HUỲNH BÁ HỌC
1/24
BÀI TẬP MÔN NGUYÊN LÝ THỐNG KÊ
BÀI TẬP MÔN NGUYÊN LÝ THỐNG KÊ
Các bài tập này phần lớn do tôi tự giải. Vì khả năng có hạn nên dĩ nhiên các bài giải sẽ
không tránh được sai sót. Nếu ai đó đọc được tài liệu này, nhận ra chỗ nào chưa ổn,
hãy liên lạc với tôi qua email: nguyen123765@yahoo.com.vn. Hi vọng với sự đóng góp
của tôi sẽ có ích cho các bạn
Bài 1. Có một hộp chứa 3 quả cầu màu xanh, 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu vàng. Lấy
ngẫu nhiên 1 quả. Tính xác suất để quả cầu lấy ra là quả cầu màu đỏ?
Giải
- Gọi A là biến cố quả cầu lấy ra là quả cầu màu đỏ. Xác suất:
3
1
12
4
)( 1
12
1
4 C
C
AP
Bài 2: Một thùng gồm 10 viên bi, trong đó có 3 viên bi đen và 7 viên bi trắng. Lấy ngẫu
nhiên 1 viên bi từ thùng.
a. Tìm xác suất để viên bi lấy ra là viên bi trắng?
b. Lấy ngẫu nhiên (1 lần) 4 viên bi từ thùng. Tìm xác suất để trong 4 viên bi này có đúng
2 viên bi trắng?
Giải
a. Tìm xác suất để viên bi lấy ra là viên bi trắng.
- Số kết quả đồng khả năng xảy ra:
10
1
10 C
- Gọi A là biến cố viên bi lấy ra là bi trắng.
- Số kết quả thuận lợi cho A xảy ra:
7
1
7C
- Xác suất bi lấy ra là bi trắng:
7,0
10
7
)( AP
b. Lấy ngẫu nhiên (1 lần) 4 viên bi từ thùng. Tìm xác suất để trong 4 viên bi này có đúng
2 viên bi trắng.
- Gọi B: Biến cố 4 bi lấy ra có đúng 2 viên bi trắng.
- Xác suất để trong 4 viên bi lấy ra có đúng 2 viên bi trắng:
10
3
210
63
210
321
)( 4
10
2
3
2
7
C
CC
BP
Bài 3. Có một hộp có chứa 7 bi đỏ và 5 bi xanh. Có bao nhiêu cách lấy:
a. 3 bi đỏ và 1 bi xanh?
b. Ít nhất 1 bi đỏ? (Có bao nhiêu cách lấy sao cho được nhiều nhất 3 bi xanh?)
Giải
a. 3 bi đỏ và 1 bi xanh
- Gọi A: Biến cố 4 bi lấy ra có 3 bi đỏ và 1 bi xanh.
)(175535
1
5
3
7CáchCCA
b. Ít nhất 1 bi đỏ
- Gọi B: Biến cố 4 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ.
Bài 4. Trong một thùng đựng 20 quả cầu, được đánh số từ 1 đến 20.
Lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu. Tính xác suất để:
a. Quả cầu lấy ra là quả cầu số chẵn?
b. Quả cầu lấy ra là quả cầu chia hết cho 3?
Giải
a. Quả cầu lấy ra là quả cầu số chẵn
HUỲNH BÁ HỌC
2/24
BÀI TẬP MÔN NGUYÊN LÝ THỐNG KÊ
- Tổng số chẵn từ 1 đến 20: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.
- Có 10 số chẵn và tổng số lẻ: 20-10=10.
- Gọi A là biến cố quả cầu lấy ra là quả cầu số chẵn.
- Tính xác suất:
2
1
20
110
)( 1
20
0
10
1
10
C
CC
AP
b. Quả cầu lấy ra là quả cầu chia hết cho 3
- Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
- Từ 1 đến 20 có 6 số chia hết cho 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18 và có 20-6=14 số không chia hết cho 3.
- Gọi B là biến cố quả cầu lấy ra là quả cầu chia hết cho 3.
- Tính xác suất:
10
3
20
16
)( 1
20
0
14
1
6
C
CC
BP
Bài 5. Cho X = {1,2,3,4,5,6,7}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ X và sao cho:
a) Có chữ số đầu là 3?
b) Không tận cùng bằng chữ số 4?
c) Cứ 2 chữ số kề nhau là khác nhau?
d) Không được bắt đầu bằng 123?
Giải
a) Có chữ số đầu là 3
- Với chữ số đầu tiên là 3 thì các chữ số còn lại (từ 2 đến 5) đều có 7 cách chọn từ X
- Do đó số tự nhiên có 5 chữ số với chữ số đầu là 3 thì gồm có: 74=2401 (số). (Chữ số đầu tiên
là 1 cách).
b) Không tận cùng bằng chữ số 4
- Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số bất kỳ (gồm cả các số có tận cùng bằng 4).
- Gọi B là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số có số tận cùng bằng 4.
- Gọi C là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số mà số tận cùng khác 4.
Khi đó:
+ A = 75 = 16.807
+ Nếu số tận cùng là 4 thì đã có 1 cách. Vì vậy 4 chữ số còn lại, mỗi chữ sẽ có 7 cách. Áp dụng
quy tắc nhân ta tính như sau: B=74=2401 (số).
+ Như đã phân tích, ta có: A=B+C → C=A-B=16807-2401=14.406 (số).
c) Cứ 2 chữ số kề nhau là khác nhau
Xét n=X1x2x3x4x5
Chữ đầu tiên có 7 cách chọn, theo đề bài số kề nhau phải khác nhau nên số liền kề phải khác
số liền trước, vậy x2 có 7-1=6 cách chọn, x3 phải khác x2 nhưng không khác x1, x3 có 7-1=6
cách, suy luận tương tự ta có được x4 có 6 cách, x5 cũng có 6 cách.
Vậy áp dụng quy tắc nhân ta tính như sau: 7x64=9072 (số).
d) Không được bắt đầu bằng 123
- Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số bất kỳ (gồm cả các số bắt đầu bằng 123).
- Gọi B là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số bắt đầu bằng 123.
- Gọi C là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số mà các số không được bắt đầu bằng 123.
→ C=A-B.
Theo kết quả câu a. ta có A=16.807, tính B?
Vì các số tự nhiên bắt đầu bằng 123 nên ta chỉ xét các số thứ 4 và 5. Vì đề bài không yêu cầu
điều kiện nên số thứ 4 có 7 cách, thứ 5 cũng có 7 cách. Vậy B=7x7=49 (số)
- Vậy C=A-B = 16.807 – 49 = 16.758 (số).
Bài 6. Một nhóm có 10 ứng cử viên để chọn vào 3 vị trí: Trưởng, Phó và Thư ký.
a. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 người để xếp vào 3 vị trí trên?
b. Có bao nhiêu cách bổ nhiệm 3 người vào 3 vị trí trên?
HUỲNH BÁ HỌC
3/24
BÀI TẬP MÔN NGUYÊN LÝ THỐNG KÊ
Giải
a. Cách chọn ra 3 người để xếp vào 3 vị trí trên
- Theo đề bài ta chỉ việc chọn ra 3 người mà không xét đến vị trí của họ nên. Như vậy cách lấy
ở đây là cách lấy theo kiểu tổ hợp (không xét đến vị trí, thứ tự).
- Số cách chọn:
)(120
3
10 cáchC
b. Cách bổ nhiệm 3 người vào 3 vị trí trên
- Việc bổ nhiệm sẽ xét đến vị trí của 3 người. Cách lấy như vậy là lấy theo kiểu chỉnh hợp.
- Số cách bổ nhiệm:
)(720
3
10 cáchA
Bài 7. Một hộp đựng 6 bi đỏ, 4 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 6 bi. Tính xác suất để:
a. Cả 6 bi đều là bi đỏ?
b. Có 4 bi đỏ, 2 bi vàng?
c. Có ít nhất 2 bi vàng?
Giải
a. Cả 6 bi đều là bi đỏ:
- Số kết quả đồng khả năng xảy ra:
210
6
10 C
- Gọi A là biến cố 6 viên bi lấy ra là bi đỏ.
- Số kết quả thuận lợi cho A xảy ra:
1
6
6C
- Xác suất 6 bi lấy ra đều là bi đỏ:
210
1
)( AP
Tính nhanh như sau:
210
1
210
11
)( 6
10
0
4
6
6
C
CC
AP
b. Có 4 bi đỏ, 2 bi vàng:
- Số kết quả đồng khả năng xảy ra:
210
6
10 C
- Gọi B là biến cố 6 bi lấy ra có 4 bi đỏ và 2 bi vàng:
90
2
4
4
6 CCB
- Xác suất cần tìm:
7
3
210
90
)( BP
Tính nhanh như sau:
7
3
210
90
210
615
)( 6
10
2
4
4
6
C
CC
BP
c. Có ít nhất 2 bi vàng:
Cách giải 1:
Vì 6 bi lấy ra có ít nhất 2 bi vàng, nghĩa là số bi vàng lấy ra sẽ giao động từ 2 bi vàng đến 4 bi
vàng (số bi vàng tối đa). Vì vậy sẽ có 3 trường hợp xảy ra như sau:
- Trường hợp 1: 2 bi vàng được lấy ra khi đó số bi đỏ sẽ là 4 bi.
+ Gọi C là biến cố 2 bi vàng được lấy ra:
7
3
210
156
)( 6
10
4
6
2
4
C
CC
CP
- Trường hợp 2: 3 bi vàng được lấy ra khi đó số bi đỏ sẽ là 3 bi:
+ Gọi D là biến cố 3 bi vàng được lấy ra:
21
8
210
204
)( 6
10
3
6
3
4
C
CC
DP
- Trường hợp 3: 4 bi vàng được lấy ra khi đó số bi đỏ sẽ là 2 bi:
+ Gọi E là biến cố 4 bi vàng được lấy ra:
14
1
210
151
)( 6
10
2
6
4
4
C
CC
EP
Gọi F là biến cố 6 bi lấy ra có ít nhất 2 bi vàng:
42
37
14
1
21
8
7
3
)()()()( EPDPCPFP
Cách giải 2:
HUỲNH BÁ HỌC
4/24
BÀI TẬP MÔN NGUYÊN LÝ THỐNG KÊ
Ta dùng biến cố đối lập
- Gọi A là biến cố 6 bi lấy ra có ít nhất 2 bi vàng;
Tính P(A)?
42
37
210
185
210
)11()46(210
)( 6
10
0
4
6
6
1
4
5
6
6
10
C
CCCCC
AP
Bài 8. Có một hộp có 6 bi đỏ 4 bi xanh, lấy ngẫu nhiên ra 1 bi, tìm xác suất bi lấy ra là bi
đỏ.
Giải
- Số kết quả đồng khả năng xảy ra:
10
1
10 C
- Gọi A là biến cố bi lấy ra là bi đỏ.
- Số kết quả thuận lợi cho A xảy ra:
6
1
6C
- Xác suất bi lấy ra là bi đỏ:
6,0
10
6
)( AP
Bài 9. Một hộp có 6 bi đỏ, 4 bi xanh, lấy ngẫu nhiên ra 4 bi. Tìm xác suất 4 bi lấy ra có 2 bi
đỏ và 2 bi xanh.
Giải
- Số kết quả đồng khả năng xảy ra:
210
4
10 C
- Gọi A là biến cố 4 bi lấy ra có 2 bi đỏ và 2 bi xanh:
90
2
4
2
6 CCA
- Xác suất cần tìm:
7
3
210
90
)( AP
Bài 10. Một cái hộp đựng 16 viên bi gồm 7 trắng, 6 đen và 3 đỏ. Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi.
Tính xác suất để được 5 viên trắng, 3 viên đen và 2 viên đỏ.
Giải
- Số kết quả đồng khả năng xảy ra:
008.8
10
16 C
- Gọi A là biến cố 10 bi lấy ra có 5 viên trắng, 3 viên đen và 2 viên đỏ:
260.1
2
3
3
6
5
7 CCCA
- Xác suất cần tìm:
286
45
8008
1260
)( AP
Bài 11. Một công ty cần tuyển 4 nhân viên, có 15 ứng cử viên, trong đó có 10 nam và 5
nữ. Khả năng được tuyển của mỗi người như nhau. Tính xác suất để có kết quả 4 người
được tuyển gồm 2 nam 2 nữ? Giải
- Số kết quả đồng khả năng xảy ra:
1365
4
15 C
- Gọi A là biến cố kết quả tuyển được 4 người gồm 2 nam 2 nữ:
450
2
5
2
10 CCA
- Xác suất:
91
30
1365
450
)( AP
Bài 12. Một công ty cần tuyển 2 nhân viên. Có 6 người nộp đơn trong đó có 4 nữ và 2
nam. Giả sử khả năng trúng tuyển của cả 6 người là như nhau. Tính xác suất biến cố.
a. 2 người trúng tuyển là nam?
HUỲNH BÁ HỌC
5/24
BÀI TẬP MÔN NGUYÊN LÝ THỐNG KÊ
b. 2 người trúng tuyển là nữ?
c. Có ít nhất 1 nữ trúng tuyển?
Giải
a. 2 người trúng tuyển là nam
- Gọi A là biến cố 2 người trúng tuyển là nam. Xác suất:
15
1
)( 2
6
0
4
2
2
C
CC
AP
b. 2 người trúng tuyển là nữ
- Gọi B là biến cố 2 kết quả trúng tuyển là nữ. Xác suất:
5
2
)( 2
6
2
4
0
2
C
CC
BP
c. Có ít nhất 1 nữ trúng tuyển
- Gọi C là biến cố kết quả trúng tuyển có ít nhất 1 nữ:
15
14
15
1115
)( 2
6
0
4
2
2
2
6
C
CCC
CP
Bài 13. Một hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh, lấy cùng lúc ra 3 bi.
a. Tìm xác suất 3 bi lấy ra cùng màu?
b. Xác suất 3 bi lấy ra có ít nhất một bi đỏ?
Giải
a. Gọi: A là biến cố 3 bi lấy ra đều là bi đỏ.
B là biến cố 3 bi lấy ra đều là bi xanh.
C là biến cố 3 bi lấy ra cùng màu.
Vì 3 bi lấy ra phải cùng màu nên 3 bi lấy ra hoặc là 3 bi đỏ hoặc là 3 bi xanh nên hai biến cố A
và B xung khắc nhau.
Khi đó:
)()()()( BPAPBAPCP
Tính P(A):
6
1
120
20
)( 3
10
3
6 C
C
AP
; Tính P(B):
30
1
120
4
)( 3
10
3
4 C
C
BP
Vậy xác suất cần tìm là:
2,0
5
1
30
1
6
1
)()( BPAP
b. Xác suất 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ
Cách 1:
Vì 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ, nghĩa là số bi đỏ lấy ra sẽ giao động từ 1 bi đỏ (ít nhất) đến 3 bi
đỏ (nhiều nhất). Vì vậy sẽ có 3 trường hợp xảy ra như sau:
- Trường hợp 1: 1 bi đỏ được lấy ra khi đó số bi xanh sẽ là 2 bi.
+ Gọi C là biến cố 1 bi đỏ được lấy ra:
10
3
120
66
)( 3
10
2
4
1
6
C
CC
CP
- Trường hợp 2: 2 bi đỏ được lấy ra khi đó số bi xanh sẽ là 1 bi:
+ Gọi D là biến cố 2 bi đỏ được lấy ra:
2
1
120
415
)( 3
10
1
4
2
6
C
CC
DP
- Trường hợp 3: 3 bi đỏ được lấy ra khi đó số bi xanh sẽ là 0 bi:
+ Gọi E là biến cố 3 bi đỏ được lấy ra:
6
1
120
120
)( 3
10
0
4
3
6
C
CC
EP
Gọi F là biến cố 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ:
30
29
6
1
2
1
10
3
)()()()( EPDPCPFP
Cách 2:
- Gọi E là biến cố 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ.