87
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN
Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định trong (a,b), x0(a,b). Đạo
hàm của f tại x0được định nghĩa và ký hiệu:
0
0
0
)
(
)
(
lim)('
0
xx
x
f
x
f
xf
xx
Gọi x = x – x0: Số gia của x tại x0
y = f(x0+ x) – f(x0): Số gia của y tại x0
x
y
x
0
lim'
88
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
-Đạo hàm bên phải:
- Đạo hàm bên trái:
Định lý: f’(x0) tồn tại <=> f’(x0+) = f’(x0-)
x
x
f
xf
x
)
(
lim)(' 0
0
0
x
x
f
xf
x
)
(
lim)(' 0
0
0
Đạo hàm một phía:
Định lý: Nếu f có đạo hàm tại x0thì f liên tục tại x0.
Ví dụ: Xét đạo hàm và tính liên tục của f = |x| tại x0= 0
89
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
- f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại
mọi điểm trong khoảng đó,
- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi
điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm
trái tại b
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx
Đạo hàm trên khoảng, đoạn:
Ý nghĩa của đạo hàm:
• Hệ số góc của tiếp tuyến tại x0
• Đường cong liên tục
• Sự biến động của y khi x tăng lên 1 đơn vị
90
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:
• (u + v)’ = u’ + v’
• (u.v)’ = u’v + v’u
2
'
''
v
uvvu
v
u
Đạo hàm của hàm số hợp:
Cho u = u(x) có đạo hàm tại x0, hàm y = f(u) có đạo hàm tại
u thì hàm hợp f(u) có đạo hàm tại x0và y’x= y’u.u’x
• (v 0) => (ku)’ = ku’ (k hằng số)
Ví dụ, tìm đạo hàm: y = x2+ sinx, y = x2sinx
Ví dụ, Tìm đạo hàm y = sin2x
91
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm của hàm số ngược:
Cho y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược
x = f-1(y) thì:
Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx
'
'1
1
)(
x
yf
f