính tắc.

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Đưa dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc (tt)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Nhận xét: s(f ) + t(f ) = rank(f ) Dùng hằng đẳng thức (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2, ta có thể biến đổi dạng toàn phương f tùy ý về dạng chính tắc.

Dạng toàn phương f là nửa xác định âm hay không dương nếu

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

f (x1, . . . , xn) ≤ 0, ∀x1, . . . , xn ∈ R

Dạng toàn phương có dấu xác định

Định nghĩa

Dạng toàn phương f là nửa xác định dương hay không âm nếu

f (x1, . . . , xn) ≥ 0, ∀x1, . . . , xn ∈ R

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Dạng toàn phương f là xác định dương nếu f không âm và f (x1, . . . , xn) = 0 ⇔ x1 = · · · = xn = 0

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Dạng toàn phương có dấu xác định

Định nghĩa

Dạng toàn phương f là nửa xác định dương hay không âm nếu

f (x1, . . . , xn) ≥ 0, ∀x1, . . . , xn ∈ R

Dạng toàn phương f là xác định dương nếu f không âm và f (x1, . . . , xn) = 0 ⇔ x1 = · · · = xn = 0 Dạng toàn phương f là nửa xác định âm hay không dương nếu

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

f (x1, . . . , xn) ≤ 0, ∀x1, . . . , xn ∈ R

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Dạng toàn phương có dấu xác định

Định nghĩa

Dạng toàn phương f là nửa xác định dương hay không âm nếu

f (x1, . . . , xn) ≥ 0, ∀x1, . . . , xn ∈ R

Dạng toàn phương f là xác định dương nếu f không âm và f (x1, . . . , xn) = 0 ⇔ x1 = · · · = xn = 0 Dạng toàn phương f là nửa xác định âm hay không dương nếu

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

f (x1, . . . , xn) ≤ 0, ∀x1, . . . , xn ∈ R

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Dạng toàn phương có dấu xác định (tt)

Định nghĩa (tt)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Dạng toàn phương f là xác định âm nếu f không dương và f (x1, . . . , xn) = 0 ⇔ x1 = · · · = xn = 0 Các trường hợp trên, ta bảo f xác định dấu, ngược lại, ta bảo f đổi dấu

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Dạng toàn phương có dấu xác định (tt)

Định nghĩa (tt)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Dạng toàn phương f là xác định âm nếu f không dương và f (x1, . . . , xn) = 0 ⇔ x1 = · · · = xn = 0 Các trường hợp trên, ta bảo f xác định dấu, ngược lại, ta bảo f đổi dấu

3 Nếu s(f ) = 0, nghĩa là t(f ) = rank(f ) thì

Nếu t(f ) = rank(f ) = n thì f xác định âm

Nếu t(f ) = rank(f ) < n thì f nửa xác định âm

4 Nếu t(f ) > 0 và s(f ) > 0 thì f đổi dấu.

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Cách xác định dấu

1 Đưa f về dạng chính tắc, xác đinh s(f ), t(f ) và rank(f ).

2 Nếu t(f ) = 0, nghĩa là s(f ) = rank(f ) thì

Phương pháp

Nếu s(f ) = rank(f ) = n thì f xác định dương Nếu s(f ) = rank(f ) < n thì f nửa xác định dương

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

4 Nếu t(f ) > 0 và s(f ) > 0 thì f đổi dấu.

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Cách xác định dấu

1 Đưa f về dạng chính tắc, xác đinh s(f ), t(f ) và rank(f ).

2 Nếu t(f ) = 0, nghĩa là s(f ) = rank(f ) thì

Phương pháp

Nếu s(f ) = rank(f ) = n thì f xác định dương Nếu s(f ) = rank(f ) < n thì f nửa xác định dương

3 Nếu s(f ) = 0, nghĩa là t(f ) = rank(f ) thì

Nếu t(f ) = rank(f ) = n thì f xác định âm Nếu t(f ) = rank(f ) < n thì f nửa xác định âm

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Cách xác định dấu

1 Đưa f về dạng chính tắc, xác đinh s(f ), t(f ) và rank(f ).

2 Nếu t(f ) = 0, nghĩa là s(f ) = rank(f ) thì

Phương pháp

Nếu s(f ) = rank(f ) = n thì f xác định dương Nếu s(f ) = rank(f ) < n thì f nửa xác định dương

3 Nếu s(f ) = 0, nghĩa là t(f ) = rank(f ) thì

Nếu t(f ) = rank(f ) = n thì f xác định âm Nếu t(f ) = rank(f ) < n thì f nửa xác định âm

4 Nếu t(f ) > 0 và s(f ) > 0 thì f đổi dấu.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương

Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận

Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông

Dạng toàn phương

Cách xác định dấu

1 Đưa f về dạng chính tắc, xác đinh s(f ), t(f ) và rank(f ).

2 Nếu t(f ) = 0, nghĩa là s(f ) = rank(f ) thì

Phương pháp

Nếu s(f ) = rank(f ) = n thì f xác định dương Nếu s(f ) = rank(f ) < n thì f nửa xác định dương

3 Nếu s(f ) = 0, nghĩa là t(f ) = rank(f ) thì

Nếu t(f ) = rank(f ) = n thì f xác định âm Nếu t(f ) = rank(f ) < n thì f nửa xác định âm

4 Nếu t(f ) > 0 và s(f ) > 0 thì f đổi dấu.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương