II. ÁNH XẠ
2.1 Đ nh nghĩa ánh xị ạ
Cho X và Y là các t p h p khác r ng. M t ậ ợ ỗ ộ ánh xạ f t t p h p X vào t p h p Yừ ậ ợ ậ ợ
là phép t ng ng sao cho b i phép t ng ng n y m i ph n t x c a X s cóươ ứ ở ươ ứ ầ ỗ ầ ử ủ ẽ
m t ph n t duy nh t y c a Y t ng ng mà ta ký hi u là f(x) và g i là ộ ầ ử ấ ủ ươ ứ ệ ọ nhả
c a x. Ta vi tủ ế
f : X → Y
x f(x)
Ta th ng minh h a ánh x f b i s đ sau đây:ườ ọ ạ ở ơ ồ
Hai ánh x f và g t X vào Y đ c g i là b ng nhau khi ta có:ạ ừ ượ ọ ằ
∀ x ∈ X : f(x) = g(x)
Cách xác đ nh m t ánh x :ị ộ ạ
Ta có th xác đ nh ánh x f t X vào Y b ng nhi u cách, ch ng h n nh cáchể ị ạ ừ ằ ề ẳ ạ ư
li t kê t t c các nh c a t ng ph n t c a X, cách cho m t công th c đ xácệ ấ ả ả ủ ừ ầ ử ủ ộ ứ ể
đ nh nh f(x) c a m i ph n t x, ho c ta có th đ a ra m t th t c xác đ nh đị ả ủ ỗ ầ ử ặ ể ư ộ ủ ụ ị ể
tính ra (hay tìm ra) đ c ph n t f(x) ng v i m i ph n t x ượ ầ ử ứ ớ ỗ ầ ử ∈ X.
Ví dụ:
f : N → N xác đ nh b i f(n) = 2(n+1).ị ở
g : { 0,1} 2 → { 0,1} cho b i g(0,0) = g(0,1) = 1 và g(1,0) = g(1,1) = 0.ở
2.2 nh và nh ng cẢ ả ượ
nh c a t p h p:Ả ủ ậ ợ
Cho f là m t ánh x t X vào Y. Gi s A là m t t p h p con c a X. Aûnh c aộ ạ ừ ả ử ộ ậ ợ ủ ủ
t p A qua ánh x f, ký hi u b i f(A), là t p h p con c a Y g m t t c nh ngậ ạ ể ở ậ ợ ủ ồ ấ ả ữ
ph n t y sao cho y là nh c a ít nh t m t ph n t x thu c x.ầ ử ả ủ ấ ộ ầ ử ộ
f(A) = { f(a) : a ∈ A }
nh ng c (hay t o nh) c a m t t p h p:Ả ượ ạ ả ủ ộ ậ ợ
Cho f là m t ánh x t X vào Y. Gi s B là m t t p h p con c a Y. Aûnhộ ạ ừ ả ử ộ ậ ợ ủ
ng c c a t p B b i ánh x f, ký hi u là fượ ủ ậ ở ạ ể -1(B), là t p h p con c a X g m t tậ ợ ủ ồ ấ
c nh ng ph n t x sao cho f(x) thu c B.ả ữ ầ ử ộ
f-1(B) = { x ∈ X : f(x) ∈ B }
Trong tr ng h p t p B ch có m t ph n t y thì nh ng c c a B s đ cườ ợ ậ ỉ ộ ầ ử ả ượ ủ ẽ ượ
vi t v n t t là fế ắ ắ -1(y).
Ví d : ụ
Cho ánh x f : ạZ → N xác đ nh b i f(n) = nị ở 2+1. Đ t A = ặ{ -2, -1, 0, 1, 2, 3} và B
= { 0, 1, 2, 3, 4, 5} . Ta có :
f(A) = { 1, 5, 10}
f-1(B) = { -1, 0, 1}
2.3 Ánh x h pạ ợ
Cho 2 ánh xạ
f : X → Y
g : Y → Z
Ánh x h p h c a f và g là ánh x t X vào Z xác đ nh b i:ạ ợ ủ ạ ừ ị ở
h : X → Z
x h(x) = g(f(x))
Ta vi t h = g ếo f.
2.4 Các ánh x đ c bi tạ ặ ệ
Đ n ánhơ:
Ánh x f : X ạ→ Y đ c g i là m t đ n ánh khi các nh c a 2 ph n t khácượ ọ ộ ơ ả ủ ầ ử
nhau tùy ý thì khác nhau, nghĩa là v i m i x và x' thu c X ta có:ớ ọ ộ
x ≠ x' ⇒ f(x) ≠ f(x')
hay f(x) = f(x') ⇒ x = x'
Toàn ánh:
Ánh x f : X ạ→ Y đ c g i là m t toàn ánh khi m i ph n t c a Y đ u là nhượ ọ ộ ọ ầ ử ủ ề ả
c a ít nh t m t ph n t x thu c X, nghĩa làủ ấ ộ ầ ử ộ
f(X) = Y.
Song ánh:
Aùnh x f : X ạ→ Y đ c g i là m t song ánh khi nó v a là đ n ánh v a là toànượ ọ ộ ừ ơ ừ
ánh. Khi y v i m i y ấ ớ ỗ ∈ Y, có duy nh t ph n t x ấ ầ ử ∈ X sao cho f(x) = y. Như
th phép t ng ng liên k t y v i x s cho ta m t ánh x t Y vào X. Ta g iế ươ ứ ế ớ ẽ ộ ạ ừ ọ
ánh x n y là ánh x ng c c a f và ký hi u là fạ ầ ạ ượ ủ ệ -1. V y ta cóậ
f-1 : Y → X, xác đ nh b i fị ở -1(y) = x, v i f(x) = y.ớ
Ví dụ:
Ánh x f : ạZ → N xác đ nh b i f(n) = nị ở 2+1 không ph i là m t đ nả ộ ơ
ánh vì f(-1) = f(1) = 2 mà -1 ≠ 1.
Ánh x f : ạN → N xác đ nh b i f(n) = nị ở 2+1 là m t đ n ánh vì ta cóộ ơ
th th y r ng v i m i n và n' thu c ể ấ ằ ớ ọ ộ N ta có: n u f(n) = f(n') thì nế
= n'.
Cho a và b là 2 s th c tùy ý và a ố ự ≠ 0. Ánh x f : ạR → R xác đ nhị
b i ở
f(x) = a.x+b
là m t song ánh vì v i m i s th c y thì ph ng trình ộ ớ ọ ố ự ươ
ax + b = y
có nghi m th c x duy nh t là x = (y-b) / a. T đó ta cũng có ánhệ ự ấ ừ
x ng c đ c xác đ nh b iạ ượ ượ ị ở
f-1(y) = (y-b) / a.
2.5 M t s tính ch tộ ố ấ
Trong m c n y chúng ta phát bi u m t s tính ch t liên quan đ n ánh x . Ph n ch ngụ ầ ể ộ ố ấ ế ạ ầ ứ
minh không có gì ph c t p và có th xem nh bài t p.ứ ạ ể ư ậ
M nh đ 1ệ ề :
Cho f : X → Y. Gi s A, B là các t p con c a X và C, D là các t p con c a Y.ả ử ậ ủ ậ ủ
Khi đó ta có:
f(f-1(C)) = C ∩ f(X)
f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)
f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B)
f(A - B) ⊃ f(A) - f(B)
f-1(A ∩ B) = f-1(A) ∩ f-1(B)
f-1(A ∪ B) = f-1(A) ∪ f-1(B)
f-1(A - B) = f-1(A) - f-1(B)
M nh đ 2ệ ề :
Cho f : X → Y là m t song ánh. Khi đó ánh x ng c fộ ạ ượ -1: Y→ X cũng là m tộ
song ánh và ta có:
(f-1) -1 = f
f-1 o f = IdX, và f o f-1 = IdY
v i IdX (t ng ng IdY) là ánh x đ ng nh t c a t p X (t ngớ ươ ứ ạ ồ ấ ủ ậ ươ
ng Y).ứ
M nh đ 3ệ ề :
Cho các ánh x f : X ạ→ Y, g : Y → Z. Đ t h = g ặo f. Ta có:
N u f và g đ u là đ n ánh thì h cũng là đ n ánh.ế ề ơ ơ
N u f và g đ u là toàn ánh thì h cũng là toàn ánh.ế ề
N u f và g đ u là song ánh thì h cũng là song ánh. H n n aế ề ơ ữ
h-1 = f-1 o g-1
Trong các trường hợp sau hãy xem ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh. Tìm ánh xạ
ngược cho các song ánh.
a. định bởi
b. định bởi
c. định bởi
d. định bởi
Xét phương trình: (*)
Đặt x' = lnx, (*) được viết lại là
* Trường hợp 1: y < 2, khi đó nên (*) vô nghiệm.
* Trường hợp 2: y = 2, khi đó nên (*) có 1 nghiệm kép:
* Trường hợp 3: y > 2, khi đó nên (*) có 2 nghiệm phân biệt:
Câu a.
- Với những y < 2 thì (*) vô nghiệm.
Vậy f không là toàn ánh.
- Với những y > 2, (*) luộn có 2 nghiệm phân biệt: