TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE 137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304
Bài giảng TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC
(Tài liệu cập nhật – 2010)
Chương 5
ĐẠI SỐ BOOLE
George Boole (1815-1864)
5.1- HÀM BOOLE
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
5.1- HÀM BOOLE
5.1. Hàm Boole
5.2. Cổng logic (Mạng luận lý)
5.3 Biểu đồ Karnaugh và đa thức tối tiểu.
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
5.1- HÀM BOOLE
Mở đầu
Xét mạch điện như hình vẽ
Tùy theo cách trạng thái cầu dao A, B, C mà ta sẽ có dòng điện đi qua MN. Như vậy ta sẽ có bảng giá trị sau
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
5.1- HÀM BOOLE
A
B
C
MN
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
Câu hỏi: Khi mạch điện gồm n cầu dao, làm sao ta có thể kiểm soát được.
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
Giải pháp là đưa ra công thức, với mỗi biến được xem như là một cầu dao
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
5.1- HÀM BOOLE
ĐẠI SỐ BOOLE Cho B ={0,1}
• Trên tập hợp B ta định nghĩa các phép toán
sau:
1a
+ a˄b = ab + a˅b = a + b – ab + a
0 1, 1 0
Phép lấy phần bù
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
5.1- HÀM BOOLE
PHÉP TOÁN Cho B ={0,1}
• Trên tập hợp B ta định nghĩa các phép toán cộng, nhân của các phần tử thuộc B như sau:
– 0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1 + 0 = 1 + 1 = 1 – 0 . 0 = 0 . 1 = 1 . 0 = 0; 1 . 1 = 1
0 1, 1 0
Phép lấy phần bù
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
5.1- HÀM BOOLE
Định nghĩa hàm Bool
Một hàm Bool n biến là một ánh xạ
f : Bn B , trong đó B = {0, 1}.
Một hàm Bool n biến là một hàm số có dạng : f = f(x1 ,x2,…,xn), trong đó mỗi biến trong x1, x2,…, xn chỉ nhận hai giá trị 0, 1 và f nhận giá trị trong B = {0, 1}.
Ký hiệu Fn để chỉ tập các hàm Bool n biến.
là một
Ví dụ: biểu thức logic E = E(p1,p2,…,pn) theo n biến p1, p2,…, pn hàm Bool n biến.
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
5.1- HÀM BOOLE
Bảng chân trị
Xét hàm Bool n biến f(x1,x2,…,xn)
Vì mỗi biến xi chỉ nhận hai giá trị 0, 1 nên chỉ có 2n trường hợp của bộ biến (x1,x2,…,xn).
Do đó, để mô tả f, ta có thể lập bảng gồm 2n hàng ghi tất cả các giá trị của f tùy theo 2n trường hợp của biến. Ta gọi đây là bảng chân trị của f
p
q
f(p,q)
0
0
?
0
1
?
Ví dụ: 2 biến
1
0
?
1
1
?
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
5.1- HÀM BOOLE
Ví dụ Xét kết qủa f trong việc thông qua một Quyết định dựa vào 3 phiếu bầu x, y, z
1. Mỗi phiếu chỉ lấy một trong hai giá trị: 1 (tán
thành) hoặc 0 (bác bỏ).
2. Kết qủa f
là 1 (thông qua Quyết định) nếu được đa số phiếu tán thành, là 0 (không thông qua Quyết định) nếu đa số phiếu bác bỏ.
Khi đó f là hàm Bool theo 3 biến x, y, z có bảng chân trị như sau:
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
5.1- HÀM BOOLE
Hàm Bool
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
5.1- HÀM BOOLE
Các phép toán trên hàm Bool
x
x
,
,...,
) 1
(
,
,...,
)
n
n
f x x ( 1 2
f x x 1 2
(
,
,...,
)
,
,...,
)
(
,
,...,
)
x n
x n
x n
f g x x )( 2
1
f x x ( 1 2
g x x 1 2
( . )(
,
,...,
)
,
,...,
,
,...,
)
x n
x n
f g x x 2
1
f x x ( 1 2
x g x x ). ( n 2
1
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
5.1- HÀM BOOLE
Dạng nối rời chinh tắc của Hàm Bool Xét tập hợp các hàm Bool của n biến Fn theo n biến x1
ix Mỗi hàm bool xi hay được gọi là từ đơn.
,x2,…,xn.
Đơn thức là tích khác không của một số hữu hạn từ đơn.
Từ tối tiểu là tích khác không của đúng n từ đơn.
Công thức đa thức là công thức biễu diễn hàm Bool
thành tổng của các đơn thức.
Dạng nối rời chính tắc là công thức biểu diễn hàm Bool thành tổng của các từ tối tiểu.
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
5.1- HÀM BOOLE
Ví dụ
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
5.1- HÀM BOOLE
Ví dụ Giả sử hàm Bool có 4 biến x,y,z,t. Ta phân tích hàm thành các từ tối tiểu như sau
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
Xét hàm Bool f có bảng chân trị định bởi:
f = xyz+xyz+xyz+xyz
5.1- HÀM BOOLE
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
5.1- HÀM BOOLE
5.1. Hàm Boole
5.2. Cổng logic (Mạng luận lý)
5.3 Biểu đồ Karnaugh và đa thức tối tiểu.
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
5.2- CỔNG LOGIC
Mạng logic (Mạng các cổng)
Ta nói mạng logic trên tổng hợp hay biểu diễn hàm Bool f
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
Các cổng
• NOT:
Bảng chân trị
Kí hiệu cổng
X not X
0 1 1 0
Input
Output
Nếu đưa mức HIGH vào ngõ vào của cổng, ngõ ra sẽ là mức LOW và ngược lại.
( )F x
x
5.2- CỔNG LOGIC
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
Các cổng
AND:
Cổng AND có ít nhất 2 ngõ vào
Ngõ ra là 1 khi tất cả các ngõ vào là 1, ngược lại là 0
5.2- CỔNG LOGIC
x y x
,
y x
, & ,
y xy
X Y X and Y
Bảng chân trị
0 0 1 1
0 1 0 1
0 0 0 1
xy x and y x y
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
Các cổng
Cổng OR có ít nhất là 2 ngõ vào
OR:
Ngõ ra là 1, nếu có một ngõ vào là 1, ngược lại là 0
x
y x
,
| y x y ,
5.2- CỔNG LOGIC
x or y x+y
X Y X or Y
Bảng chân trị:
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
x y
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
5.2- CỔNG LOGIC
Các cổng
NAND:
Là cổng bù của AND
Có ngõ ra là ngược lại với cổng AND
X nand Y = not (X and Y) = X Y
X Y Z 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
Các cổng
NOR:
Là cổng bù của OR
Có ngõ ra ngược với cổng OR
X nor Y = not (X or Y) = X Y
X Y Z 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
5.2- CỔNG LOGIC
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
5.2- CỔNG LOGIC
f = xz + yz + xt + y t + xyz
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
Ví dụ
5.2- CỔNG LOGIC
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
5.2- CỔNG LOGIC
x
y
f x y z ) ,
(
,
(
z xyz )
Cho sơ đồ
Viết biểu thức f
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
5.2- CỔNG LOGIC
Bài tập
a f x y z , ) ( ,
)
xy
xz
b f x y z , ) ( ,
)
xy
yz
xz
c f x y z ) , ) ( , d f x y z , ) ( , )
xyz x (
xz yz x )(
yz
)
e f x y z ) , ) ( ,
xy z (
xy
)
Câu 1. Tìm dạng nối rời chính tắc và lập bảng chân trị của các hàm Bool theo 3 biến x, y, z sau
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
5.2- CỔNG LOGIC
a f x y z , ) ( ,
)
xy
xz
b f x y z , ) ( ,
)
xy
yz
xz
c f x y z ) , ) ( , d f x y z , ) ( , )
xyz x (
xz yz x )(
yz
)
e f x y z ) , ) ( ,
xy z (
xy
)
Câu 2. Vẽ sơ đồ mạch các hàm Bool sau
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
5.2- CỔNG LOGIC
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE HDXB-2009…
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE 137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304
