Bài giảng Toán kinh tế: Mô hình tuyến tính phân tích kinh tế - Kinh doanh

Mô hình tuyến tính Phân tích Kinh tế - Kinh doanh

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

1 / 22

Nguyễn Văn Phong

Nội dung

1 Mô hình cân đối liên ngành (I/O)

2 Các mô hình cân bằng

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

1 / 22

Mô hình cân đối liên ngành (I/O)

1 Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng loại

Bài toán. Trong một nền kinh tế hiện đại, việc sản xuất một loại hàng hoá nào đó (output) đòi hỏi phải sử dụng các loại hàng hoá khác nhau để làm nguyên liệu đầu vào (input) của quá trình sản xuất và việc xác định tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản xuất trong nền kinh tế là quan trọng. Tổng cầu bao gồm:

2 Cầu cuối cùng từ phía người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng hoặc xuất khẩu, bao gồm các hộ gia đình, Nhà nước, các doanh nghiệp, . . .

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

2 / 22

sản phẩm đó cho quá trình sản xuất.

Mô hình cân đối liên ngành (I/O)

Mô hình. Giả sử một nền kinh tế có n ngành sản xuất. Để thuận tiện cho việc tính chi phí cho các yếu tố sản xuất, ta biểu diễn lượng cầu của tất cả các loại hàng hoá ở dạng giá trị (đo bằng tiền). Khi đó tổng cầu về sản phẩm hàng hoá của ngành i được xác định bởi

(1) Xi = xi1 + xi2 + · · · + xin + bi , i = 1, 2, . . . , n

trong đó

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

3 / 22

xij : là giá trị sản phẩm của ngành i mà ngành j cần sử dụng cho quá trình sản xuất của mình (giá trị cầu trung gian) bi : là gía trị sản phẩm mà ngành i dành cho nhu cầu tiêu dùng và xuất khẩu (giá trị cuối cùng).

Mô hình cân đối liên ngành (I/O)

Tuy nhiên, trong thực tế, thường không có thông tin về giá trị cầu trung gian xik nhưng người ta lại chủ động trong việc xác định tỷ phần chi phí đầu vào của sản xuất. Ký hiệu aik là tỷ phần chi phí đầu vào của ngành k đối với ngành i, được xác định bởi công thức

(2) , i, j = 1, 2, . . . , n. aij = xij Xj

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

4 / 22

Hệ số aik còn được gọi là hệ số chi phí đầu vào, và A = (aik )n×n được gọi là ma trận chi phí đầu vào (ma trận hệ số kỹ thuật).

Mô hình cân đối liên ngành (I/O)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình sau:    X1 = a11X1 + a12X2 + · · · + a1nXn + b1 X2 = a21X1 + a22X2 + · · · + a2nXn + b2 ... Xn = an1X1 + an2X2 + · · · + annXn + bn

Hay dưới dạng ma trận

(3)

(I − A) X = b

Do đó, từ (3) ma trận tổng cầu được xác định bởi

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

5 / 22

(4) X = (I − A)−1 b

Mô hình cân đối liên ngành (I/O)

Trong đó,

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

6 / 22

Hệ số aij có ý nghĩa : Cho biết để sản xuất ra một đơn vị giá trị ngành j thì ngành i phải cung cấp trực tiếp cho ngành này một lượng sản phẩm có giá trị là aij. Ma trận C = (cij )n×n = (I − A)−1 được gọi là ma trận hệ số chi phí toàn bộ; Hệ số cij cho biết để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng của ngành j, thì ngành i cần phải sản xuất một lượng sản phẩm có giá trị là cij.

Ví dụ 1

Giả sử trong một nền kinh tế có hai ngành sản xuất: ngành 1 và ngành 2 có ma trận hệ số kỹ thuật là:

(cid:19) A = (cid:18) 0, 2 0, 3 0, 4 0, 1

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

7 / 22

Cho biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của ngành 1 và ngành 2 thứ tự là 10, 20 tỷ đồng. a) Giải thích ý nghĩa của hệ số 0,2. b) Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với mỗi ngành.

Ví dụ 2

Trong mô hình I/O biết ma trận kỹ thuật số như sau

 

A =   0, 2 m 0, 3 0, 3 0, 1 0, 2 0, 2 0, 3 0, 2

a) Nêu ý nghĩa phần tử nằm ở hàng 2 cột 1. b) Tìm yêu cầu của ngành kinh tế mở khi biết sản lượng

của 3 ngành là 300, 250, 220.

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

8 / 22

c) Tìm m biết rằng khi sản lượng của 3 ngành là 400, 400, 300 thì ngành kinh tế thứ nhất cung cấp cho ngành kinh tế mở là 130.

Ví dụ 3

Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật và ma trận cầu cuối. Hãy xác định ma trận tổng cầu trong các trường hợp sau: (cid:19) (cid:19) a) A = ; b = (cid:18) 0, 2 0, 4 0, 1 0, 3 (cid:18) 200 300

  

b) A =    ; b =   0, 4 0, 2 0, 1 0, 1 0, 3 0, 4 0, 2 0, 2 0, 3 40 110 40

  

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

9 / 22

c) A =    ; b =   0, 3 0, 5 0, 3 0, 2 0, 2 0, 3 0, 4 0, 2 0, 3 20000 10000 40000

Ví dụ 4

Cho dòng 3 trong ma trận hệ số kỹ thuật của mô hình cân đối liên ngành gồm bốn ngành sản xuất là

(cid:0) 0, 2 0, 1 0, 2 0, 3 (cid:1)

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

10 / 22

Hãy xác định số tiền mà ngành 4 phải trả cho ngành 3 để mua sản phẩm của ngành 3 làm nguyên liệu đầu vào của sản xuất, biết tổng giá trị sản phẩm của ngành 4 là 200 nghìn tỷ đồng.

Ví dụ 5

Xét mô hình I/O gồm 3 ngành với ma trận hệ số kỹ thuật là  

A =   0, 1 0, 3 0, 2 0, 4 0, 2 0, 1 0, 2 0, 3 0, 3

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

11 / 22

a) Nếu ý nghĩa kinh tế của phần tử nằm ở hàng 2 cột 1. b) Cho ma trận cầu cuối . Tìm sản lượng mỗi ngành. c) Tìm sản lượng của mỗi ngành. Biết rằng do cải tiến kỹ thuật ở ngành 1 tiết kiệm được 25% nguyên liệu lấy từ ngành 2 và ma trận cầu cuối là b = (cid:0) 124 66 100 (cid:1)T

Ví dụ 6

Cho ma trận hệ số chi phí toàn bộ và ma trận tổng cầu như sau:   

C =   ; X =    150 200 150 5/16 5/16 25/16 35/88 5/8 135/88 95/176 115/176 25/16

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

12 / 22

a) Nêu ý nghĩa của hệ số c23. b) Tìm ma trận hệ số kỹ thuật. c) Tìm ma trận cầu cuối.

Ví dụ 7

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

13 / 22

Quan hệ trao đổi sản phẩm giữa 4 ngành sản xuất và cầu hàng hóa được cho ở bảng bên dưới (đơn vị tính : triệu USD). Hãy tính tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành và lập ma trận hệ số kỹ thuật (tính xấp xỉ 3 chữ số thập phân).

Các mô hình cân bằng

Cân bằng cung cầu Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại hàng hoá được cho bởi

QS = S (P) và QD = D(P).

Khi đó, Giá cân bằng P, thoả phương trình

QS = QD.

Cân bằng n hàng hóa

QSi = QDi , i = 1, 2, . . . , n,

trong đó

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

14 / 22

QSi = Si (P1, P2, ..., Pn) ; QDi = Di (P1, P2, ..., Pn) .

Các mô hình cân bằng

Cân bằng thu nhập quốc dân

Mô hình

(5) Y = E = C + I + G + EX − IM

dựa vào các quan hệ:

C = C0 + aYd , 0 < a < 1 Yd = Y − T

(6) (7) (8) (9) I = I0 − br , b > 0 T = tY + c

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

15 / 22

Từ (5)-(9) ta tìm được lượng thu nhập (Y ) và chi tiêu (C ) cân bằng.

Các mô hình cân bằng

Cân bằng thu nhập quốc dân

Trong đó

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

16 / 22

Y : Tổng thu nhập quốc dân; E : Tổng chi tiêu có kế hoạch (Tổng cầu); C : Tiêu dùng; C0 : Tiêu dùng tự định; T : Thuế; c : Thuế khác; r : Lãi suất. I : Nhu cầu đầu tư của dân cư; G : Nhu cầu tiêu dùng của chính phủ; EX : Nhu cầu cho xuất khẩu; IM : Nhu cầu nhập khẩu ;

Các mô hình cân bằng

Mô hình IS-LM Phân tích trạng thái cân bằng của nền kinh tế, chúng ta xét cả hai thị trường hàng hóa và tiền tệ. Mục tiêu là chúng ta xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất ở trạng thái cân bằng.

Trước tiên ta xét một trường hợp đơn giản của (5) (Nền kinh tế đóng)

(10) Y = C + I + G0

Kết hợp với (8), ta có mô hình IS (quan hệ giữa lãi suất và thu nhập) như sau

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

17 / 22

(11) br = C + I0 + G0 − Y

Các mô hình cân bằng

Mô hình IS-LM

Mặt khác, trong thị trường tiền tệ, ta có lượng cung tiền M = M0 và lượng cầu tiền L = αY − βr . Khi đó mô hình LM (cân bằng giữa cung - cầu tiền) như sau:

(12) βr = αY − M0

Từ (11) và (12), ta có mô hình IS-LM (Xác định mức lãi suất và thu nhập cân bằng)

(cid:26) IS : br = C + I0 + G0 − Y

nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

18 / 22

LM : βr = αY − M0