Bài giảng Toán kinh tế 1: Chương 4 - ThS. Nguyễn Ngọc Lam

C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN<br /> 1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN<br /> Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định trong (a,b), x0  (a,b). Đạo<br /> hàm của f tại x0 được định nghĩa và ký hiệu:<br /> f ( x )  f ( x0 )<br /> f ' ( x0 )  lim<br /> x  x0<br /> x  x0<br /> Gọi x = x – x0: Số gia của x tại x0<br /> y = f(x0 + x) – f(x0): Số gia của y tại x0<br /> y<br /> y '  lim<br /> x  0  x<br /> 87<br /> <br /> C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN<br /> Đạo hàm một phía:<br /> - Đạo hàm bên phải:<br /> - Đạo hàm bên trái:<br /> <br />  f ( x0 )<br /> f<br />  lim<br /> x  0  x<br />  f ( x0 )<br /> <br /> f ' ( x0 )  lim<br /> x  0  x<br /> ' ( x0 )<br /> <br /> Định lý: f’(x0) tồn tại f’(x0+) = f’(x0-)<br /> Định lý: Nếu f có đạo hàm tại x0 thì f liên tục tại x0.<br /> Ví dụ: Xét đạo hàm và tính liên tục của f = |x| tại x0 = 0<br /> 88<br /> <br /> C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN<br /> Đạo hàm trên khoảng, đoạn:<br /> - f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại<br /> mọi điểm trong khoảng đó,<br /> - f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi<br /> điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm<br /> trái tại b<br /> Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx<br /> Ý nghĩa của đạo hàm:<br /> • Hệ số góc của tiếp tuyến tại x0<br /> • Đường cong liên tục<br /> • Sự biến động của y khi x tăng lên 1 đơn vị<br /> 89<br /> <br /> C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN<br /> Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:<br /> • (u + v)’ = u’ + v’<br /> • (u.v)’ = u’v + v’u<br /> '<br /> u  u ' v  v' u<br /> <br /> •   <br /> (v  0) => (ku)’ = ku’ (k hằng số)<br /> 2<br /> v<br /> v<br /> Ví dụ, tìm đạo hàm: y = x2 + sinx, y = x2sinx<br /> Đạo hàm của hàm số hợp:<br /> Cho u = u(x) có đạo hàm tại x0, hàm y = f(u) có đạo hàm tại<br /> u thì hàm hợp f(u) có đạo hàm tại x0 và y’x = y’u.u’x<br /> Ví dụ, Tìm đạo hàm y = sin2x<br /> 90<br /> <br /> C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN<br /> Đạo hàm của hàm số ngược:<br /> Cho y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược<br /> x = f-1(y) thì:<br /> 1<br /> 1 '<br /> ( f )y  '<br /> fx<br /> Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx<br /> <br /> 91<br /> <br />