NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ NG D NGỨ Ụ
I. Tìm nguyên hàm b ng đ nh nghĩa và các tính ch tằ ị ấ
1/ Tìm nguyên hàm c a các hàm s .ủ ố
1. f(x) = x2 – 3x +
x
1
ĐS. F(x) =
Cx
xx ++− ln
2
3
3
23
2. f(x) =
2
432
x
x+
ĐS. F(x) =
C
x
x+− 3
3
23
. f(x) =
2
1
x
x−
ĐS. F(x) = lnx +
x
1
+ C
4. f(x) =
2
22 )1(
x
x−
ĐS. F(x) =
C
x
x
x++− 1
2
3
3
5. f(x) =
4
3xxx ++
ĐS. F(x) =
6. f(x) =
3
21
xx −
ĐS. F(x) =
Cxx +− 32
32
7. f(x) =
x
x2
)1( −
ĐS. F(x) =
Cxxx ++− ln4
8. f(x) =
3
1
x
x−
ĐS. F(x) =
Cxx +− 3
2
3
5
9. f(x) =
2
sin2 2x
ĐS. F(x) = x – sinx + C
10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C
11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) =
Cxx ++ 2sin
4
1
2
1
12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13. f(x) =
xx 22 cos.sin
1
ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
14. f(x) =
xx
x
22 cos.sin
2cos
ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) =
Cx +− 3cos
3
1
16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =
Cxx +−− cos5cos
5
1
17. f(x) = ex(ex – 1) ĐS. F(x) =
Cee xx +−
2
2
1
18. f(x) = ex(2 +
)
cos2x
ex−
ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C
19. f(x) = 2ax + 3x ĐS. F(x) =
C
a
axx ++ 3ln
3
ln
2
20. f(x) = e3x+1 ĐS. F(x) =
Ce x+
+13
3
1
NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 1
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ NG D NGỨ Ụ
2/ Tìm hàm s f(x) bi t r ng ố ế ằ
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x2 + x + 3
2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) =
1
3
2
3+− x
x
3. f’(x) = 4
xx −
và f(4) = 0 ĐS. f(x) =
3
40
23
82−− xxx
4. f’(x) = x -
2
1
2+
x
và f(1) = 2 ĐS. f(x) =
2
3
2
1
2
2−++ x
x
x
5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3
6. f’(x) = ax +
2)1(,4)1(,0)1(',
2=−== fff
x
b
ĐS. f(x) =
2
51
2
2++ x
x
II. M T S PH NG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀMỘ Ố ƯƠ
1.Ph ng pháp đ i bi n s .ươ ổ ế ố
Tính I =
∫dxxuxuf )(')].([
b ng cách đ t t = u(x)ằ ặ
Đ t t = u(x)ặ
dxxudt )('=⇒
I =
∫ ∫
=dttfdxxuxuf )()(')].([
BÀI T PẬ
Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau:ủ ố
1.
∫−dxx )15(
2.
∫−5
)23( x
dx
3.
dxx
∫−25
4.
∫−12x
dx
5.
∫+xdxx 72 )12(
6.
∫+dxxx 243 )5(
7.
xdxx .1
2
∫+
8.
∫+dx
x
x
5
2
9.
∫+dx
x
x
3
2
25
3
10.
∫+2
)1( xx
dx
11.
dx
x
x
∫3
ln
12.
∫+dxex x1
2
.
13.
∫xdxx cossin4
14.
∫dx
x
x
5
cos
sin
15.
∫gxdxcot
16.
∫x
tgxdx
2
cos
17.
∫x
dx
sin
18.
∫x
dx
cos
19.
∫tgxdx
20.
∫dx
x
ex
21.
∫−3
x
x
e
dxe
22.
∫dx
x
etgx
2
cos
23.
∫
−dxx .1
2
24.
∫−2
4x
dx
25.
∫−dxxx .1 22
26.
∫+2
1x
dx
27.
∫−2
2
1x
dxx
28.
∫++ 1
2xx
dx
29.
∫xdxx 23 sincos
30.
dxxx .1
∫−
31.
∫+1
x
e
dx
32.
dxxx .1
23
∫+
2. Ph ng pháp l y nguyên hàm t ng ph n.ươ ấ ừ ầ
N u u(x) , v(x) là hai hàm s có đ o hàm liên t c trênế ố ạ ụ
I
∫ ∫
−= dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay
NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 2
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ NG D NGỨ Ụ
∫ ∫
−= vduuvudv
( v i du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)ớ
Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau:ủ ố
1.
∫xdxx sin.
2.
∫xdxx cos
3.
∫+xdxx sin)5( 2
4
∫++ xdxxx cos)32( 2
5.
∫xdxx 2sin
6.
∫xdxx 2cos
7.
∫dxex x
.
8.
∫xdxln
9.
∫xdxx ln
10.
dxx
∫2
ln
11.
∫x
xdxln
12.
∫dxe x
13.
∫dx
x
x
2
cos
14.
∫xdxxtg 2
15.
∫dxxsin
16.
∫+dxx )1ln( 2
17.
∫xdxexcos.
18.
∫dxex x2
3
19.
∫+dxxx )1ln( 2
20.
∫xdx
x
2
21.
∫xdxx lg
22.
∫+dxxx )1ln(2
23.
∫+dx
x
x
2
)1ln(
24.
∫xdxx 2cos
2
TÍCH PHÂN
I. TÍNH TÍCH PHÂN B NG CÁCH S D NG TÍNH CH T VÀ NGUYÊN HÀM C B N:Ằ Ử Ụ Ấ Ơ Ả
1.
1
3
0
( 1)x x dx+ +
2.
2
2
1
1 1
( )
e
x x dx
x x
+ + +
2.
3
1
2x dx−
3.
2
1
1x dx+
4.
2
3
(2sin 3 )x cosx x dx
π
π
+ +
5.
1
0
( )
x
e x dx+
6.
1
3
0
( )x x x dx+
7.
2
1
( 1)( 1)x x x dx+ − +
8.
2
3
1
(3sin 2 )x cosx dx
x
π
π
+ +
9.
1
2
0
( 1)
x
e x dx+ +
10.
2
23
1
( )x x x x dx+ +
11.
2
1
( 1)( 1)x x x dx− + +
12.
3
3
1
x 1 dx( ).
−
+
13.
2
2
2
-1
x.dx
x+
14.
2
e
1
7x 2 x 5 dx
x
− −
15.
x 2
5
2
dx
x 2+ + −
16.
2
2
1
x 1 dx
x x x
( ).
ln
+
+
17.
23
3
6
x dx
x
cos .
sin
π
π
NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 3
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ NG D NGỨ Ụ
18.
4
2
0
tgx dx
x
.
cos
π
19.
1x x
x x
0
e e
e e dx
−
−
−
+
20.
1x
x x
0
e dx
e e
.
−
+
21.
2
2
1
dx
4x 8x+
22.
3
x x
0
dx
e e
ln
.
−
+
22.
2
0
dx
1 xsin
π
+
24.
∫
−
++
1
1
2)12( dxxx
25.
∫−−
2
0
3)
3
2
2( dxxx
26.
∫
−
−
2
2
)3( dxxx
27.
∫
−
−
4
3
2
)4( dxx
28.
dx
xx
∫
+
2
1
32
11
29.
∫−
2
1
3
22dx
x
xx
30.
∫e
e
x
dx
1
1
31.
∫
16
1
.dxx
32.
dx
x
xx
e
∫−+
2
1
752
33.
dx
x
x
∫
−
8
132
3
1
4
II. PH NG PHÁP Đ T N PH :ƯƠ Ặ Ẩ Ụ
1.
23 2
3
sin xcos xdx
π
π
2.
22 3
3
sin xcos xdx
π
π
3.
2
0
sin
1 3
xdx
cosx
π
+
3.
4
0
tgxdx
π
4.
4
6
cot gxdx
π
π
5.
6
0
1 4sin xcosxdx
π
+
6.
1
2
0
1x x dx+
7.
1
2
0
1x x dx−
8.
1
3 2
0
1x x dx+
9.
12
3
0
1
xdx
x+
10.
1
3 2
0
1x x dx−
11.
2
3
1
1
1dx
x x +
12.
1
2
0
1
1dx
x+
13.
1
2
1
1
2 2dx
x x
−
+ +
NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 4
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ NG D NGỨ Ụ
14.
1
2
0
1
1dx
x+
15.
1
2 2
0
1
(1 3 ) dx
x+
16.
2sin
4
x
e cosxdx
π
π
17.
2
4
sin
cosx
e xdx
π
π
18.
2
1
2
0
x
e xdx
+
19.
23 2
3
sin xcos xdx
π
π
20.
2sin
4
x
e cosxdx
π
π
21.
2
4
sin
cosx
e xdx
π
π
22.
2
1
2
0
x
e xdx
+
23.
23 2
3
sin xcos xdx
π
π
24.
22 3
3
sin xcos xdx
π
π
25.
2
0
sin
1 3
xdx
cosx
π
+
26.
4
0
tgxdx
π
27.
4
6
cot gxdx
π
π
28.
6
0
1 4sin xcosxdx
π
+
29.
1
2
0
1x x dx+
30.
1
2
0
1x x dx−
31.
1
3 2
0
1x x dx+
32.
12
3
0
1
xdx
x+
33.
1
3 2
0
1x x dx−
34.
2
3
1
1
1dx
x x +
35.
1
1 ln
e
xdx
x
+
36.
1
sin(ln )
e
xdx
x
37.
1
1 3ln ln
e
x x dx
x
+
38.
2ln 1
1
ex
edx
x
+
39.
2
2
1 ln
ln
e
e
xdx
x x
+
40.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x+
41.
2
1
1 1
xdx
x+ −
42.
1
0
2 1
xdx
x+
43.
1
0
1x x dx+
NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 5