Bài giảng Toán: Chương 1. Ma Trận - Định Thức

Chia sẻ: Pham Xuan Dac | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:91

Thêm vào BST

Báo xấu

133
lượt xem 24
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ma trận không là ma trận mọi phần tử đều bằng 0. Tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên có tư liệu ôn thi toán tốt đạt kết quả cao.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán: Chương 1. Ma Trận - Định Thức

Chương 1 Ma Trận - Định Thức  Ma trận  Định thức của ma trận vuông  Ma trận nghịch đảo  Hạng của ma trận
ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN Một bảng số chữ nhật có m dòng, n cột gọi là một ma trận cỡ m × n � 11 K a1 j K a1n � a Dòng thứ nhất � � � � A = ( aij ) = � i1 K aij K ain � a Dòng thứ i � � mn � � �am1 K amj K amn � � � Cột thứ j aij là phần tử của ma trận A nằm ở giao điểm của dòng i cột j Thay cho dòng trên ta có thể viết A∈ Mm×n
MA TRẬN BẰNG NHAU A, B M m n A= B aij = bij , ∀i, j � 2 �� b � 1 1 Ví dụ = � −4 �� d � 3 c � ��
MỘT SỐ MA TRẬN ĐẶC BIỆT Ma trận không: Là ma trận mà tất cả các phần tử đều bằng 0 Ma trận vuông: Khi m = n, bảng số thành hình vuông, ta có ma trận vuông n dòng, n cột, ta gọi là ma trận cấp n a a12 a1n � Phần tử chéo �11 K � � a21 a22 a2 n � K � � K � Đường chéo chính K K K � � a an 2 ann � K �n1
MỘT SỐ MA TRẬN ĐẶC BIỆT Ma trận tam giác trên (dưới): Là ma trận vuông mà các phần tử nằm phía dưới (trên) đường chéo chính bằng 0. a a12 K a1n � �11 � � Ma trận tam giác trên 0 a22 K a2 n � � A= � � K � � 0 0 K ann � � Ma trận chéo: Là ma trận vuông mà mọi phần tử không nằm trên đường chéo chính đều bằng 0
MỘT SỐ MA TRẬN ĐẶC BIỆT Ma trận đơn vị: Là ma trận chéo mà mọi phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1 � 0 K 0� 1 � 1 K 0� 0 � �I =n � K K K� K � � � 0 K 1� 0 Ma trận hàng: m =1 Ma trận cột: n =1
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN + PHÉP CỘNG HAI MA TRẬN: Cho A = [aij]m×n, B = [bij]m×n A+B = [aij+bij]m×n + PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT MA TRẬN: Cho A = [aij]m×n, k∈ R. kA =[kaij]m×n
CÁC TÍNH CHẤT Với mọi ma trận A, B, C ∈ Mmxn, k, h ∈ R, ta có i. A + B = B + A (tính giao hoán) ii. (A+B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp) iii. A + 0 = A (0 được hiểu là 0mxn) iv. A + (−A) = 0 v. h(kA) = (hk)A vi. h(A + B) = hA + hB vii. (h + k)A = hA + kA viii. 1.A = A
PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN Cho hai ma trận A =[aij]mxp, B =[bij]pxn. Ta định nghĩa tích AB là ma trận C=[cij]mxn, mà phần tử cij được xác định bởi công p thức cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + K + aipbpj = a ik b kj k=1 b1 j b2 j ai1 ai 2 K aip M bpj
PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN Ví dụ: 3 �� 3 �� b) ( 1 4 ) � � a) �� 4 ) (1 2 �� 2 �� 2� 1 � 2 3� 1 � 2� c) � �3 � � 4 5 6� � � 4� 1 �� CÁC TÍNH CHẤT (i) Tính kết hợp: A(BC) = (AB)C (ii) Tính phân bố: (A+B)C = AB + BC (iii) h(AB) = (hA)B = A(hB)
PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN Chú ý: i. An = A.A… A (n lần) A là ma trận vuông ii. Để có thể nhân ma trận A với ma trận B, số cột của A phải bằng số dòng của B Với hai ma trận A, B cho trước, không nhất thiết tích AB tồn tại và khi tích AB tồn tại, không chắc tích BA tồn tại iii. Tích của hai ma trận nói chung không giao hoán, nghĩa là tổng quát AB ≠ BA
MA TRẬN CHUYỂN VỊ Xét ma trận A = [aij]mxn. Đổi dòng thành cột, cột thành dòng ta được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của A, ký hiệu AT. Ta có AT = [aji]nxm − �4 1� − �4 3 2� � � A =� T A =�3 0� � 1 0 7� � � 7� 2 � �T (i ) ( A T ) =A Tính chất ( ii ) ( A+B ) =A T +BT T ( iii ) ( AB) T T T =B A
MA TRẬN BẬC THANG THEO DÒNG Ma trận bậc thang theo dòng thỏa 2 điều kện: • Các dòng không (dòng chứa toàn số hạng 0), nếu có, phải nằm phía dưới dòng khác 0 (có ít nhất một số hạng khác 0) • Với hai dòng khác không bất kỳ, số hạng khác 0 đầu tiên của dòng dưới luôn luôn nằm bên phải số hạng khác 0 của dòng trên 1 0 2 0 9 6� � � 0 2� 1 � � 7 −1� 0 2 4 4 � 0 3� � A =� 0 �B=� 0 3� 0 0 0 1 � 0 0� � � 0 � � 0 0 0 0 0 8� � � 3 5� 2 � 0 0� � 2 7� 0 0 0 0 0 � � D = � 0 0� 0 C =� 3 4� � � 0 � � � 1 3� �0 5� 0 0 � � � �
CÁC PHÉP BĐSC TRÊN DÒNG (i) Đổi chỗ hai dòng i và j: di = dj (ii) Nhân dòng i với một số thực α ≠ 0: di = αdi (iii) Thay dòng i bởi dòng i cộng với α lần dòng j: di = di + αdj Ví dụ: Dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận sau về ma trận đơn vị � 2 3 4� 1 � 1 0 −1 � 2 �1 −1 1� b) B = � � � � � 0 3 0� 3 a) A = � 1 2 1� − � � � 2 3 1� � −1 −6 7 � − 4 � �
ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG a a1 j a1n � �11 L L � M� M L M L � � A ij = �i1 ain � a ai 2 aij K � � L M M L M� � � ann � a anj M L �n1 � Ma trận bù : Ký hiệu : Aij , là ma trận nhận được từ A sau khi bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j.
ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG Cho A ∈ Mn. Định thức của A, ký hiệu detA hay |A|, là số thực được định nghĩa quy nạp theo n như sau: Với n =1, A = (a11), detA = a11 Với n ≥ 2, A = (aij)nxn, ta định nghĩa det A = ( − 1) a11 det A11 + ( − 1) a12 det A12 + ... + ( − 1) 1+ 1 1+ 2 1+ n a1n det A1n n ( − 1) 1+ j = a1 j det A1 j j =1
ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG Nhận xét � 11 a12 � a A =� � � 21 a22 � a det A = (− 1)1+ 1 a11 det (a22) + (− 1)1+ 2 a12 det (a21) = a11a22 − a21a12 � 1 a2 a3 � a b2 b3 b1 b3 b1 b2 � � B = � 1 b2 b3 � B = a1 − a2 + a3 b , c2 c3 c1 c3 c1 c2 � c c� c �1 2 3 � = a1 ( b2c3 − b3c2 ) − a2 ( b1c3 − b3c1 ) + a3 ( b1c2 − b2c1 ) = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a1b3c2 − a2b1c3 − a3b2c1
ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG Tính định thức cấp 3 bằng quy tắc Sarrus Xây dựng ma trận A‘3x5 từ A3x3 bằng cách bổ sung thêm vào A cột 1 và cột 2 a a2 a3 � �1 � 1 a2 a3 a1 a2 � a � � b3 � / 3 5 = � b b b b � = �1 A3 3 b b2 A b �1 2� 2 3 1 � c3 � � c c c c� c c2 �1 � c �1 2� 2 3 1 3 số hạng mang dấu cộng trong định thức là tích các phần tử nằm trên ba đường song song với đường chéo chính 3 số hạng mang dấu âm trong định thức là tích các phần tử nằm trên ba đường song song với đường chéo phụ
ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG Ví dụ �1 2 3 1 2 � 1 2 3 � � A / = �3 4 0 3 4 � detA = 3 4 0 � 1 − 2 5 − 1 − 2� − −1 −2 5 � � detA = 1.4.5 + 2.0. ( − 1) + 3.3. ( − 2 ) − 3.4. ( − 1) − 1.0. ( − 2 ) − 2.3.5 = − 16 Lưu ý Công thức tính định thức của ma trận vuông được trình bày ở mục định nghĩa là công thức tính định thức khai triển theo dòng thứ 1. Định thức của ma trận vuông không đổi khi ta khai triển theo 1 hàng hoặc 1 cột bất kỳ
ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG Định lý: Cho ma trận A = (aij)nxn. Khi đó n ( 1) (− 1)i0 + j ai0 j det Ai0 j det A = j =1 n ( 2) (− 1)i + j0 ai j 0 det Ai j0 det A = i =1 với mọi 1 ≤ i0, j0 ≤ n (1) gọi là công thức khai triển theo hàng i0, (2) gọi là công thức khai triển theo cột j0. Ví dụ: Tính định thức của ma trận sau −2 � 1 0 3 � � 0� −2 0 2 � � A= � 1� 3 2 0 � � 0 3 0 0� �