Chương 3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

ThS. Huỳnh Văn Kha

TÓM TẮT NỘI DUNG

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

2

1. Giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến. 2. Đạo hàm riêng. 3. Xấp xỉ tuyến tính và vi phân. 4. Đạo hàm hàm hợp, hàm ẩn. 5. Cực trị địa phương.

1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

• Thể tích của khối trụ là

(cid:1) = (cid:3)(cid:4)(cid:5)ℎ là hàm số theo 2 biến và . • Thể tích

(cid:1) = (cid:1) (cid:4), ℎ ℎ (cid:4)

là tập hợp các bộ con số có dạng

(cid:10)(cid:11), (cid:10)(cid:5), … , (cid:10)(cid:13) (cid:8) (cid:9) trên

(cid:8) (cid:14) cho tương ứng duy nhất một con số

(cid:8) . Định nghĩa 1. Hàm nhiều biến – function of several variables . Cho Một hàm số (function) là một quy tắc mà ứng với mỗi phần tử của thực

(cid:15) = (cid:14) (cid:10)(cid:11), (cid:10)(cid:5), … , (cid:10)(cid:13)

Miền được gọi là tập xác định (domain) của .

(cid:8) (cid:14)

gọi là miền giá trị (range). Tập các giá trị có thể của

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

3

(cid:14)

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

4

Ví dụ hàm hai biến

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

5

Ví dụ hàm ba biến

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

6

Đồ thị hàm hai biến

với • Tập hợp các điểm

(cid:10), (cid:16), (cid:14) (cid:10), (cid:16) (cid:10), (cid:16) xác định của được gọi là đồ thị (graph) của thuộc tập .

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

7

(cid:14) (cid:14)

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

8

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

9

Giới hạn hàm hai biến

• Nếu giá trị của

có thể gần thì ta nói tùy ý với mọi (cid:17) có giới hạn bằng đủ gần

(cid:14) (cid:17) (cid:14) (cid:10), (cid:16) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) (cid:10), (cid:16) khi tiến về .

(cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) (cid:10), (cid:16)

khi tiến về Định nghĩa 2. Giới hạn - limit Ta nói có giới hạn bằng

(cid:17) (cid:10), (cid:16) (cid:14) (cid:10), (cid:16) và viết

(cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18)

(cid:14) (cid:10), (cid:16) = (cid:17) lim(cid:22),(cid:23) → (cid:22)(cid:25),(cid:23)(cid:25)

nếu với mọi sao cho với mọi

(cid:26) > 0 đều tồn tại thuộc miền xác định của

(cid:29) > 0 (cid:14)

(cid:5) + (cid:16) − (cid:16)(cid:18)

(cid:5) < (cid:29) ⇒ (cid:14) (cid:10), (cid:16) − (cid:17) < (cid:26)

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

10

(cid:10), (cid:16) 0 < (cid:10) − (cid:10)(cid:18)

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

11

Sự liên tục của hàm hai biến

nếu Định nghĩa 3. Liên tục – continuous Ta nói liên tục tại điểm

(cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18)

(cid:14) (cid:10), (cid:16) xác định tại , 1.

(cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18)

tồn tại, 2.

(cid:14) (cid:10), (cid:16) (cid:14) lim(cid:22),(cid:23) → (cid:22)(cid:25),(cid:23)(cid:25)

3. .

(cid:14) (cid:10), (cid:16) = (cid:14) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) lim(cid:22),(cid:23) → (cid:22)(cid:25),(cid:23)(cid:25)

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

12

Một hàm số được nói là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của nó.

2. ĐẠO HÀM RIÊNG

. Cố định ta được

(cid:16) = (cid:16)(cid:18) • Cho hàm hai biến hàm một biến .

(cid:14) (cid:10), (cid:16) " (cid:10) = (cid:14) (cid:10), (cid:16)(cid:18) • Đạo hàm của hàm số này tại (cid:10)(cid:18) của (viết tắt là ĐHR) theo biến gọi là đạo hàm riêng . tại điểm

((cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18)) (cid:10) (cid:14)

Định nghĩa 4. Đạo hàm riêng – partial derivative Đạo hàm riêng theo biến của hàm số tại điểm

(cid:14) (cid:10), (cid:16) (cid:10) được định nghĩa là

(cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18)

(cid:22)(cid:25),(cid:23)(cid:25)

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

13

& = lim’→(cid:18) (cid:14) (cid:10)(cid:18) + ℎ, (cid:16)(cid:18) − (cid:14) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) ℎ %(cid:14) %(cid:10)

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

14

• Một cách tương đương, ta có thể định nghĩa

& = (cid:14) (cid:10), (cid:16)(cid:18) &

(cid:22)(cid:25),(cid:23)(cid:25) của

(cid:22)(cid:25) tại điểm

( ((cid:10)

%(cid:14) %(cid:10) • ĐHR theo biến

) = (cid:14) (cid:10), (cid:16) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) (cid:10) được ký hiệu theo nhiều cách

& , (cid:14)(cid:22) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) , hoặc & , )(cid:22) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18)

(cid:22)(cid:25),(cid:23)(cid:25)

%(cid:14) %(cid:10)

(cid:22)(cid:25),(cid:23)(cid:25) • ĐHR theo biến

%) %(cid:10) cũng là hàm số hai

(cid:10) ) = (cid:14) (cid:10), (cid:16) của biến và được ký hiệu

(cid:14)(cid:22) hoặc )(cid:22)

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

15

%(cid:14) %(cid:10) %) %(cid:10)

&

=

(cid:14) (cid:10)(cid:18), (cid:16) &

%(cid:14) %(cid:16)

( ((cid:16)

(cid:14) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) + ℎ − (cid:14) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) ℎ

(cid:22)(cid:25),(cid:23)(cid:25)

• Tương tự ta có định nghĩa

= lim’→(cid:18) của

(cid:23)(cid:25) • Đạo hàm riêng theo biến

tại điểm

) = (cid:14) (cid:10), (cid:16) (cid:16) được ký hiệu theo nhiều cách

& , (cid:14)(cid:23) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) , hoặc & , )(cid:23) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18)

(cid:22)(cid:25),(cid:23)(cid:25)

(cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) %(cid:14) %(cid:16)

(cid:22)(cid:25),(cid:23)(cid:25) • ĐHR theo biến

%) %(cid:16) cũng là hàm số hai

(cid:16) ) = (cid:14) (cid:10), (cid:16) của biến và được ký hiệu

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

16

(cid:14)(cid:23) hoặc )(cid:23)

%(cid:14) %(cid:16) %) %(cid:16)

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

17

Véc-tơ gradient – Tính ĐHR

là hằng số. là hằng số.

(cid:16) (cid:10) (cid:10) (cid:16)

• Để tính ĐHR theo , ta coi , ta coi • Để tính ĐHR theo • Nếu các ĐHR đều tồn tại, ta đn véc-tơ gradient là

/(cid:14) = (cid:14)(cid:22), (cid:14)(cid:23)

Ví dụ 1.

và tại điểm biết

4, −5 /(cid:14) a) Tính 01 0(cid:22) , 01 0(cid:23)

(cid:14) (cid:10), (cid:16) = (cid:10)(cid:5) + 3(cid:10)(cid:16) + (cid:16) − 1 và trong các trường hợp sau

/(cid:14) b) Tính 01 0(cid:22) , 01 0(cid:23)

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

24/08/2015

18

(cid:14) (cid:10), (cid:16) = (cid:16) sin (cid:10)(cid:16) , (cid:14) (cid:10), (cid:16) =

(cid:16) 2(cid:16) + cos (cid:10)

ĐHR hàm nhiều biến hơn

• Định nghĩa ĐHR cho hàm nhiều biến hơn hoàn toàn

tương tự.

là đạo • Véc-tơ gradient là véc-tơ mà thành phần thứ

9 hàm riêng theo biến thứ

9

/(cid:14) = (cid:14)(cid:22):, (cid:14)(cid:22);, … , (cid:14)(cid:22)<

• Để tính ĐHR theo một biến, ta coi tất cả các biến còn

lại là hằng số.

Ví dụ 2. , Tính , và biết

(cid:14)(cid:22) (cid:14)(cid:23) (cid:14)= /(cid:14)

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

19

(cid:14) (cid:10), (cid:16), ) = (cid:10) sin (cid:16) + 3)

ĐHR cấp cao

và của hàm hai biến cũng là • Các ĐHR

(cid:14)(cid:23) (cid:14) (cid:10), (cid:16) (cid:14)(cid:22) những hàm hai biến.

được gọi là các ĐHR cấp hai của • Các ĐHR của

(cid:14)(cid:23) (cid:14)(cid:22) và . Chúng được ký hiệu lần lượt là

(cid:14)

(cid:14)(cid:22)(cid:22) = = (cid:14)(cid:22)(cid:23) = =

%(cid:14) %(cid:10)

(cid:14)(cid:23)(cid:22) = , =

% %(cid:10) % %(cid:10) %(cid:14) %(cid:10) %(cid:14) %(cid:16) %(cid:5)(cid:14) %(cid:10)(cid:5) , %(cid:5)(cid:14) %(cid:10)%(cid:16) % %(cid:16) % %(cid:16) %(cid:14) %(cid:16) %(cid:5)(cid:14) %(cid:16)%(cid:10) %(cid:5)(cid:14) %(cid:16)(cid:5)

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

20

(cid:14)(cid:23)(cid:23) = = • Các ĐHR cấp cao hơn thì tương tự.

Ví dụ 3. Tính tất cả các ĐHR cấp hai của a) b)

(cid:14) (cid:10), (cid:16) = (cid:10) cos (cid:16) + (cid:16)> (cid:22) (cid:14) (cid:10), (cid:16) = (cid:10) (cid:23)

, ,

(cid:14) (cid:10), (cid:16) (cid:14)(cid:23) (cid:14)(cid:22)(cid:23) , tồn tại (cid:14)(cid:23)(cid:22) và tất cả chúng

(cid:14)(cid:22) ?, @ Định lý 1. Định lý Clairaut. Nếu và các ĐHR của nó trên một miền mở chứa điểm đều liên tục tại thì

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

21

?, @ (cid:14)(cid:22)(cid:23) ?, @ = (cid:14)(cid:23)(cid:22) ?, @

• Định lý trên nói rằng, nếu tất cả các ĐHR đều liên tục

thì thứ tự lấy đạo hàm không quan trọng.

• Với hàm nhiều biến hơn thì các định nghĩa và ký hiệu

cũng tương tự, ví dụ

= (cid:14)=(cid:23)(cid:22)(cid:22)

%B(cid:14) %(cid:10)(cid:5)%(cid:16)%)

Ví dụ 4. Tính biết

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

22

%A(cid:14) %(cid:10)%(cid:16)(cid:5) = (cid:14)(cid:23)(cid:23)(cid:22) (cid:14)(cid:23)(cid:22)(cid:23)= (cid:14) (cid:10), (cid:16), ) = 1 − 2(cid:10)(cid:16)(cid:5)) + (cid:10)(cid:5)(cid:16)

Tính khả vi - differentiability

khả vi tại khi nó có đạo • Hàm một biến

(cid:10)(cid:18) (cid:16) = (cid:14) (cid:10) hàm tại đó, nghĩa là giới hạn sau tồn tại

(cid:14)C (cid:10)(cid:18) = lim’→(cid:18) = lim’→(cid:18) (cid:14) (cid:10)(cid:18) + ℎ − (cid:14) (cid:10)(cid:18) ℎ Δ(cid:16) Δ(cid:10) • Nếu đặt

(cid:26) =

− (cid:14)C (cid:10)(cid:18) và thì

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

23

Δ(cid:16) Δ(cid:10) Δ(cid:16) = (cid:14)C (cid:10)(cid:18) Δ(cid:10) + (cid:26)Δ(cid:10) . limE(cid:22)→(cid:18) (cid:26) = 0

Định nghĩa 5. Khả vi - differentiable Cho hàm số và đặt

) = (cid:14) (cid:10), (cid:16)

Δ) = (cid:14) (cid:10)(cid:18) + Δ(cid:10), (cid:16)(cid:18) + Δ(cid:16) − (cid:14) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18)

Hàm số nói trên được gọi là khả vi tại

và tồn tại, đồng thời nếu thỏa mãn

(cid:14)(cid:23) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) Δ) (cid:14)(cid:22) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) một phương trình có dạng

Δ) = (cid:14)(cid:22) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) Δ(cid:10) + (cid:14)(cid:23) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) Δ(cid:16) + (cid:26)(cid:11)Δ(cid:10) + (cid:26)(cid:5)Δ(cid:16) đều tiến về Trong đó mỗi khi cả và .

(cid:26)(cid:11) (cid:26)(cid:5) 0

Δ(cid:10), Δ(cid:16) → 0 khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc miền

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

24

Ta nói (cid:14) xác định.

, của đều liên tục trên một

(cid:14) (cid:10), (cid:16) (cid:14)(cid:23) khả vi tại mọi điểm thuộc .

Định lý 2. Nếu các ĐHR (cid:14)(cid:22) thì miền mở (cid:14) F F

Định lý 3. Nếu khả vi tại thì nó liên tục tại

(cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) (cid:14) (cid:10), (cid:16) .

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

25

(cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18)

3. XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ VI PHÂN

, đặt và thì • Nếu

(cid:14) (cid:10), (cid:16) Δ(cid:10) = (cid:10) − (cid:10)(cid:18) Δ(cid:16) = (cid:16) − (cid:16)(cid:18)

khi

(cid:14) (cid:10), (cid:16) − (cid:14) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) = (cid:14)(cid:22) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) Δ(cid:10) + (cid:14)(cid:23) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) Δ(cid:16) + (cid:26)(cid:11)Δ(cid:10) + (cid:26)(cid:5)Δ(cid:16) với Δ(cid:10), Δ(cid:16) → 0 (cid:26)(cid:11), (cid:26)(cid:5) → 0

thì tuyến tính hóa khả vi tại

(cid:14) (cid:10), (cid:16) Định nghĩa 6. Xấp xỉ tuyến tính – linear approximation Nếu (linearization) của (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) tại đó là hàm

(cid:14)

(cid:14) (cid:10), (cid:16) ≈ (cid:17) (cid:10), (cid:16) (cid:17) (cid:10), (cid:16) = (cid:14) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) + (cid:14)(cid:22) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) (cid:10) − (cid:10)(cid:18) + (cid:14)(cid:23) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) (cid:16) − (cid:16)(cid:18) được gọi là xấp xỉ tuyến tính Và xấp xỉ . (linear approximation) của tại

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

26

(cid:14) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18)

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

27

có các ĐHR cấp một và cấp hai liên tục trên • Nếu

(cid:14) một hình chữ nhật mở có tâm tại ,

F

là một chận trên của , trên • và gọi

(cid:14)(cid:22)(cid:23) (cid:14)(cid:23)(cid:23) (cid:14)(cid:22)(cid:22) H thì sai số (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) , thỏa

(cid:5)

F I (cid:10), (cid:16) = (cid:14) (cid:10), (cid:16) − (cid:17) (cid:10), (cid:16)

(cid:11) (cid:5)

H (cid:10) − (cid:10)(cid:18) + (cid:16) − (cid:16)(cid:18) 1 2 I (cid:10), (cid:16) ≤

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

28

(cid:16)(cid:5) + 3 Ví dụ 5. Xấp xỉ tuyến tính (cid:14) (cid:10), (cid:16) = (cid:10)(cid:5) − (cid:10)(cid:16) + tại 3,2 . Dùng nó tính xấp xỉ giá trị (cid:14) 3.1,2.1 và đánh giá sai số của xấp xỉ này.

Vi phân – differential

• Trong xấp xỉ nói trên

, thì vế phải chính là vi

.

Nếu ta thay Δ(cid:10) = ((cid:10) phân toàn phần của (cid:14) Δ(cid:14) ≈ (cid:14)(cid:22) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) Δ(cid:10) + (cid:14)(cid:23) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) Δ(cid:16) Δ(cid:16) = ((cid:16) tại (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18)

được định tại

(cid:14) (cid:10), (cid:16) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) Định nghĩa 7. Vi phân toàn phần – total differential Vi phân toàn phần của nghĩa là

((cid:14) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) = (cid:14)(cid:22) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) ((cid:10) + (cid:14)(cid:23) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18) ((cid:16)

Hay viết gọn

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

29

((cid:14) = (cid:14)(cid:22)((cid:10) + (cid:14)(cid:23)((cid:16)

tại là • Tương tự cho hàm nhiều biến hơn. • XXTT của

(cid:14) (cid:10), (cid:16), ) L(cid:18) (cid:10)(cid:18), (cid:16)(cid:18), )(cid:18)

(cid:14) (cid:10), (cid:16), ) ≈ (cid:17) (cid:10), (cid:16), ) = (cid:14) L(cid:18) + (cid:14)(cid:22) L(cid:18) (cid:10) − (cid:10)(cid:18) + (cid:14)(cid:23) L(cid:18) (cid:16) − (cid:16)(cid:18) + (cid:14)= L(cid:18) ) − )(cid:18) • Sai số

thỏa

(cid:5)

I = (cid:14) (cid:10), (cid:16), ) − (cid:17) (cid:10), (cid:16), )

H (cid:10) − (cid:10)(cid:18) + (cid:16) − (cid:16)(cid:18) + ) − )(cid:18) 1 2 I ≤

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

30

• Vi phân toàn phần của hàm ba biến là ((cid:14) = (cid:14)(cid:22)((cid:10) + (cid:14)(cid:23)((cid:16) + (cid:14)=()

Ví dụ 6.

(cid:14) (cid:10), (cid:16) = (cid:10)A + >(cid:5)(cid:23)

((cid:14)

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

31

a) Cho hàm số 2,0 . - Tính - Xấp xỉ tuyến tính cho (cid:14) tại 2,0 . Dùng nó tính xấp xỉ giá trị (cid:14) 1.94, −0.09 và đánh giá sai số của xấp xỉ này. b) Cho hàm số (cid:14) (cid:10), (cid:16), ) = (cid:10)(cid:5) − (cid:10)(cid:16) + 3 sin ) - Tính ((cid:14) 2,1,0 . - Xấp xỉ tuyến tính cho (cid:14) tại 2,1,0 . Dùng nó tính xấp xỉ giá trị (cid:14) 2.01,0.98,0.01 và đánh giá sai số của xấp xỉ này.

4. ĐẠO HÀM HÀM HỢP, HÀM ẨN

và thì • Trường hợp 1 biến, nếu

(cid:10) = " O

=

(cid:15) = (cid:14) (cid:10) ((cid:10) (O ((cid:15) (O

khả vi và ,

(cid:15) = (cid:14) (cid:10), (cid:16) (cid:10) = (cid:10) O (cid:16) = (cid:16) O cũng là khả

(cid:15) = (cid:14) (cid:10) O , (cid:16) O ((cid:15) ((cid:10) Định lý 4. Đạo hàm hàm hợp 1. Nếu những hàm khả vi thì hàm hợp vi theo và

O = (cid:14)(cid:22) (cid:10) O , (cid:16) O (cid:10)C O + (cid:14)(cid:23) (cid:10) O , (cid:16) O (cid:16)C O

PR =

01 0(cid:22)

P(cid:22) PR +

P(cid:23) PR

01 0(cid:23) Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

32

24/08/2015

. ((cid:15) (O Hay PQ

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

33

• Trường hợp nhiều biến hơn, ta có công thức tương

tự.

Định lý 5. Đạo hàm hàm hợp 2. Nếu , ,

(cid:10) = (cid:10) O ) =

(cid:16) = (cid:16) O (cid:15) = khả vi và (cid:15) = (cid:14) (cid:10), (cid:16), ) cũng là những hàm khả vi thì hàm hợp khả vi theo và

) O (cid:14) (cid:10) O , (cid:16) O , ) O O

= + +

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

34

((cid:15) (O %(cid:14) %(cid:10) ((cid:10) (O %(cid:14) %(cid:16) ((cid:16) (O %(cid:14) %) () (O

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

35

Ví dụ 7. a) Dùng công thức đạo hàm hàm hợp tính đạo hàm của

(cid:15) = (cid:10)(cid:16) và . Tính giá trị của

O (cid:16) = sin O

(cid:10) = cos O 2. O = (cid:3)/

(cid:10) = cos O , (cid:16) = sin O , ) = O

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

36

0 . , biết theo biến đạo hàm này tại b) Tính ((cid:15)/(O biết (cid:15) = (cid:10)(cid:16) + ), Tính PQ PR

Định lý 6. Đạo hàm hàm hợp 3. Nếu khả vi và , ,

(cid:15) = (cid:14) (cid:10), (cid:16), ) (cid:10) = " (cid:4), T

(cid:15) = (cid:16) = ℎ (cid:4), T cũng là những hàm khả vi thì hàm hợp khả vi và

) = U (cid:4), T (cid:14) " (cid:4), T , ℎ (cid:4), T , U (cid:4), T

= + +

= + +

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

37

%(cid:15) %(cid:4) %(cid:15) %T %(cid:15) %(cid:10) %(cid:15) %(cid:10) %(cid:10) %(cid:4) %(cid:10) %T %(cid:15) %(cid:16) %(cid:15) %(cid:16) %(cid:16) %(cid:4) %(cid:16) %T %(cid:15) %) %(cid:15) %) %) %(cid:4) %) %T

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

38

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

39

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

40

và , • Trường hợp

(cid:15) = (cid:14) (cid:10), (cid:16) (cid:10) = " (cid:4), T (cid:16) = ℎ (cid:4), T ta cũng có công thức tương tự

= +

= +

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

41

%(cid:15) %(cid:4) %(cid:15) %T %(cid:15) %(cid:10) %(cid:15) %(cid:10) %(cid:10) %(cid:4) %(cid:10) %T %(cid:15) %(cid:16) %(cid:15) %(cid:16) %(cid:16) %(cid:4) %(cid:16) %T

là một

và mỗi thì với mỗi • Tổng quát, hàm theo

+ + ⋯ + =

(cid:15) = (cid:14) (cid:10)(cid:11), (cid:10)(cid:5), … , (cid:10)(cid:13) biến U %(cid:15) %(cid:10)(cid:11) O(cid:11), O(cid:5), … , OW %(cid:10)(cid:5) %(cid:15) %OY %(cid:10)(cid:5) %(cid:10)(cid:11) %OY (cid:10)V X = 1, U %(cid:10)(cid:13) %OY %(cid:15) %(cid:10)(cid:13)

%(cid:15) %OY Ví dụ 8. a) Tính biết

và %(cid:15)/%(cid:4) %(cid:15)/%T (cid:15) = (cid:10) + 2(cid:16) + )(cid:5) (cid:10) = ) = 2(cid:4)

(cid:16) = (cid:4)(cid:5) + ln T , biết b) Tính

%(cid:15)/%T

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

42

(cid:4) , T và %(cid:15)/%(cid:4) (cid:15) = (cid:10)(cid:5) + (cid:16)(cid:5), (cid:10) = (cid:4) − T, (cid:16) = (cid:4) + T

Đạo hàm hàm ẩn

• Các phương trình

25 = 0

(cid:10)A + (cid:16)A − 9(cid:10)(cid:16) = 0 và (cid:10)(cid:5) + (cid:16)(cid:5) − thể hiện mối liên hệ ẩn của (cid:16) theo (cid:10).

• Nếu từ ] (cid:10), (cid:16) = 0 ta có thể suy ra (cid:16) = (cid:16) (cid:10) ((cid:16) là hàm số theo (cid:10)) thì khi đó ta nói (cid:16) là một hàm ẩn (implicit function).

• Một số trường hợp ta có thể suy ra công thức tường

minh cho hàm ẩn (cid:16) = (cid:16) (cid:10) .

• Tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta không có được

24/08/2015

Đạo hàm và ứng dụng

43

công thức tường minh.

24/08/2015

Đạo hàm và ứng dụng

44

khả vi,

xác định được hàm ẩn khả vi

] (cid:10), (cid:16) = 0

.

• Giả sử rằng – Hàm số ] (cid:10), (cid:16) – Phương trình

(cid:16) = ℎ (cid:10) • Khi đó hàm hợp

khả vi và do

(cid:15) (cid:10) = ] (cid:10), ℎ (cid:10) nên

(cid:15) (cid:10) = 0

0 = + = ](cid:22) + ](cid:23)

%] %(cid:10) ((cid:10) ((cid:10) %] %(cid:16) ((cid:16) ((cid:10) ((cid:16) ((cid:10)

= thì • Nếu

((cid:15) ((cid:10) ](cid:23) ≠ 0

= −

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

45

((cid:16) ((cid:10) ](cid:22) ](cid:23)

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

46

xác

khả vi và phương trình là hàm ẩn khả vi theo

Định lý 7. Đạo hàm ẩn. Nếu ] (cid:10), (cid:16) định được (cid:16) ] (cid:10), (cid:16) = 0 thì tại những điểm (cid:10)

](cid:23) ≠ 0

= −

](cid:22) ](cid:23) ((cid:16) ((cid:10)

.

(cid:16)C biết (cid:16)C biết (cid:16)(cid:5) = (cid:10) (cid:16)(cid:5) = (cid:10)(cid:5) + sin (cid:10)(cid:16) Ví dụ 9. a) Tính b) Tính c) Tính độ dốc đường tròn 25 tại 3, −4 .

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

47

(cid:10)(cid:5) + (cid:16)(cid:5) =

24/08/2015

Đạo hàm và ứng dụng

48

khả vi,

] (cid:10), (cid:16), )

xác định được

là

] (cid:10), (cid:16), ) = 0

) = (cid:14) (cid:10), (cid:16)

– Hàm số – Phương trình hàm ẩn khả vi

• Nếu

khả vi và • Thì hàm hợp

(cid:15) = ] (cid:10), (cid:16), (cid:14) (cid:10), (cid:16)

0 = = ](cid:22) + ](cid:23) + ]= = ](cid:22) + ]=

0 = = ](cid:22) + ](cid:23) + ]= = ](cid:23) + ]=

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

49

%(cid:15) %(cid:10) %(cid:15) %(cid:16) %(cid:10) %(cid:10) %(cid:10) %(cid:16) %(cid:16) %(cid:10) %(cid:16) %(cid:16) %) %(cid:10) %) %(cid:16) %) %(cid:10) %) %(cid:16)

thì • Suy ra, nếu

= − = −

]= ≠ 0 ](cid:22) ]= %) %(cid:10) %) %(cid:16) ](cid:23) ]=

Ví dụ 10. Tính

%)/%(cid:16) %)/%(cid:10) 0,0,0

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

50

và tại điểm biết (cid:10)A + )(cid:5) + (cid:16)> (cid:22)= + ) cos (cid:16) = 0

5. CỰC TRỊ ĐỊA PHƯƠNG

Định nghĩa 8. Cực trị địa phương – Local extremum Cho là hàm số xác định trên chứa điểm .

(cid:14) (cid:10), (cid:16) F

?, @ được gọi là một điểm cực đại địa phương

?, @ nếu tồn tại đĩa tròn mở có tâm

(cid:14) _ Điểm (local maximum) của tại sao cho

?, @

(cid:14) ?, @ ≥ (cid:14) (cid:10), (cid:16) , ∀ (cid:10), (cid:16) ∈ _ ∩ F

được gọi là một điểm cực tiểu địa phương

?, @ nếu tồn tại đĩa tròn mở có tâm

(cid:14) _ Điểm (local minimum) của tại sao cho

?, @

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

51

(cid:14) ?, @ ≤ (cid:14) (cid:10), (cid:16) , ∀ (cid:10), (cid:16) ∈ _ ∩ F

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

52

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

53

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

54

• Nếu

(cid:14) là một điểm cực trị (địa

?, @ đạt cực đại hoặc cực tiểu địa phương tại thì ta nói . ?, @ phương) của

(cid:14)

đạt cực trị tại điểm trong

(cid:14) (cid:10), (cid:16)

?, @ (cid:14) Định lý 8. Kiểm tra cực trị bằng đạo hàm riêng cấp 1. của miền Nếu xác định và nếu các đạo hàm riêng của tại đó đều tồn tại thì khi đó

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

55

(cid:14)(cid:22) ?, @ = (cid:14)(cid:23) ?, @ = 0

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

56

và đều • Điểm trong của miền xác định, mà tại đó

(cid:14)(cid:22) (cid:14)(cid:23) hoặc ít nhất một trong chúng không tồn tại,

0 bằng thì ta nói điểm đó là điểm tới hạn (critical point).

• Định lý 8 nói rằng một điểm là cực trị (địa phương) thì

bắt buộc phải là điểm tới hạn hoặc điểm biên.

của hàm số khả vi • Tuy nhiên không phải mọi điểm tới hạn đều là cực trị. • Điểm tới hạn

?, @ (cid:14)

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

57

được nói là điểm yên ngựa (saddle point) nếu nó không phải là cực trị.

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

58

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

59

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

60

là hàm số có đạo hàm riêng cấp 1 và 2 liên

(cid:14) (cid:10), (cid:16) Định lý 9. Kiểm tra cực trị bằng đạo hàm riêng cấp 2. Cho tục trên đĩa tròn tâm

?, @ . Giả sử (cid:14)(cid:22) ?, @ = là điểm tới hạn), khi đó đặt (tức là

(cid:5)

(cid:14)(cid:23) ?, @ = 0 ?, @

Δ = Δ ?, @ = (cid:14)(cid:22)(cid:22) ?, @ (cid:14)(cid:23)(cid:23) ?, @ − (cid:14)(cid:22)(cid:23) ?, @ ta sẽ có các kết luận sau

a) Nếu thì là cực tiểu. và

Δ > 0 (cid:14)(cid:22)(cid:22) ?, @ > 0 ?, @

b) Nếu thì là cực đại. và

Δ > 0 (cid:14)(cid:22)(cid:22) ?, @ < 0 ?, @

là điểm yên ngựa. thì c) Nếu

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

61

Δ < 0 ?, @

3(cid:10)(cid:5) + 6(cid:10)(cid:16).

. (cid:14) (cid:10), (cid:16) = (cid:10)(cid:16) − (cid:10)(cid:5) − (cid:16)(cid:5) − 2(cid:10) − 2(cid:16) + 4 2(cid:16)A − (cid:14) (cid:10), (cid:16) =

Ví dụ 11. Tìm cực trị địa phương của các hàm số sau. 1. 3(cid:16)(cid:5) − 2. 3. (cid:14) (cid:10), (cid:16) = 1 + (cid:10)(cid:16) (cid:10) + (cid:16) .

(cid:11) (cid:22)

(cid:11) (cid:23)

4. (cid:14) (cid:10), (cid:16) = (cid:10)(cid:16) + + .

24/08/2015

Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

62

5. (cid:14) (cid:10), (cid:16) = (cid:10)B + (cid:16)B − 4(cid:10)(cid:16) + 1.